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Apostila fisica 3 power point de lei de gauss

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13 de o13 de outubroutubro de 2004de 2004
Lei de Gauss e Lei de Gauss e aplicaçõesaplicações
RevisãoRevisão -- Lei de CoulombLei de Coulomb
z Cargas iguais se repelem, F
está sempre na direção da 
outra carga
z Cargas diferentes se atraem, F 
está sempre na direção oposta
à outra carga
2
21
r
qq
kF =
2
0 r
q
k
q
FE ==zO Campo Elétrico, E,devido a uma carga q,
sentido por uma carga de
teste positiva, q0
EqF
GG =zInversamente F sobre uma partícula 
carregada em um campo
∑
=
=
N
i
iqq
FF
1
GG
3
04
1
i
i
iiq rr
rrqqF −
−= G
GGG
πε
0
)(
q
FrE GG =
G
3
0 '
'
4
1)(
rr
rrqrE GG
GGGG
−
−= πε
∑∑
== −
−==
N
i i
i
i
N
i
i
rr
rrqErE
1
3
01 4
1)( GG
GGGGG
πε
Lei de GaussLei de Gauss
z Uma forma da lei de Coulomb
qint é a carga total interna à
superfície Gaussiana
0 intqε Φ =
•O Fluxo é proporcional ao número de linhas de E
que atravessam a superfície Gaussian
E dAΦ = ⋅∫ GGv
Lei de Gauss Lei de Gauss -- ângulo sólidoângulo sólido
Ângulo sólidoÂngulo sólido e Lei de Gausse Lei de Gauss
2
. '
esfera
r dAd
r
Ω = Ω =∫ ∫
G�
. '
esfera
E dAΦ = ∫ GGv
2
. 'r dAd
r
Ω =
G�
2
'dAd
r
Ω =
2
0
1 . '
4esfera
qr dA
rπε= =∫
� Gv
2
2
0 0
1 4
4
r qq
r
π
πε ε=
2
'dA
r
= =∫ 221 4 4rr π π=
Lei de Gauss Lei de Gauss –– aplicação aplicação a a condutorescondutores
z Excesso de cargas se 
localiza na superfície
z Campo E é ⊥ à superfície
do condutor (cargas 
estáticas))
int
0
. 0qE dA εΦ ≡ ≡ =∫
GG
zE = 0, dentro do condutor
Campo Campo na superfna superfícieície de de 
ccondutoresondutores
z Como determinamos E proximo à superfície 
externa de um condutor?
•Nas paredes cilíndricas fora do condutor
E ⊥ à superfície A, logo Φ = 0.
Na tampa de fora Φ = EA
• Considere uma superfície 
gaussiana cilíndrica enclausurando 
parte do condutor
•Some o fluxo através da superfície; 
dentro do condutor E = 0, logo Φ = 0
Aplicando a Lei de Gauss e Φ = EA
0 0 intEA qε εΦ = =
intq Aσ=
0ε
σ=E
Se σ = carga por unidade de 
área, então
E para uma superfície condutora
Em sumaEm suma, , nos condutores nos condutores ……
z E nas vizinhanças da superfície externa de condutor 
é proporcional à densidade superficial de cargas 
naquele ponto da superfície e ⊥ à superfície
z Se a carga - no condutor, E aponta para o condutor
z Se a carga + no condutor, E aponta para fora o 
condutor
0
E nσε=
G �
Lei de Gauss Lei de Gauss –– haste haste isolante infinitaisolante infinita
z Densidade linear de carga λ
z Como você imagina ser as
linhas de E ?
z Construa uma superfície 
gaussiana em formato
compatível com a simetria do 
campo
Lei de Gauss Lei de Gauss –– hastehaste isolante infinitaisolante infinita
zΦ = 0, nas tampas do cilindro
zΦ = EA, na superfície cilíndrica
z Substituindo na Lei de Gauss
rhA π2= intq hλ=
0 0 intEA qε εΦ = =
zE para uma linha de cargas
r
E
02πε
λ=
Lei de Gauss Lei de Gauss –– casca esféricacasca esférica de de raio raio RR
z Aplique a lei de Gauss a uma gaussiana S2
0 int 0q E dAε εΦ = = ⋅∫ GGv
int
0
qE dA EdA ε⋅ = =∫ ∫
GGv v
zE aponta para fora da 
gaussiana, então
24 rA π=
Rr
r
qE ≥= ,
4
1
2
0πε•Substituindo encontramos
z E fora de uma casca
esférica é o mesmo que o 
de uma carga pontiforme
no centro da esfera..
