Apostila Rotacao

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1
CINEMÁTICA DA ROTAÇÃO 
 
Corpo rígido é um sistema de partículas no qual todos os pontos permanencem inalterados durante 
o movimento. Isto significa que as distâncias, assim como os ângulos entre partes diferentes deste 
sistema, permanecem constantes. 
 
Velocidade e aceleração angulares 
 
 
 y 
 
 
 
 s 
 r 
 x 
 
 
 
 
A rotação de um corpo rígido é descrita com referência ao ângulo , contado a partir do sentido 
positivo do eixo dos x. Na rotação em torno de um eixo z, perpendicular ao plano da figura, cada 
ponto do corpo rígido descreve um deslocamento angular dado por � (em radianos), e percorre um 
arco s dado por 
 
θ= rs 
A velocidade angular do corpo é 
θ=θ=ω �
dt
d
 
e a aceleração angular do corpo é 
θ=θ=ω=α ��
2
2
dt
d
dt
d
 
 
Por definição, os vetores � e � são paralelos ao eixo de rotação (no caso da figura acima, o eixo 
de rotação é perpendicualr ao plano da figura). O sentido positivo ou negativo destes vetores é 
determinado pela regra da mão direita. 
Exemplo 1. 
A situação abaixo exemplifica a rotação sem deslizamento de um disco ao longo da circunferência 
de outro disco de mesmo raio r : 
θ
θ
 
 2
Para um deslocamento angular �, o centro do disco girante percorre θr2 , enquanto um diâmetro 
qualquer na circunferência descreve um deslocamento angular total igual a θ2 . O giro completo 
em torno do disco fixo resulta em uma rotação de 4� radianos do disco girante (duas rotações 
completas, ou 720o). A velocidade do centro do disco girante é portanto igual a ωr2 , e a 
aceleração é αr2 . Um ponto na circunferência do disco girante descreve uma epicilóide (Na figura 
abaixo, a trajetória do ponto de tangência inicial para dois discos de raio igual a 1). 
 
Uma epiciclóide . 
 
Exemplo 2. 
Um disco de raio r rola sem deslizamento por um plano horizontal. Determine o movimento 
angular do disco em termos do movimento linear do centro do disco. 
s
θ
O
 
A distância percorrida pelo ponto de tangência inicial é obviamente 
 
θ= rs . 
 
Daí, a velocidade e a aceleração do centro O são, respectivamente, 
 
ra ,rv α=ω= . 
 
O ponto inicial de tangência descreve uma ciclóide: 
 
 
 3
Exemplo 3. 
Encontre em termos de x a velocidade angular da barra que escorrega do encosto vertical, se a 
extremidade inferior desliza com velocidade v. 
h
x
v
θ
 
O deslocamento angular da barra está associado a x pela geometria da figura: 
222
22
2 xh
hv
 
h
xh
h
dt
d
sen
1
h)
tan
h
(
dt
d
dt
dx
v
+
−=ω�ω
+
−=
θ
θ
−
=
θ
== , 
 
a barra gira no sentido horário (negativo). 
 
Exemplo 4. 
Chapa de aço montada em um carretel horizontal é desenrolada à velocidade constante v. 
Determine a aceleração angular do carretel em termos de v e do raio r do rolo de chapa que 
diminui. A espessura da chapa é s e a distância L é grande se comparada a r . 
r
v
L
 
O trecho de chapa entre o carretel e os rolos de trefilação permanece horizontal durante o processo, 
pois rL >> . Da figura, 
dt
dr
r
v
dt
r
1
d
v
dt
d
 rv
2
−=
�
�
�
�
�
�
=
ω
=α�ω= . 
 
