Aula 1. 23.02.16. Teoria das Estrut. UNIP. Rangel. para e mail

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Engenharia Benevides
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Prof. Benevides
Teoria das Estruturas
6º / 7º Ciclo de Engenharia
1º semestre de 2016
Engº Paulo Henrique Benevides
Formação Acadêmica:
Técnico em Mecânica / SENAI
Graduado em Licenciatura em Ciências / UNICSUL
Bacharel em Engenheira Mecânica / UNICSUL
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Bacharel em Engenheira Mecânica / UNICSUL
Pós Graduado em Engª Metalúrgica e Materiais / IPT
Pós Graduado em Administração da Qualidade / UNINTER
Pós Graduado em Engª de Seg. e Saúde do Trabalho / UBC
Engº Paulo Henrique Benevides
Experiência Profissional
Inspetor de Controle de Qualidade / A.C. Centrifugados Ltda
Supervisor de Qualidade / A.C. Centrifugados Ltda
Supervisor de Produção / FGF – Fundição Global Foundry
Supervisor de Fundição / FGF – Fundição Global Foundry
Gerente Industrial / Machroterm
Gerente Comercial / Softwork
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Gerente Comercial / Softwork
Engenheiro de Vendas / Met. Indianápolis e Met. Daniela 
Gerente de Fundição / Machropeças e Ally Cast do Brasil
Perito Judicial / Varas Trabalhistas da cidade de São Paulo
Engenheiro de Segurança do Trabalho / PHCOMPANY
Prof. Universitário e de Pós Graduação / UNIP – IBTA – FAATESP - UMC
TEORIA
DAS
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DAS
ESTRUTURAS
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Tópicos:
Cisalhamento na flexão.
Deformação Plana.
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Deformação Plana.
Vasos de pressão.
Flambagem.
CISALHAMENTO NA FLEXÃO:
– Cálculo das tensões de cisalhamento na flexão 
– Fluxo das Tensões de cisalhamento
– Centro de Torção 
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– Centro de Torção 
– Ligações Longitudinais
Vasos de pressão:
–Vasos Cilíndricos. 
–Vasos Esféricos. 
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–Vasos Esféricos. 
Deformação Plana:
–Deformações Principais e suas direções.
–Uso de extensômetros elétricos.
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FLAMBAGEM:
– Conceito de Estabilidade do Equilíbrio
– Determinação da carga critica
– Flambagem elástica de Euler
– Flambagem Inelástica - Tetmayer, Bleich
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– Flambagem Inelástica - Tetmayer, Bleich
– Barras com restrições de deslocamento distintas para 
as duas direções dos eixos centrais de inércia da seção 
transversal.
• Bibliografia Básica
• GERE, J. M. , MECANICA DOS MATERIAIS – Rio de 
Janeiro: LTC ( Livros Técnicos e Científicos Editora S/A), 
2010.
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2010.
• HIBBELER, R.C., RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.
• UGURAL, A. C., “Mecânica dos Materiais” – Rio de 
Janeiro: LTC, 2009.
• Bibliografia Complementar
• CRAIG, R.R., “Mecanica dos Matériais” – Rio de Janeiro: LTC, 2003.
• PHILPOT, Timothy A. Mecânica dos Materiais - Um Sistema Integrado de 
Ensino, 2ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2013
• BEER, F.P., JOHNSTON JR., E.R., “Resistência dos Materiais”, SãoPaulo : 
Pearson: 2010
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Pearson: 2010
• MARTHA, L.F. - Análise de Estruturas – Rio de Janeiro:Ed. Elsevier, 2011.
• SORIANO, H.L., Lima, ,S. S.,” ANALISE DE ESTRUTURAS: METODO DAS 
FORÇAS E METODO DOS DESLOCAMENTOS” – 2ª Edição Atualizada, 
Editora Ciência Moderna, 2006.
“Importante revisar as disciplinas de Estática 
das Estruturas e Resistência dos Materiais”
Notas:
A primeira opção é recorrerem ao próprio material passado pelo Prof.
Zoroastro ou nos exemplares Beer..., Hibbeler.
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Zoroastro ou nos exemplares Beer..., Hibbeler.
Porém, estarei anexando em um dos e-mails, uma apostila básica da escola
“SENAI” , para os alunos que ainda estão com muita dificuldade nestas duas
disciplinas e um arquivo scaneado do livro “Mecânica Técnica e Resistência
dos Materiais do autor Sarkis Melconian para quem possa interessar-se como
revisão das duas disciplinas citadas acima.
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Momento Estático de um Elemento de Superfície:
O momento estático de um elemento de superfície é
definido através do produto entre a área do elemento e a
distância que o separa do eixo de referência.