z A carga dentro de S1 é 
zero, então, pela lei de 
Gauss, E=0 dentro da
casca, r < R.
z Se uma carga for colocada 
dentro da casca nenhuma 
força atuará sobre ela
2r
qkE =
Lei de Gauss Lei de Gauss -- Placa não condutoraPlaca não condutora comcom
densidadedensidade dede carga carga σσ
0 encE dA qε ⋅ =∫ GGv
AEAEA σε =+ )(0
02ε
σ=E
Lei de Gauss Lei de Gauss -- Placa condutora carregadaPlaca condutora carregada
z Carga total se divide nas 
duas superfícies
z σ1 é a carga por unidade
de área em uma
supefície, 
z σ1 = σ/2
0
1
ε
σ=E
Lei de Gauss Lei de Gauss -- Placas Placas 
condutoras positivacondutoras positiva ee
negativa colocadas próximasnegativa colocadas próximas
z Excesso de cargas
migra para a cada 
uma das superfícies 
internas
z A nova densidade
superficial de carga, 
σ, é igual a 2σ1
00
12
ε
σ
ε
σ ==E
Lei de Gauss Lei de Gauss –– esfera esfera nnão ão condutora sólidacondutora sólida
z Raio R e carga total 
(uniformemente
distribuída) q, densidade ρ
z Gaussiana esferica, raio r
fora da e, concêntrica à, 
esfera
z Mesmo resultado para a 
casca
Rr
r
qkE ≥= ,2
r<Rr<R
z Use uma série de 
gaussianas esfericas dentro 
da distribuição de cargas
z A carga total interna à 
esfera de raio R e assim q’ 
dentro da esfera de raio r é 
proporcional a q
3
3
43
3
4 R
q
r
q
ππ =
′
2r
qkE
′=
3
3
R
rqq =′z Então, 
•Campo E dentro da esfera é 
dado por
Rr
R
kqrE ≤= ,3
Lei de Gauss Lei de Gauss –– hora hora de de testarmostestarmos
z Duas placa largas, paralelas e não condutoras, 
com cargas idênticas (+) e uma esfera
uniformemente carregada (+). Coloque os
pontos indicados em ordem crescente de 
intensidade de campo.
• E devido às placas
z E devido à esfera
z A intensidade depende da distância ao centro da esfera
0=E
2r
qkE =
3 = 4, depois 2, e depois 1
DipoloDipolo Elétrico Elétrico 
sinr F rFτ φ= × =G G G• Definição de torque
• Para um dipolo
sin sinτ xF θ (d x)F θ= + −
p Eτ = ×G G G
sin sind F θ (qd) (F/q) θ= =
Então,
DipoloDipolo ElétricoElétrico
z Torque sobre um dipolo tende a girar p na
direção de E 
z Associar energia potencial, U, com a 
orientação de um dipolo elétrico num 
campo E
z Dipolo tem U mínima quando p está
alinhado com o campo E
DipoloDipolo Elétrico Elétrico 
∫∫ =−=−=
θθ
θθθτ
9090
sin dpEdWU
z Lembre 
zEnergia potencial de um dipolo
cosU pE p Eθ= − = − ⋅G G
zU é mínima (máxima) quando p e E
estão na mesma (oposta) direção 
CondutoresCondutores ((ExemploExemplo))
Uma esfera de carga -50e está no centro de 
uma casca metálica esférica que tem 
uma carga líquida de -100e. Qual a 
carga 
a) na superfície interna da casca e
b) na sua superfície externa?
	13 de outubro de 2004
	Revisão - Lei de Coulomb
	Lei de Gauss
	Lei de Gauss – aplicação a condutores
	Campo na superfície de condutores
	Em suma, nos condutores …
	Lei de Gauss – haste isolante infinita
	Lei de Gauss – casca esférica de raio R
	Lei de Gauss - Placa não condutora com densidade de carga s
	Lei de Gauss - Placa condutora carregada
	Lei de Gauss - Placas condutoras positiva e negativa colocadas próximas
	Lei de Gauss – esfera não condutora sólida
	r<R
	Lei de Gauss – hora de testarmos
	Dipolo Elétrico
	Dipolo Elétrico
	Dipolo Elétrico
	Condutores (Exemplo)

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