Apostila fisica 3 cap25

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Capítulo 25 A Lei de Gauss
25.1	Uma nova formulação para a lei de Coulomb.
Faremos uma nova formulação para a lei de Coulomb, tirando vantagens da simetria dos objetos em situações matematicamente interessantes.
25.2	Do que trata a lei de Gauss?
O campo elétrico criado por uma carga puntiforme “q” é dado por:
�� EMBED Equation.DSMT4 
Já a lei de Gauss nos fornecerá uma outra maneira de obter essa mesma formulação, através de superfícies fechadas, chamadas superfícies guaussianas. Estas superfícies podem ter qualquer forma, mas para nosso benefício e facilidade de entendimento, clareza e indução para novas idéias, daremos preferência a superfícies fechadas de simetrias conhecidas, tais como: esféricas, cilíndricas, elipsóides, e outras que envolvam todos os objetos em questão, de forma que possamos distinguir os pontos dentro da superfície, sobre e fora dela. Como um exercício mental, suponhamos que ao percorrer o interior de uma superfície possamos medir todos os seus campos também todas as cargas, anotando todas as suas características.
A Lei de Gauss relaciona os campos na superfície gaussiana e as cargas no seu interior. Para o caso de uma superfície esférica onde para todos os pontos na sua superfície o campo tem o mesmo módulo e é radialmente voltado para fora, o que devemos saber para determinar com certeza a carga líquida no interior, é o fluxo de campo elétrico, através da superfície.
25.3 Fluxo
 Fluxo Φ = V/t m3/s 
, isto é V.A
Para uma situação geral, seja um fluxo de partículas de velocidade vp que atravessam uma área “A” sob um ângulo “(”, assim
 ou 
 ou 
 fluxo do campo de velocidade através de uma área A
	
25.4 Fluxo do Campo Elétrico
Para uma superfície irregular e tomando o vetor área (
 de módulo (A sempre perpendicular à superfície no ponto de contato, podemos somar cada um dos resultados 
, onde 	
 pode ser tomado cte. Devido o tamanho de cada 
 ser suficientemente pequeno. Temos assim dependendo do valor do ângulo “(” entre 
 e 
, valores negativos ( > 90º. Nulos ( =90º e positivos
(.< 90º.que podemos somar para obter o resultado final do fluxo Φ dado por 
tomando 
 muito pequeno teremos 
 ( d
 e 
( 
assim temos:
			Φ = 
 d
que é o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana 	Φdimensão= (N/C)m2 SI.
Resolva os exercícios:
1E, Num canal de irrigação de largura	2E, A superfície quadrada da fig. abaixo, ....
3E, Um cubo com 1,40m de aresta,...	4P, Calcule o fluxo Φ através, ...
25.5 A Lei de Gauss
A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ produzido por um campo elétrico “E” devido a uma carga total “q” envolta em uma superfície fechada “superfície gaussiana”:
			(O. Φ = q onde (O = 8,84x10-12
 é a constante de permissividade valor quando o meio é o vácuo.
Assim			Φ = 
 d
		 ( 	q = (O 
 d
Onde q é a carga líquida dentro da superfície fechada podendo ser (+) ou (-), se soma for (+) o fluxo estará saindo da superfície caso contrário entrando.
25.6 A lei de Gauss e A lei de Coulomb
q = (O 
 d
( q = (OE 
(
q = 
 ( E = 
Resolva os seguintes exercícios:
5E Quatro cargas 2q1, q, -q e -2q...		7E Uma carga puntiforme de valor q = 1.8(C..
8E O fluxo líquido Φ através...		9E Na fig. abaixo uma carga puntiforme...
10E Uma rede de pegar borboletas ...	11P.Determinou-se experimentalmente, que o ..
14P A lei de Gauss para a gravitação....
10E Uma rede de pegar borboletas está num campo elétrico uniforme como mostra a fig. ao lado. A borda da rede de raio r = a, está posicionada perpendicularmente ao campo. Determine o fluxo através da rede.
 como ( faz zero grau com a normal 
 Ea2(, como o fluxo sai da superfície “(” = 180º. Assim Φ = - (a2E.
25.7 Um condutor carregado isolado
Qualquer excesso de carga colocado em um condutor se moverá totalmente para a superfície do condutor.
