3. Vetores

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V 
3. VETORES 
 Uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui 
módulo, direção e sentido e pode, portanto, ser representada 
por um vetor. O deslocamento e a velocidade são exemplos de 
grandezas vetoriais. No entanto, nem toda grandeza física 
necessita de uma orientação (direção e sentido) para ser bem 
definida. A temperatura, a massa e o tempo, por exemplo não 
apontam em nenhuma direção, esse tipo de grandeza 
chamamos de grandezas escalares. 
 
Vetores são segmetos de reta orientados que possuem 
módulo, direção e sentido. 
 
 
 
 
- Módulo do vetor: é dado pelo comprimento do segmento em uma dada 
escala adequada. 
- Direção do vetor: é dada pela reta suporte do segmento. 
Vetores possuem a mesma direção, se forem paralelos ou pertencerem a 
mesma linha. 
 
- Sentido do vetor: é dado pela seta colocada na extremidade do 
segmento 
Vetores possuem o mesmo sentido se tiverem a mesma direção e a 
mesma orientação. 
 
 
V 
 origem extremidade 
Vetores iguais possuem o mesmo módulo, mesma direção e sentido. 
 
 
Vetores opostos possuem o mesmo módulo, mesma direção e sentido 
contrário. 
 
 
Exemplo: Representação do vetor A 
 
 
3.1. Soma geométrica de vetores 
Exemplo: Deslocamento de uma partícula. 
 
A partícula se desloca do ponto A para o ponto 
B e, em seguida, do ponto B para o ponto C. 
 
 
 
o Para adicionar uma vetor a a um 
Vetor b, primeiro desenhe a, com 
seu módulo representado por uma 
escala, e depois desenhe o vetor b 
Trajetória da partícula 
s = a + b 
A 
A 
B 
B 
C 
C 
D 
D 
S 
S 
com sua origem na extremidade do vetor a (conforme mostrado 
na figura acima). O vetor soma, ou vetor resultante, é o 
desenhado da origem de a à extremidade de b. 
o Para a adição de mais de dois vetores, o vetor resultante é aquele 
que completa o polígono (regra do polígono), ou seja, é o vetor 
desenhado da origem do primeiro à extremidade do último vetor. 
 
Exemplo: Adição de mais de dois vetores 
 
 
 
 
 
Lei comutativa - A ordem dos vetores somados é irrelevante 
 
 
Lei associativa – quando existem mais de dois vetores podemos 
agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. 
 
 
 
Subtração de vetores 
O vetor –b é um vetor com o mesmo módulo e direção de b e o 
sentido oposto. Assim, somar –b é o mesmo que subtrair b. Esta 
propriedade é usada para definir a subtração entre dois vetores. 
 
a + b = b + a 
(a + b) + c = a+ (b + c) 
d = a – b = a + (-b) 
3.2. Decomposição de vetores 
 
 Um vetor V pode ser decomposto em dois vetores componentes: Vx 
(componente horizontal) e Vy (componente vertical). Os componentes 
de um vetor são obtidos por meio da projeção do vetor sobre os eixos do 
sistema de referência. 
 
 
 
3.3. Vetores unitários 
O vetor unitário é um vetor que tem módulo igual a 1 e aponta em 
certa direção. Um vetor unitário não possui dimensão nem unidade, sua 
função é especificar uma orientação. Os vetores unitários que indicam os 
sentidos positivos dos eixos x, y e z são representados por î, Ĵ, k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ax = a cos θ 
ay = a sen θ 
a = ax î + ay Ĵ 
3.4. Soma de vetores através de suas componentes 
 
 
3.5. Multiplicação de vetores 
3.5.1. Multiplicação de um vetor por um escalar 
 Se um vetor a for multiplicado por uma quantidade escalar 
positiva N, o produto “Na” será um vetor que tem a mesma direção que 
a e módulo “Na”. Se o vetor a for multiplicado por uma quantidade 
escalar negativa –N, o produto Na terá sentido oposto à de a. 
 
 
 
Exemplo: multiplicação de uma escalar pelo vetor a 
 
R = A + B 
Rx = Ax + Bx 
Ry = Ay + By 
3.5.2. Produto escalar 
 
O produto escalar dos vetores a e b é escrito como a.b e definido 
pela equação 
 
 
 
 
 
 
 
3.5.3. Produto vetorial 
O produto vetorial de a e b é escrito como a x b, e resulta em um 
terceiro vetor, c, cujo módulo é: 
 
 
 
onde é o menor dos dois ângulos entre a e b. 
 
a . b = ab cos 
a x b = ab sen