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Momento Estático de uma Superfície Plana:
O momento estático de uma superfície plana é definido
através da integral de área dos momentos estáticos dos
elementos de superfície que formam a superfície total.
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Centro de Gravidade de uma Superfície Plana
É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se
concentra a superfície. A localização do ponto dar-se-á através das
coordenadas xG e YG' que serão obtidas através da relação entre
o respectivo momento estático de superfície e a área total desta.
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Momento de Inércia J / I :
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo
de referência, é definido através da integral de área dos produtos
entre os infinitésimos da área que compõem a superfície e suas
respectivas distâncias ao eixo de referência elevadas ao quadrado.
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Importância do Momento de Inércia nos Projetos
O momento de inércia é uma
característica geométrica importantíssima no
dimensionamento dos elementos de construção,
pois fornece através de valores numéricos, uma
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pois fornece através de valores numéricos, uma
noção de resistência da peça, onde, quanto
maior for o momento de inércia da secçãotransversal de uma peça, maior será a
resistência da peça.
Tensões de Cisalhamento na Flexão
Nos pontos de uma seção transversal
de uma barra submetida à flexão
simples, além de uma tensão normal,
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simples, além de uma tensão normal,
atua também uma tensão de
cisalhamento.
Não é difícil entender a presença
desta tensão de cisalhamento.
Deve-se lembrar que a presença de
uma força cortante está relacionada à
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uma força cortante está relacionada à
presença de tensões de cisalhamento
nos pontos da seção.
O que não se pode pressupor é que a
tensão de cisalhamento seja a mesma
para todos os pontos da seção. A
distribuição destas tensões recebe a
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distribuição destas tensões recebe a
influência do momento fletor que atua
na seção.
Tome-se por 
exemplo uma 
barra solicitada à 
flexão, como 
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flexão, como 
mostra a figura 1. 
Aplicada a força ocorrerão deformações nos
pontos da barra que produzirão deslocamentos nas
suas seções transversais como mostra a figura 2 :
Barra fletida submetida à flexão simples 
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Para que a barra da figura 2, assuma esta
forma curva, é necessário que o
comprimento das linhas paralelas ao eixo se
modifiquem.
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modifiquem.
É possível notar que a parte superior da
barra fica com um comprimento maior que a
parte inferior.
Para que esta mudança de comprimento ocorra é
necessário que estas linhas tenham variações de
comprimento diferentes. Assim, quando se toma,
fibras da barra perpendiculares ao plano do momento,
se nota a presença de tensões de cisalhamento entre
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se nota a presença de tensões de cisalhamento entre
estas fibras; decorrentes da diferença na variação de
comprimento.
Estas tensões podem ser observadas na figura 3:
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A premissa, que as tensões não são
constantes para todos os pontos da seção,
fica clara na medida em que se observa a fibra
neutra da barra.
Acima dela ocorre uma tração e abaixo
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Acima dela ocorre uma tração e abaixo
uma compressão, devendo existir portanto
diferença entre as tensões de cisalhamento
nestas posições.
Determinação das Tensões de cisalhamento na 
flexão simples normal. 
Seja um elemento de barra, de
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Seja um elemento de barra, de
comprimento dx, solicitado por uma flexão
simples, como mostra a figura 4:
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Quando se toma dois pontos
quaisquer, correspondentes, nas seções
transversais do elemento, nota-se que as
tensões normais neles desenvolvidas são
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tensões normais neles desenvolvidas são
ligeiramente diferentes.
Isto pode ser observado na figura 5:
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A tensão normal no ponto pertencente à seção da 
esquerda vale: 
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A tensão normal no ponto pertencente à seção da 
direita vale: 
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Note-se que existe uma diferença de tensão: 
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Quando se toma um trecho da área da
seção transversal, obtido por meio de um
corte paralelo ao eixo, que contenha os
pontos em estudo, como mostra a figura 6, o
equilíbrio de cada parte “separada pelo corte”
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equilíbrio de cada parte “separada pelo corte”
só pode ser verificado caso existam tensões de
cisalhamento na superfície do corte, como
mostra a figura 7. A
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Assim, para que o equilíbrio aconteça é
necessário que a resultante das tensões de
cisalhamento, que atuam na área do corte, tenha
o mesmo valor da resultante das tensões normais
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o mesmo valor da resultante das tensões normais
que aparecem no trecho de área A .
Considerando que a tensão de cisalhamento
não varia na área de corte é possível escrever:
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Lembrando que, em um ponto, as
tensões de cisalhamento de planos
perpendiculares entre si, possuem
mesmo valor e sinais opostos, a tensão
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mesmo valor e sinais opostos, a tensão
de cisalhamento que irá atuar no plano
da seção do ponto estudado é:
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OBSERVAÇÕES:
1. Note-se na expressão (7) que, para uma
dada seção transversal, a tensão de
cisalhamento que atua em seus pontos
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cisalhamento que atua em seus pontos
depende, apenas do corte efetuado. Este
corte define seu comprimento (b) e define a
área A .