Nenhum excesso de carga será encontrado no interior do corpo condutor;
Para um condutor isolado e carregado, seu inteiro possui campo elétrico 
 pois as cargas pelo princípio da energia mínima se afastarão uma das outras e migrarão para a superfície exterior do objeto assim, q = (O 
 d
 = 0, isto é, não existem cargas no seu interior pois elas estão em equilíbrio eletrostático, “não há corrente.
15E O campo elétrico imediatamente acima da superfície de um tambor carregado de uma máquina fotocopiadora tem módulo E = 2,3x105 N/C. Qual é a densidade superficial de cargas sobre o tambor, sendo ele condutor?
( = (OE = 8,85x10-12C2/Nm2.2,3x105N/C ( ( = 2,04x10-6C/m2.ou
= 2,04(C/m2.
Resolva os exercícios:
16E Uma esfera carregada condutora...	17E Veículos espaciais....
19.P Um condutor isolado de forma esférica arbitrária tem uma carga líquida de q = +10,0x10-6C. Dentro do condutor existe uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme q = +3,0x10-6C.
a. Qual é a carga sobre a parede da cavidade qpc?
Como não há fluxo no seu interior 
E = 0, assim qpc = - 3,0x10-6C.
b.Qual é a carga sobre a superfície externa do condutor qse?
qpc = +10,0x10-6C + 3,0x10-6C = +13,0x10-6C.
25. Lei de Gauss para a simetria cilíndrica
Vamos determinar uma fórmula para o módulo do campo elétrico 
 a uma distância 
 do eixo da barra uniformemente carregado com densidade linear de carga λ, conforme fig. abaixo.
	
 como ( faz zero grau com a 
normal	
 ( Φ = EA, onde A = 2(rh, assim o fluxo 
é: , Φ = 2(rhE como a carga dentro da superfície é dada por q = 
λh e pela lei de Gauss q = (OΦ, igualando essas duas equações temos:
	
	(OΦ = λh ( (O2(rhE ( 
Resolva os exercícios:
22E (a) O tambor da máquina 		22E(b)O fabricante da maq.....
23P A fig abaixo mostra uma seção através de um tubo longo metálico, cujas paredes são finas. O tubo tem raio R e uma carga por unidade de comprimento λ sobre a superfície. Obtenha as expressões para 
 em função da distância “r” ao eixo do tubo, considerando:
r > R
r < R.
Faça um gráfico de seus resultados na faixa r = 0 até r = 50,0cm, supondo λ = 2,0x10-8C/m.
Solução do item (a). r > R
Da lei de Gauss (OΦ = q ( = (O 
 d
 = q
( (O2(rhE = q, como λh = q ( (O2(rE = q,
assim, 	
Solução do item (b)
r < R
Da lei de Gauss (O 
 d
 = q,se traçarmos uma superfície gaussiana no interior do cilindro com r < R a região delimitada por ela terá carga igual a zero, portanto o campo no seu interior será zero.
Solução do item (c)	
	Faça o gráfico	
24P A fig. abaixo mostra uma seção através de dois cilindros longos e finos concêntricos de raio a e b com a ‹ b . Os cilindros possuem cargas iguais e opostas, por unidade de comprimento λ . Usando a lei de Gauss prove:
(a)E = 0 para r ‹ a e
(b) 
 para a < r < b
Para uma superfície gaussiana A de raio r concêntrica aos raios dos cilindros a e b e de forma cilíndrica temos:
(O 
 d
 = 2(rE =qdentro ( 
Continue o exercício completando o raciocínio:
Para a situação r < a ...
. Para a situação a < r < b ...
Tarefa para casa.
25P Um fio reto longo tem uma carga negativa fixa com uma densidade linear de carga 
λ = 3,6 nC/m. O fio é envolvido por um cilindro não condutor, fixo de raio r = 1,5 cm, co-axial com o fio. O cilindro carregado positivamente sobre sua superfície externa deve ter uma densidade superficial de carga ( de um valor tal que o campo elétrico resultante fora do cilindro seja zero. Determine o valor necessário de (.
