Apostila fisica 3 cap26

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Capítulo 26 Potencial elétrico
26.1	Gravitação, eletrostática e Energia Potenciais.
�
		(U = Uf – Ui = - Wif							(1)
onde Wif = é o trabalho realizado pela força gravitacional para deslocá-la de “i” até “f”, força conservativa, isto é, não depende da sua trajetória entre os pontos “i” e “f”.
Quando uma carga teste é deslocada de um ponto inicial “i” até um final “f” dentro de um campo elétrico “E”, podemos equacionar da seguinte maneira:
			(Uq = - Wif							(2)
A diferença de energia potencial elétrica é obtida usando-se o seguinte referencial
Ui = 0 e Uf = U assim (2) torna-se, 
			U = - W∞f							(3)
26.2 O potencial elétrico
 
A energia potencial de uma carga puntiforme “q” depende do campo elétrico “E” onde ela se movimenta e do módulo da sua carga. Já a energia potencial por unidade de carga, tem um único valor em qqer ponto num campo elétrico “E”.
Por exemplo, para uma carga q = 1,6x10-19C em um campo elétrico E cuja energia potencial.
U = 2,40x10-17J tem-se:
		Upc = U/q = 2,40x10-17J/1,6x10-19C = 150J/C.
Se se dobrar a carga por q = 3,2x10-19C ter-se-ia a energia potencial dobrada para 4,80x10-17J de forma que ter-se-ia 
			4,80x10-17J/3,2x10-19C = 150J/C,
Esta grandeza é simbolizada por:
V = U/qo							(4)
Chamada de potencial elétrico ou simplesmente potencial.
A diferença de potencial
(V = Vf - Vi = Uf/qo – Ui/qo = (U/qo			(5)
			(V = (U/qo = - Wif /qo (definição de diferença de potencial)
Tomando a energia potencial Ui = 0 no infinito, define-se então o potencial,
V = - W∞f /qo	(J/C) = Volt.					(6)
A energia potencial Joule “U” , o potencial elétrico (J/C) = volt. “V”
			
Definição do eletron-volt
	É uma energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma única carga elementar “e”, tal como a carga do elétron ou do próton, através de uma diferença de potencial de exatamente um volt.
			E = eV = 1,60x10-19C.J/C = 1,60x10-19.J
Exercícios:
1.E A diferença de potencial entre a Terra e uma nuvem numa determinada tempestade é (V = 1,2x109V. Qual é o módulo da variação da energia potencial elétrica (U? (Em múltiplos de eletron-volt) de um elétron que se move nesse meio?
			(U = -qoV = -(-1,60x10-19Cx1,2x109V)
			(U = 1,92x10-10C.V = 1,92x10-10J
			1eV 	→	1,6x10-19J
							( x(eV) = 1,92x10-10J/1,6x10-19J ou
			x(eV) 	→	1,92x10-10J 
 
							x = 1,2x109eV ( x = 1,2 GeV
Resolva os exercícios:
2E.Uma bateria de carro....			3P Em um relâmpago típico.....
26.3 Superfícies equipotenciais
Superfícies equipotenciais apresentam o mesmo potencial em qquer de seus pontos. Assim não há trabalho, quando se desloca uma carga elétrica sobre ela. As superfícies equipotenciais ou linhas equipotenciais são sempre perpendiculares ao campo elétrico.
26.4 Cálculo do potencial a partir do campo.
Para o deslocamento 
 tem-se 
 
 (
, 
tomando Vi = 0 tem-se:
			
						(7)
4E Duas linhas infinitas de carga estão paralelas ao eixo z. Uma de carga por unidade de comprimento +λ, está a uma distância “a” à direita desse eixo. A outra, de carga por unidade de comprimento –λ, está a uma distância “a” a esquerda do eixo (as linhas e o eixo estão no mesmo plano. Esboce algumas das equipotenciais do arranjo.
Exemplo 1.
A fig. ao lado mostra dois pontos “i” e “f” em um campo elétrico uniforme “
.
Os pontos estão sobre a mesma linha de campo elétrico (não mostrada na fig.) Eles estão separados por uma distância “d”.
Ache a diferença de potencial (V, quando a carga de prova positiva qo se move de “i” até “f” ao longo do caminho que é paralelo à direção do campo elétrico.
Solução:como a carga de teste se move de “i” até “f” como na fig., seu deslocamento infinitesimal 
que estará sempre na direção do movimento, aponta na mesma direção do campo elétrico 
. O ângulo “(” entre esses dois vetores é zero.
Assim da equação 
, como o campo é uniforme, E é constante sobre todo o caminho podendo portanto ser retirado do integrando, assim teremos:
			
�� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 , onde a integral é simplesmente “d”. O sinal menos significa que o potencial no ponto “f” é menor do que aquele no ponto “i”. Este resultado é geral; o potencial sempre diminui ao longo do caminho que está ao longo da direção das linhas do campo elétrico.
Determine agora a diferença de potencial 
 quando a carga de teste positiva qo é movimentada de “i” até “f’ ao longo do caminho “icf”, como mostrado na fig.
Solução: Para todos os pontos ao longo da linha “ic” o campo elétrico 
 é ( ao 
, assim 
.
 = 0, em toda a trajetória.
 A equação			
 nos diz que os pontos “i” e “c” estão no mesmo potencial. Em outras palavras “i” e “c” estão na mesma superfície equipotencial. Para o trajeto de “c” até “f” tem-se ( = 45º. assim tem-se:
				
= 
= 
. A integração desta equação é o caminho da linha “cf”, a qual é 
, assim 
, que é o mesmo resultado do item (a). O que este resultado nos diz é que a diferença de potencial não depende do caminho usado para se realizar a integração e sim dos pontos de potenciais inicial e final. Logo para você economizar tempo e trabalho escolha o melhor caminho para fazê-lo.
5E.Quando um elétron se move de A até B ao longo da linha de campo elétrico mostrada na fig. abaixo, o campo elétrico realiza trabalho W = 3.94x10-19J sobre ele. Quais são as diferenças de potencial elétrico.
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 
Resolva os exercícios:
6E. A fig ao lado (
Faça o exercício fig.10P. (
Faça os exercícios 11P, 12P, 13P* Resolva o exercício 14P* e substitua a menor nota de teste da 2ª. Fase.
26.5 Potencial criado por uma carga puntiforme
Queremos determinar o potencial V criado por uma carga “q” no ponto “p” a uma distância “r” daquela carga.
Tomamos nosso referencial V = 0 no infinito, deslocando então uma carga qo do infinito ao ponto “P”. Como a trajetória dessa carga não importa como visto no exemplo 1., levamos a carga “q” radialmente passando-a por “P”.
É necessário determinar o produto escalar 
 para resolver a integral 
, imaginando qo a uma distância r´ de ‘q”.
 forma com 
 180º. e 
 ( 
, o módulo do campo elétrico na posição da carga teste é dado por: 
, assim 
 = 	
, para o q negativo 
	(8)
para determinar a diferença de potencial (V entre dois pontos quaisquer próximos a uma carga puntiforme isolada, basta aplicar a eqç. Acima a cada um dos pontos e subtrairmos um potencial do outro. Essa subtração dá o valor correto da diferença de potencial independente de onde se tenha definido o potencial zero..
Exercícios:
15.E Considerando uma carga puntiforme q = +1,0(C e dois pontos A e B que distam, respectivamente 2,0m e 1,0m da carga.
Tomando tais pontos diametralmente opostos, como mostra a fig. abaixo, qual é a diferença do potencial (Vba= Va – Vb?
 = 
1,0x10-6Cx9x109
,( 
 ou (Vba = - 4,5KV
Faça os mesmos cálculos para a situação
Mostrada na figura ao lado (
Resolva os exercícios:
18E. Enquanto uma nave se move..		27P.Uma esfera de cobre de raio igual...
	Gráfico do potencial em três dimensões gerado por uma carga puntiforme positiva, a carga está na origem do plano xy, V(r) é calculado para pontos nesse plano e tais valores são plotados verticalmente. Desenho elaborado computacionalmente.
26.6 Potencial criado por um grupo de cargas puntiformes
Para se calcular o potencial elétrico de um grupo de cargas pontuais, determina-se o potencial de cada carga no ponto desejado e faz-se o seu somatório, assim tem-se:
	(n cargas puntiformes).		(9)
Resolva o problema 35P.
26.7 Potencial criado por um dipolo elétrico.Qual é o potencial criado pelas cargas da 
figura ao lado no ponto “P”.
	
 para r >> d, 		(10)
onde d é a distância entre as cargas.
	