2. Como o par (y;z) é central de inércia, o
momento estático da seção transversal em relação a
qualquer um destes eixos é igual a zero. Assim, quando
se divide esta área em duas partes, os momentos
estáticos destas partes, em relação a um destes eixos,
possuem o mesmo valor e sinais contrários.
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possuem o mesmo valor e sinais contrários.
Destaforma, ao se efetuar um corte, qualquer que
seja a parte da área da seção transversal, considerada
como A , a tensão de cisalhamento encontrada terá o
mesmo valor.
3. Pelo resultado obtido na expressão
(7) e pelo que se pode observar na área
A da figura (8), uma tensão de
cisalhamento negativa é aquela de
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cisalhamento negativa é aquela de
sentido tal que ela “entra” no corte.
4. Na figura (8) é possível observar
ainda que a tensão de cisalhamento
obtida pela outra parte da seção tem
sinal oposto (neste caso é positiva).
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sinal oposto (neste caso é positiva).
5. Quando o sinal é positivo para a
tensão de cisalhamento, seu sentido
é tal que a tensão “sai” do corte.
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é tal que a tensão “sai” do corte.
6. Note-se ainda, que embora as
tensões, determinadas por A e pela outra
parte da seção, tenha sinais e posições
relativas ao corte opostas, seus sentidos
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relativas ao corte opostas, seus sentidos
perante à seção são os mesmos.
7. A tensão de cisalhamento
possui direção perpendicular ao
corte efetuado.
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corte efetuado.
8. Como dito na observação (1), a tensão
de cisalhamento é função do corte efetuado.
Assim, para um mesmo ponto se obtêm
tensões de cisalhamento diferentes para
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tensões de cisalhamento diferentes para
diferentes cortes que contenham este ponto.
Isto pode ser observado na figura (9).
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9. As tensões de cisalhamento
em pontos de um mesmo corte, são
iguais.
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iguais.
10. Pode-se observar, pelas expressões (6)
e (7), que a tensão de cisalhamento é
inversamente proporcional o comprimento do
corte. Assim, em um ponto da seção, a tensão
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corte. Assim, em um ponto da seção, a tensão
máxima de cisalhamento que nele atua é
perpendicular ao corte de menor
comprimento que contenha o ponto.
11. Pelas expressões (6) e (7), observa-se, ainda,
que a tensão de cisalhamento é diretamente
proporcional ao momento estático em relação ao eixo,
em torno do qual a seção “gira”. Lembrando do que foi
dito na observação (2), é possível afirmar que a
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dito na observação (2), é possível afirmar que a
máxima tensão de cisalhamento ocorre quando o corte
coincide com este eixo. ou seja; a máxima tensão de
cisalhamento ocorre nos pontos da linha neutra e tem
direção perpendicular a esta linha.
12. Observando-se as figura (5) e (8)
nota-se que a tensão de cisalhamento de
um ponto, obtida por meio de um corte
perpendicular à direção da força
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perpendicular à direção da força
cortante, tem sentido oposto a esta força
cortante. Lembra-se aqui que:
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Resumindo:
Tensão de Cisalhamento na Flexão
A força cortante que atua na secção
transversal da peça provoca nesta uma tensão
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transversal da peça provoca nesta uma tensão
de cisalhamento, que é determinada através
da fórmula de Zhuravski.
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σ = tensão de cisalhamento [ PA ; N/mm2; ...]
Q = força cortante atuante na secção [N; ]
Me = momento estático da parte hachurada da secção 
(acima de y) [m3; mrrr': ...]
b = largura da secção [m; mm; ... ]
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b = largura da secção [m; mm; ... ]
I ou J = momento de inércia da secção transversal [m4 ; 
rnrn" ;]
“ Na prática, geralmente, a tensão é nula na fibra mais 
distante, sendo máxima na linha neutra”.
Exemplo
com 
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com 
solução
Exemplo 1:
Uma viga de metal com um vão medindo [ L=3’(pés) ], tem apoio simples nos
pontos (A) e (B), conforme (fig. a ). O carregamento uniforme da viga, incluindo seu
próprio peso é de [ q=160 lb/in (libras por polegada) ]. A seção transversal desta viga
retangular é de base [ b=1’’ (polegada) ] e altura [ h=4” (polegadas), conforme (fig. b).
A viga está adequadamente apoiada contra flambagem lateral. Determine a Tensão
Normal e a Tensão de Cisalhamento no ponto [C] que está localizado a 1” (polegada)
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Normal e a Tensão de Cisalhamento no ponto [C] que está localizado a 1” (polegada)
abaixo do topo da viga e a 8” (polegada) do apoio direito, mostrando estas tensões
em um esboço de tensões neste exato ponto [C].
