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CÁLCULO FUNDAMENTAL BÁRBARA BARBOZA AULA 1 – FUNÇÃO 1. Produto Cartesiano Sejam os conjuntos 3,2,1A e 4,2B um novo conjunto formado por todos os pares ordenados, onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B é chamado de PRODUTO CARTESIANO de A e B. 4,3,2,3,4,2,2,2,4,1,2,1BxA 2. Relação A relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto de A x B. Sejam os conjuntos A e B: 3,2,1A 4,2B O produto cartesiano de A por B, isto é, A x B é igual a: 4,3,2,3,4,2,2,2,4,1,2,1BxA Se tomarmos alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, teremos algumas relações de A em B: 2,21 R 4,2,2,12 R 4,3,4,2,2,13 R 321 , ReRR são relações de A em B, pois seus elementos são pares ordenados yx , , com x pertencente a A e y pertencente a B. Uma relação obedece a uma lei de formação. CÁLCULO FUNDAMENTAL BÁRBARA BARBOZA Ex: Dados 3,2,1A e 4,2B escreva a relação xyBxAyxR /, Resp: 2,2R 3. Coordenadas Cartesianas no Plano Cartesiano A posição de um ponto P no plano cartesiano fica determinado por meio de um par ordenado onde x é a abscissa de P e y é a ordenada de P. I. As retas x e y são perpendiculares II. A reta horizontal x chama-se eixo das abscissas. III. A reta vertical y chama-se eixo das ordenadas. IV. O ponto 0,0O , intersecção dos eixos, chama-se origem. 4. Função Dados os conjuntos A e B, uma função BAf : , uma lei que associa TODO elemento do conjunto A a um ÚNICO elemento do conjunto B. Quando isso acontece teremos uma FUNÇÃO. Vejamos alguns exemplos: Vejamos alguns contraexemplos: CÁLCULO FUNDAMENTAL BÁRBARA BARBOZA 5. Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função I. Domínio: Ao conjunto A damos o nome de domínio da função. O domínio é o conjunto de partida. Ele é composto de todos os elementos do conjunto de partida. AfD II. Contradomínio: Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função. O contradomínio é o conjunto de chegada. BfCD III. Imagem: A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu. Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. fIm 6. Domínio de numa função definida Quando o domínio de uma função é dado na forma de equação, o domínio será a sua condição de existência. 1º Caso: Não existe denominador igual a zero, assim todo conteúdo no denominador terá que ser diferente de zero. Ex: 1 2 x xxf 101 xx 1/ xxfD CÁLCULO FUNDAMENTAL BÁRBARA BARBOZA 2º Caso: Não existe raiz quadrada de número negativo, assim todo conteúdo dentro do radical terá que ser maior ou igual a zero. Ex: 64 xxf 2 3 64064 xxx 2 3 / xxfD 3º Caso: Não existe denominador igual a zero, nem raiz quadrada de número negativo, assim todo conteúdo do denominador que estiver dentro do radical terá que ser maior que zero. Ex: 6 1 x xf 606 xx 6/ xxfD 4º Caso: Caso haja mais de uma restrição deve ser feita a intersecção de ambos os casos. Ex: 1 2 x x xf 101. 202. xxII xxI 21/ xxfD 7. Tipos de Funções Depois de conhecermos o conceito de função, veremos como classificá-las. a. Função Sobrejetora Uma função é sobrejetora se o seu contradomínio coincide com sua imagem. ffCD Im CÁLCULO FUNDAMENTAL BÁRBARA BARBOZA b. Função Injetora Não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B. c. Função Bijetora Funções que são Injetoras e Sobrejetoras ao mesmo tempo. 8. Funções no Plano Cartesiano Vejamos, agora como reconhecer funções no plano cartesiano. 9. Valor Numérico de uma função Dada a função y = f (x), chama-se valor numérico dessa função ao valor que y assume quando se atribui valores a x. O valor de y assim obtido é chamado de imagem de função. CÁLCULO FUNDAMENTAL BÁRBARA BARBOZA 1) Represente no plano cartesiano os pontos 4,3A , 1,2B , 2,1C , 3,2 D , 2,3 E , 3,1F , 3,0G e 0,1H . 2) Dados os conjuntos 5,2A , 3,0,1B e 0C . Determine os produtos cartesianos: BxAa) BxBc) CxAb) BxCd ) 3) Dados 2,1,0A e 5,4,3,2,0B escreva cada uma das relações: xyBxAyxRa /,) 1 xyBxAyxRb 2/,) 2 13/,) 3 xyBxAyxRc 4) Verificar se os diagramas a seguir representam ou não, funções de A em B. CÁLCULO FUNDAMENTAL BÁRBARA BARBOZA 5) Dados os conjuntos 6,5,4,3A e 13,11,9,7B e a função BAf : definida por 12 xxf , determine: a) O diagrama de flechas da função b) O domínio , o contradomínio e a imagem da função 6) Dada a função :f definida por 13 xxf , determine 2f . 7) Obtenha o valor da constante k em kxxf 2 , dado que 51 f . 8) Determine o domínio em cada função: 1 1 ) xxfa 1 2 ) x xfc 4 62 ) xxfb xxxfd 22)
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