= (OE
26P A fig. abaixo mostra um contador Geiger, dispositivo usado para detectar radiação ionizante (radiação que causa ionização de átomos, estado gasoso ). O contador consiste de um fio central, fino carregado positivamente circundado por um cilindro condutor circular concêntrico, com umacarga igual e negativa formando desse modo um forte campo elétrico no seu interior. O cilindro contém um gás inerte à baixa pressão.Quando uma partícula de radiação entra no dispositivo através da parede do cilindro, ioniza alguns átomos do gás, os elétrons livres ganham energia suficiente para ionizá-los também. Criam-se assim mais elétrons livres,processo que se repete até os elétrons alcançarem o fio. A avalanche de elétrons é então coletada pelo fio, gerando um sinal usado para registrar a passagem da partícula de radiação. Suponha que o raio do fio central de 25 (m; o raio do cilindro de 1,4cm.;o comprimento do tubo de 16 cm. Se o campo elétrico na parede interna do cilindro for de 2,9x104 N/C, qual será a carga total positiva sobre o fio central?
Dados do problema:
	rfio = 25 (m
	rcil = 1,4 cm
	Lcil = 16 cm
	Epin = 2,9x104 N/C
O campo elétrico está dirigido radialmente para fora, a partir do fio central. O que se deseja então
é determinar a sua intensidade na região entre o fio 
e o cilindro como uma função da distância “r” a partir do fio. Criando-se uma superfície gaussiana de forma cilíndrica de comprimento “L” e raio “R”, onde rfio < R < rcil, assim somente a carga do fio é considerada, seja ela “q”. A área desta superfície gaussiana é dada por A = 2(rL, fazendo com que o fluxo “Φ” seja Φ = (O,A (
	Φ = 2(RL, se considerarmos que toda a radiação sai perpendicular à parede do cilindro então nas sua duas tampas o fluxo de carga é zero. Assim Φ será o fluxo total. A lei de Gauss diz que ...continue.
Resolva os exercícios:
28P Dois cilindros carregados, longos..	30Puma carga está uniformemente distribuída....
25.10 Lei de Gauss para Simetria Plana (Chapa não condutora) 
A placa da fig. (a) ao lado tem densidade superficial uniforme de carga de valor (. 
Queremos determinar o campo elétrico 
 a uma distância “r” da chapa. Usaremos para isso uma superfície cilíndrica gaussiana. Considerando a simetria vemos que 
 é perpendicular à placa não condutora e às bases do cilindro e apontando sempre para fora. Como o campo é paralelo à superfície do cilindro não há fluxo Φ e conseqüentemente campo através de suas paredes, portanto, 
 nas suas bases. 
A lei de Gauss diz que q = (O 
 d
 ( (.A = (O (EA + E.A), isto é,
	
 veja a dedução desta equação no capítulo anterior pag. 27, eqç 24.28 
Placa condutora
Em uma placa condutora todo o excesso de carga se estabelece nas duas faces, como na fig. ao lado.
Na ausência de um campo elétrico externo que modifique a distribuição de carga na superfície da placa, ela terá uma densidade superficial de carga uniforme (1 cujo campo elétrico criado por ela é E = (1/(O.
A fig (b) mostra a situação do campo elétrico para uma carregada negativamente.
A fig. (c) mostra as placas a e b próximas uma da outra e paralelas, toda a carga em excesso se acumula na face de cada placa 
passando então para a 2(1, assim 
E = 2(1/(O.ou E = (/(O.
Obs. Leia o texto na pág. 52 e saiba o que é efeito de borda.
Resolva os exercícios:
31E A fig ao lado mostra duas placas não condutoras, grandes e paralelas, com distribuição idêntica de cargas positivas. Qual o valor do campo elétrico 
 para os pontos:
(a) à esquerda das chapa
(b) entre as placas;a
(c). à direita das placas
Solução:
Conforme vimos o campo elétrico para uma placa não condutora 
carregada com densidade superficial de carga ( é ( ao plano da chapa
e tem intensidade 
. Assim pelo principio de superposição teremos:
em a. E = 
em b. E = 
em c. E = 
32E Uma placa condutora metálica quadrada de 8,0 cm de lado e espessura desprezível tem uma carga total Q = 6,0x10-6C.
Estime o módulo E do campo elétrico imediatamente fora do centro da placa, a uma distância de 0,50 mm, supondo que a carga esteja uniformemente distribuída sobre as duas faces da placa.
Para uma distância tão pequena quanto essa podemos supor que o campo da placa se apresenta para esta carga como se ela fosse uma placa.....continue.
Estime o campo elétrico E a uma distância de 30m (relativamente grande comparada ao tamanho da placa). Suponha que a placa seja uma carga puntiforme.
( = q/A = q? e E = (/(O. portanto continue...