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1º passo: (Estática das Estruturas)
a) Calcular as reações.
b) Encontrar a força Cortante no ponto C:
Vc = 1600 lb.
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Vc = 1600 lb.
c) Encontrar o Momento Fletor no ponto C:
Mc = 17.920 lb.in
2º passo: (Resistência dos Materiais)
Calcular o momento de Inércia da seção transversal no 
ponto C em relação a linha neutra.
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3º passo: (Resistência dos Materiais)
Calcular a Tensão Normal do ponto C
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4º passo:
Calcular o primeiro momento Qc da área transversal acima do 
ponto C, ou seja, fazendo o produto da area Ac com o centróide Yc, 
conforme figura b.
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5º passo: (Teoria das Estruturas)
Encontrar a Tensão de Cisalhamento no ponto C, uma vez que foi 
calculado o [ (Qc), (Vc), (I) ] e a base da seçãotransfersal é 
conhecida por todos nós.
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6º e último passo: (Teoria das Estruturas)
Esboçar as Tensões (Normal e Cisalhamento), no ponto C.
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Exercícios Propostos
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Exercício 1:
Uma viga de metal, com um vão [L] igual a 1 metro,
tem apoio simples em [A] e [B]. O carregamento uniforme
na viga (incluindo o peso próprio) é [q] igual a 28KN/m. A
seção transversal da viga é retangular, com largura [b]
igual a 25 mm e altura [h] igual a 100 mm. A viga está
adequadamente apoiada contra flambagem lateral.
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Teoria das Estruturas
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1º semestre de 2016
adequadamente apoiada contra flambagem lateral.
Determine a Tensão Normal no ponto [C] e a tensão
de Cisalhamento no ponto [C], que está localizado 25 mm
abaixo do topo da viga e 200 mm do apoio direito. Mostre
essas Tensões em um esboço de um elemento de tensão
no ponto [C].
Exercício 2:
Uma viga de madeira AB submetida a 02 cargas concentradas (P) tem
uma seção transversal retangular de base (b=100 mm) e altura (h=150 mm). A
distância de cada extremidade da viga até a carga mais próxima é de (a=500
mm).
Determine o valor máximo admissível [Pmáx] das cargas se a Tensão
Admissível na Flexão é (σadm=11 Mpa), para tração e compressão. E a Tensão
Admissível para Cisalhamento Horizontal é (Ʈadm = 1,2 MPa).
Introdução
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Admissível para Cisalhamento Horizontal é (Ʈadm = 1,2 MPa).
Observação:
Desconsiderar o próprio peso da viga.
Vigas de madeira são muito mais fracas em cisalhamento horizontal
(cisalhamento paralelo as fibras longitudinais da madeira) do que em
cisalhamento transversal as linhas da fibra (cisalhamento nas seções
transversais). Consequentemente, a Tensão Admissível para o cisalhamento
horizontal normalmente tende a ser levada em consideração ao projeto.
Exercício 3:
Uma viga engastada de comprimento (L = 2 m)
suporta uma carga (P = 8,0 KN). A viga é construída de
madeira e as dimensões da seção transversal são de (
120 x 200 mm ).
Calcule as tensões de cisalhamento devido à carga (P)
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Calcule as tensões de cisalhamento devido à carga (P)
nos pontos localizados a 25 mm, 50 mm, 75 mm e 100
mm da superfície do topo da viga. A partir destes
resultados trace um gráfico da distribuição das Tensões
de Cisalhamento do topo à base da viga.
Exercício 4:
Uma viga de madeira laminada simplesmente apoiada é
construída colando-se 04 placas de (50 x 100 mm) como
dimensões reais para formar uma viga sólida de seção
transversal de (100 x 200 mm). A Tensão de Cisalhamento
permitida nas juntas coladas é de 0,35 MPA e a Tensão de Flexão
permitida na madeira é de 11 MPa.
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permitida na madeira é de 11 MPa.
Se a viga tem 03 metros de comprimento, qual é a carga
permitida (P) agindo no ponto situado em L/3? (inclua os efeitos
do próprio peso da viga, assumindo que a madeira pesa 5,5
KN/m³).
Resultados:
Exercício 1: σc = -26,9 MPa, Ʈc= 3,8 MPa
Exercício 2: P máx = 8,25 KN
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Exercício 2: P máx = 8,25 KN
Exercício 3: Ʈ máx = 500 kPa
Exercício 4: P adm = 6,753 kN
Observações:
Na próxima 2ª feira irei encaminhar a aula 2 e 
a correção dos exercícios propostos da aula 1.
Bons estudos.
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Bons estudos.
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