 ≈ 
 e 
 ≈ 
 
assim
	
 ou 
	(11)
Prob. 28E.Para a figura abaixo, tomando V = 0 no infinito, localize em termos de “d” um ponto sobre o eixo “x” que não esteja no ∞ ), onde o potencial devido às duas cargas seja nulo. Tome q1 = +q e q2 = - 3q
Solução:
(a)	Para x1 > 0 
 
 ou 
(b)	Para x2 < 0
	
 
					
Faça os exercícios 30E, 32P e 34P
26.8 Potencial criado por uma distribuição contínua de carga.
Para este caso devemos passar de uma soma discreta de cargas localizadas para uma soma contínua sobre todo o objeto. Assim ao invés de falarmos em uma carga “q” falaremos em um elemento de carga dq, transformando desta maneira a equação:
			
 se transformando em 	
 que integrando fornece
			
,	 a integral deve ser feita sobre toda a 	(12)
Seja a distribuição linear de carga apresentada nas figuras ao lado.
A questão a ser resolvida agora é:
Qual é o potencial no ponto “P” , a uma distância “d”, devido a uma linha não condutora de carga positiva de distribuição uniforme, de comprimento “L” que se estende ao longo do eixo “x”?
		
Considerando um pequeno deslocamento “dx” como na fig. (b) teremos uma correspondente variação de carga dada por:
			dq = λdx 							(13)
do arranjo trigonométrico da fig.(b) temos 
 como 
 teremos
( 
 usando lnA – lnB = ln(A/B) teremos,
		
		
					(14)
Resolução do prob.36E.
A figura abaixo mostra uma barra fina de plástico com carga positiva de comprimento “L” e densidade linear de carga “λ”. Fazendo V = 0 no ∞ e considerando a equação deduzida a partir da situação mostrada na fig.anterior, isto é, 
		
Determine o potencial elétrico
no ponto "P" sem fazer cálculo.
�
Neste caso tem-se a contribuição dos dois lados e L = L/2 , assim teremos:
Faça o item (b) para a figura (b) onde a metade da barra plástica é negativa.
Resolva também os exercícios 38P, 39P e 41P.
Potencial em um ponto “P” para a situação de um disco carregado como na figura ao lado.
Na seção 24-7 obtemos o campo elétrico em pontos sobre o eixo de um disco plástico de Raio R de densidade superficial de carga “(” sobre sua face superior. O que faremos agora é deduzir uma expressão para o potencial V(z) em um ponto qualquer sobre o eixo z, como mostrado na figura ao lado.
Se tomarmos uma pequena variação dR’ do seu raio, estaremos também na seqüência caracterizando uma porção da sua carga, digamos dq, que equacionamos da seguinte forma:
			
						(15)
como 			
, é a equação que quando aplicada a uma distribuição contínua de carga fornece o potencial em um ponto qualquer, do espaço que se tenha interesse. Assim resolvendo-a temos:
			
			
�� EMBED Equation.DSMT4 , devemos resolver a integrar 		
, uma vez que devemos considerar toda a carga do disco, 
assim vem:		
, fazendo 
 assim 	
, 
logo			
					(16)
	
Exercício 40P.
Um disco de plástico é carregado sobre um lado com uma densidade superficial de carga “(”, e a seguir três quadrantes do disco são retirados. O quadrante que resta, é mostrado na figura ao lado. Tomando V(∞) = 0, qual é o potencial criado por esse quadrante no ponto “P”.?
Solução: Para um disco completo o potencial é:
			
		 na situação apresentada na figura 
Resolva os exercícios:
41p e 48p.
Exemplo 26.7
O potencial em qualquer ponto sobre o eixo de um disco carregado é dado pela equação 26-30 que é:
			
A partir dessa equação deduza uma expressão que fornece o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo do disco.
			