Para cada volta completa do carretel, o raio r diminui em uma espessura s de chapa, isto é, 
 
r2
sv
s
2dt
dr
π
−=
π
ω
−= 
 
Assim, finalmente, a aceleração angular do carretel será 
 
.
r2
sv
3
2
π
=α 
 4
12. CINÉTICA DA ROTAÇÃO I 
 
Um corpo rígido foi definido como um aglomerado de pontos que mantem fixas entre si as 
distâncias. Assim, é possível generalizar para um corpo rígido as formas das leis da mecânica como 
foram aplicadas a um sistema de partículas. 
 Fi 
 y 
 
 
 G miri�
2 mia 
 miri� 
 a 
 
 
 x 
 
 
O conjunto de forças Fi aplicadas ao corpo rígido de centro de massa G produz uma aceleração 
resultante a deste centro de massa, a aceleração angular �. A aceleração centrípeta é calculada de 
acordo com a fórmula já deduzida anteriormente para uma partícula, isto é, 
i
2
i
2
i
2
i
2
c rr
r
r
v
a ω=
ω
== . 
Cada ponto mi do corpo rígido está assim sujeito às acelerações a e �. A posição de mi é definida 
pelo raio vetor ri, medido em relação ao centro de massa G. 
 
Torque 
Se em mi a força resultante é F, em relação ao ponto G esta força produz um torque definido prlo 
produto vetorial 
Fr ×=τ 
 
É este torque que produz a aceleração angular de mi. No movimento plano, este vetor, assim como 
os vetores � e �, é perpendicular ao plano do movimento, consistente com a definição de produto 
vetorial vista anteriormente. Na situação desenhada na figura abaixo, a massa mi está presa a uma 
barra sólida de peso desprezível, formando um corpo rígido que gira em torno da extremidade da 
barra: 
 y F 
 φ 
 
 mi 
 � 
 ri 
 � 
 O x 
 
 
O valor do torque sobre o corpo rígido devido à força F é 
 
α=α=α=φ=τ I)rm()rm(r)Fsen(r 2iiiiii 
A quantidade 2ii rmI = é o momento de inércia, ou inércia rotacional do corpo rígido, calculada 
nesta situação em torno do eixo O. 
 5
É importante observar aqui que a equação entre o torque, a aceleração angular e o momento de 
inércia é a expressão da 2a lei de Newton para a mecânica do corpo rígido. 
 
Energia cinética 
Para um corpo rígido a energia cinética total é composta da energia cinética devida à velocidade 
linear do centro de massa mais a energia cinética rotacional: 
 
22
G I2
1
mv
2
1
K ω+= , 
onde o momento de inércia I do corpo rígido é agora a soma de todos os produtos I = �miri
2 das 
massas que compõem o corpo rígido em torno do centro de massa. É claro que para uma 
distribuição contínua destas massas mi o somatório se generaliza para uma integral em toda a massa 
M do corpo: 
�=
M
2dmrI . 
Nesta definição, o cálculo do momento de inércia é realizado em relação a um eixo que passa pelo 
centro de massa, mas o raio vetor r pode ser medido em relação a qualquer outro eixo em torno do 
qual o corpo rígido tenha uma rotação. Fica claro também que a distribuição de massa em torno 
do centro de massa de um corpo rígido afeta diretamente o valor da sua inércia rotacional. O raio 
de giração de um corpo rígido em torno de um eixo é definido como 
M
I
k2 = . 
 
Se M é a masa total de um corpo rígido concentrada em um ponto, k é a distância deste ponto a um 
eixo de rotação em relação ao qual a inércia rotacional é igual à do corpo rígido. 
Conhecido o momento de inércia I de um corpo rígido em relação a um determinado eixo paralelo a 
um outro eixo que passa pelo centro de massa do corpo, e se d é a distância entre estes dois eixos, o 
teorema dos eixos paralelos permite calcular o momento de inércia I em relação ao eixo que 
passa pelo centro de massa através da seguinte fórmula de transferência 
 
2MdII += . 
 
Exemplos de cálculo de momento de inércia: 
1. Momento de inércia em torno de um eixo de simetria de uma barra retilínea sólida de densidade 
uniforme e massa total M: 
 
 
 G 
 
 x dx 
 
 L 
12
ML
8
L
8
L
L3
M
dxx
L
M
dmrI
2332/L
2/L
2
M
2
=��
�
�
��
�
�
+=== ��
−
 
 
Para um eixo paralelo que passe por uma das extremidadesda barra, o teorema dos eixos paralelos 
fornece, imediatamente, 
3
ML
4
L
M
12
ML
MdII
222
2
=+=+= . 
 6
 
2. Momento de inércia de um barra circular de raio r e massa M, de densidade uniforme, em torno 
do eixo que passa pelo centro, perpendicular ao plano da barra: 
 z 
 
 
 
 d� 
 � 
 
 
23
2
0
2 Mr)r2(
r2
M
)dr(r
r2
M
I =π
π
=θ
π
= �
π
. 
 