33E Uma superfície de placa grande, não condutora, tem uma densidade uniforme de carga (. Um pequeno furo circular de raio “R” esta situado bem no centro da chapa, como mostra a fig. ao lado.
Despreze a distribuição das do campo ao redor das bordas e calcule o campo elétrico no ponto “P”, a uma distância “z” do centro do furo, ao longo de seu eixo. (sugestão use a eqç. 
 para o disco carregado e use o princípio de superposição.
ER = ....continue.
34P Na fig ao lado, uma pequena bola, não condutora, de massa m= 1,0 mg e carga q = 2,0x10-8C, uniformemente distribuída, está suspensa por um fio isolante e faz um ângulo de ( = 30º. Com uma chapa não condutora, vertical uniformemente carregada. Considerando o peso da bola e supondo a chapa extensa, calcule a densidade superficial de carga ( da chapa.
Solução:...
35P Um elétron é projetado.....resolva
39P* Uma chapa plana de espessura “d”, tem uma densidade volumétrica de carga constante “(”. Determine o módulo do campo elétrico “E” em todos os pontos do espaço, tanto:
a.dentro, como (b) fora da chapa, em termos de “x”. A distância medida a partir do plano central da chapa. Faça você mesmo.....
25.11 Lei de Gauss para a simetria esférica
Nesta seção usaremos a lei de Gauss para
provar os teoremas das cascas apresentados 
sem prova na seção 23-4, que enuncia:
Uma casca com carga uniforme atrai ou repele 
uma partícula carregada externa à casca, como 
se toda sua carga se concentrasse no seu centro.
Uma casca com carga uniforme não exerce força
eletrostática sobre uma carga carregada que se
Casca esférica fina uniformemente carregada com carga total “q” A superfície S2 envolve a S1
localiza no interior da casca.
De procedimentos anteriores sabemos que
E = 
, 
Este campo é o mesmo que seria criado por uma carga puntiforme colocada no centro da esfera. Assim o módulo da força exercida pela casca é igual ao módulo da força que seria exercida pela carga puntiforme “q” colocada no centro da casca.
Prova do teorema da casca.
Aplicando a lei de Gauss para a superfície S1, onde 
r < R, obtém-se: 
já que (O 
 d
 = q 0 ( E = 0.
Casca esférica para r < R. já que não há cargas no interior da casca.
Assim se uma partícula carregada fosse colocada no interior da casca, ela não exerceria força eletrostática sobre a casca. Prova-se assim o 2º. Teorema.
40E Uma esfera condutora de raio R = 10 cm possui uma carga desconhecida. Sabendo-se que o campo elétrico à d = 15 cm do centro da esfera vale 3,0x10+3N/C e aponta radialmente para dentro. Qual é a carga líquida sobre a esfera?
E = 
, continue...
Faça os exercícios:
42E Uma esfera metálica de parede fina..	44E Uma casca esférica metálica de raio a....
45E Num trabalho escrito em 1911	46E A eqç 25-12 E = (/(o nos dá o campo elet....
48P A fig abaixo mostra uma esfera de raio “a” e carga “+q” uniformemente distribuída através de seu volume, concêntrica com uma carga esférica condutora de raio interno “b” e raio externo “c”. A casca tem uma carga líquida “-q”. 
Determine expressões para o campo elétrico em 
função do raio “r” nas seguintes situações:
dentro da esfera r < a
entre a esfera e a casca a < r..<..b
no interior da casca b < r < c
fora da casca r < c
quais são as cargas sobre as superfícies interna e externa da casca?
	(O 
 d
 = 4(r(oE	(1)
r < a , a carga limitada pela superfície gaussiana será 
proporcional ao volume por elalimitado, assim:
, a lei de Gauss diz (oΦ = q (
b	a..< r..< b continue...
50P A fig. ao lado mostra uma carga puntiforme
q = 1,0x10-7C, no centro de uma cavidade de 
raio r = 3,0cm incrustada numa peça metálica.
Use a lei de Gauss para determinar o campo
elétrico:
No ponto P1, a meia distância entre o 
centro da cavidade e a superfície da mesma.
b.	No ponto P2.
Faça os exercícios:
52P Uma esfera maciça não condutora		54P uma esfera não 		condutora tem uma
			cavidade....
56 Uma distribuição de carga
59 Quando uma esfera, eletricamente neutra, de raio “a’....
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