(
	
 (
logo,
			
Resolva os exercícios: 44E.
26.9 Cálculo do campo a partir do potencial
Conhecendo-se o potencial “V” em todos os pontos próximos de um conjunto de cargas pode-se desenhar uma família de superfícies equipotenciais. As linhas de campo “
” traçadas perpendiculares a elas, mostram como o campo elétrico “
” se comporta.
Qual é o equivalente matemático desse procedimento?
A diferença de potencial entre uma superfície equipotencial e outra é dV, para a carga teste qo positiva se deslocar ds de uma a outra superfície um trabalho dW é realizado, assim se estabelece:
			
			(17)
�� EMBED Equation.DSMT4 ( 
 considerando a equação acima temos:
			
, 						(18)
como 
 é a componente do campo 
 ao longo de 
 a equação acima pode ser escrita como:
			
�� EMBED Equation.DSMT4 							(19)
O sub-índice em “s” em “E” indica que o campo neste caso é ao longo do caminho “s”. 
Porém para uma situação no espaço cartesiano teríamos as seguintes equações para o campo elétrico:
			
			
, 
�� EMBED Equation.DSMT4 e 
Resolva o prob.49.
A barra fina com carga positiva, fig. ao lado, tem densidade linear de carga “λ” e se encontra ao longo de um eixo x como na figura, o ponto “P” está no eixo “x” após “L” não aparece na figura..
Com V = 0 no ∞, determine o potencial devido à barra no ponto “P” sobre o eixo x.
A partir do resultado do item (a) calcule a componente do campo elétrico em um ponto “P” ao longo do eixo “x”.
Use a simetria para determinar o campo elétrico em um ponto “P”, perpendicular ao eixo “x”.
26.10 Energia potencial elétrica de um sistema de cargas puntiformes.
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas puntiformes fixas é igual ao trabalho que deve ser realizado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo cada uma das cargas de uma distância infinita.
# Supomos que as cargas estão em repouso em suas posições iniciais, infinitamente distintas e também na sua configuração final:
1ª.	Situação	cargas q1 e q2 no infinito;
2ª.	Situação 
3ª.	Situação	potencial de q1 ( 
4ª.	Situação	trabalho realizado para trazer q2 do ∞ a uma distâncias “r” de q1 é 
igual a:		
, assim	
	
Exemplo 26.8
Para a figura ao lado qual é a energia potencial para esse sistema?
d = 12,0cm = 0,12m
q1 = +q
q2 = - 4q
q = 150nC
Solução:U12 = 
,
	U13 = 
,
	U23 = 
	( UT = U12 + U13 + U23 (
	UT = 	
 + 
 + 
 = 
	
	UT = 
 -16,9 mJ.
Resolva os exercícios:
51.E, 52.E, 54.E, 56.E, 58.E, 60E e 65.P.
26.11 Um condutor Isolado	
Um excesso de carga colocado num condutor se espalhará por sua superfície, até que todos os pontos do condutor no interior e na superfície atinjam o mesmo potencial. Isso é verdade, independentemente do condutor possuir ou não uma cavidade interna.
Prova: 
, como 
 = 0 em todos os pontos de um condutor ( 
, 
para todos os pares possíveis de pontos no condutor.
73.E Uma esfera metálica oca possui uma carga q = 5,0x10-9C e seu potencial em relação à Terra, é de +400V. Determine o potencial elétrico no centro da esfera.
Solução:
	Como o condutor é equipotencial, o potencial no centro da esfera é também + 400V.
Resolva os exercícios:
75.E, 76.E, 78.P, 85.P, 88, 89 e o 90.
Para o caso da bola de massa mo, Podemos analisar o seu movimento sob o ponto de vista da energia, onde sua energia potencial se transforma em cinética, durante a sua queda livre.
Considerando a identidade matemática das leis básicas da física, devemos também ser capaz de analisar o movimento da carga elétrica sob o ponto de vista da transformação de sua energia, em especial sua energia potencial elétrica “U”, que dever ser uma função da sua posição. A massa mo se deslocando de “i” até “f” apresenta uma variação na sua energia potencial dada por:
�PAGE �
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