Teorema do trabalho e da energia cinética 
 
As definições de trabalho e potência dadas anteriormente aplicam-se aqui da mesma forma: 
 
ωτ=
θτ
==
θτ=⋅== � ��
td
d
td
dW
P
ddWW dxF
 
 
Daí é possível obter uma expressão para o teorema do trabalho e da energia cinética quando há 
rotação do corpo rígido em torno de um eixo que passa pelo centro de massa (a velocidade linear 
do centro de massa é igual a zero): 
KI
2
1
I
2
1
dId
td
d
IdIW 2i
2
f
f
i
f
i
f
i
∆=ω+ω=ωω=θω=θα= ���
ω
ω
θ
θ
θ
θ
. 
Exemplos: 
1. #11 Livro-Tetxto 
a) A flecha deve passar por um setor angular livre )4/8/2( π=π= da roda para não atingir 
nenhum dos 8 raios. Assim, o tempo de percurso da flecha enquanto atravessa a roda deve 
ser no mínimo igual ao tempo de varredura de um setor livre da roda. 
 
 s 
 
 f � 
m/s 4
4
)2)(5.2)(2.0(
v
f
r
rf
s
rf
v 
r
s
v
f
t
=
π
π
=
θ
ω
=
θ
ω
=
ω
=�
ω
==∆
 
 
b) A solução acima não depende da posição em que a flecha atinge a roda! 
 
2. #25 Livro-texto 
a) 
T
2
Período
angulartoDeslocamen
dt
d π
==
θ
=ω 
 7
 
b) 29
5
22
rad/s 10264.2
)3600)(24)(365(
1026.1
)033.0(
2
dt
dT
T
2
T
2
dt
d
dt
d
−
−
×−=
×π
−=
π
−=�
�
�
�
�
� π
=
ω
=α 
 
c) O tempo de parada do pulsar, em anos, a contar de hoje (2000 AD): 
 
AD 46402000
)3600)(24)(365)(10264.2)(033.0(
2
2000T
2
2000t
9
≈+
×
π
=+
α
π
=+
α
ω
=
−
 
 
d) 
ms 21s 021.0)10542000(033.0T TtT 
dt
dT
oo ==−κ−=�+κ=�κ= . 
 
3. # 41 Livro-texto 
As velocidades tangenciais das duas polias são iguais. Em qualquer momento, CCAA rr ω=ω . As 
acelerações angulares estarão portanto relacionadas por 
 
2
A
C
A
CCCAA rad/s 64.0)6.1(25
10
r
r
 rr ==α=α�α=α 
Daí segue 
s. 4.16
)60)(64.0(
)(100)(2
t tCC =
π
=�α=ω 
4. # 55 Livro-texto 
Pelo teorema dos eixos paralelos, 
3
)ba(M
4
)ba(
M
12
)ba(M
MdII
222222
2 +
=
+
+
+
=+= 
 
5. # 66 Livro-texto 
Calculando o torque resultante, 
 
Nm 14.0)05.0)(2()12.0)(4()12.0)(6(RFRFRF 132221 =−−=−−=τ 
 
A aceleração angular é dada pela equação da 2a Lei de Newton para a rotação de corpo rígido: 
 
2
22
rad/s 55.1
)12.0()2(
14.0
rM
 I =
π
=
π
τ
=α�α=τ no sentido anti-horário (positivo). 
7. # 85 Livro-texto 
A corda garante que, não havendo deslizamento, as velocidades tangenciais da esfera e da polia são 
iguais à velocidade de queda do objeto. Com isto é possível obter imediatamente as velocidades 
angulares da esfera e da polia em termos da velocidade de queda do objeto: 
 
r
v
 e 
R
v
 vrR pepe =ω=ω�=ω=ω 
Aplicando o teorema do trabalho e da energia cinética ao sistema, 
 
2mr
I
3m
2M
222
2
1
2gh
 v mgh
r
v
I
2
1
R
v
3
MR2
2
1
mv
2
1
++
=�=�
�
�
�
�
�
+�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
+ .
 8
13. CINÉTICA DA ROTAÇÃO II 
 
O Iô-Iô 
R
r
mg
T
 
Pela 2a Lei de Newton, as forças aplicadas ao iô-iô na vertical dão origem à aceleração do iô-iô, e o 
torque dá origem à sua aceleração angular: 
 
r
a
IITr
mamgT
=α==τ
=−
 
Com isto, 
21 mrI
g
a
+
= 
 
Assim, a aceleração linear do iô-iô, devido à sua inércia rotacional, é menor que a aceleração da 
gravidade: quanto maior o momento de inércia, menor será o valor da aceleração vertical do iô-iô. 
 
Momento angular 
 
O momento angular de um sistema de partículas é definido como o momento do momento 
linear do sistema: 
 
� �=×=
i i
iiii m lvrL 
O momento angular, assim como o torque, só existe em relação a um ponto. No movimento 
plano, o momento angular, assim como o torque, existem em relação a um eixo, e o vetor L é 
sempre perpendicualar ao plano do movimento, e a notação vetorial torna-se desnecessária, como 
acontece com o torque, a velocidade angular e a aceleração angular. Calculando a derivada do 
momento angular em relação ao tempo, 
 
ττττ��� =×=×+×=
i
i
ii
i
i
ii
i
ii
i
dt
d
m
dt
d
mm
dt
d
dt
d v
r
v
rv
rL
 
 
Isto é, o torque resultante em um sistema de partículas é igual à derivada do momento angular 
resultante. O ponto em relação ao qual ri é determinado pode ser o próprio centro de massa do 
sistema. Se mi varia, então as equações acima não se aplicam porque 0dtdmi ≠ . As expressões 
acima são diretamente generalizáveis para um corpo rígido. Assim, para um corpo rígido em 
movimento plano, com o centro de massa à velocidade v, o momento angular em relação a um eixo 
qualquer à distância d do centro de massa será 
 
mvdIL +ω= . 
 9
A forma da equação para o momento angular é idêntica à forma da equação para o torque. A 
conservação do momento angular ocorrerá quando 0dtd =L , de maneira idêntica à conservação 
do momento linear. Por exemplo, é a conservação do momento angular que dá equilíbrio a um 
ciclista em movimento. 
Em resumo, a rotação plana de um corpo rígido que esteja fixo, ou que o centro de massa se 
desloque com velocidade constante, está sujeito às forças e aos torques dados pelas seguintes 
equações 
 
 � � I� 
 
 G G at 
 
 r O O 
 
 an 
� � ��
�
α==ω==
α=τ
mrmaF ,mrmaF
I
tt
2
nn
 
 
 
Exemplos. 
1. Um disco voador desloca-se com velocidade vo enquanto gira com velocidade angular � 
constante em torno de seu eixo de simetria. Ache a aceleração linear do ponto A quando 
um jato de peróxido de hidrogênio é ligado, produzindo a força tangencial F. A massa da 
nave é m, o raio é r e o raio de giração é k. 
 
 
 r 
 
 A vo y 
 
 
 F 
 
 
 x 
O centro de massa é aqui o centro de rotação, e a distância de A ao centro de massa é o próprio raio 
do disco. A velocidade vo , sendo constante, não afeta a aceleração de A. Sendo k o raio de giração 
da nave, o seu momento de inércia é I = mk2. As direções x e y escolhidas são obviamente as mais 
convenientes. 
Torque: 
ακ=α=−=τ 2mIFr 
Forças: 
2
y
2
2
2x
mr
m
F
F
Fr
mr
m
Fr
mrF
ω+−=
κ
−=
κ
−
=α=
 
A aceleração total é, portanto, 
jia �
�
�
�
�
�
ω−−
κ
−=
2
2
2
r
m
F
m
Fr