algebra 4

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CAPÍTULO 4
MATRIZES E ÁLGEBRA MATRICIAL
4.1 EXEMPLOS DE MATRIZES
Uma informação numérica é muitas vezes, fornecida em tabelas denominadas de matrizes.
Exemplo 1 (Informações tabulares): Seja o número de roupas vendidas por tamanho, de uma loja de departamentos, no mês de Junho, representado pela tabela 4-1
TABELA 4-1: Vendas de roupas no mês de Junho 
	
	P
	M
	G
	CAMISAS
	45
	60
	75
	CALÇAS
	30
	30
	40
	BERMUDAS
	12
	65
	45
Abstraindo-se as legendas podemos representar essa tabela pela matriz
	
Além de descrever informações tabulares, as matrizes são úteis para descrever conexões entre objetos, por exemplo, conexões entre cidades por linhas aéreas, conexões entre elementos de um circuito, etc. Neste caso os objetos conectados são representados geometricamente por vértices ou nós, e a conexão entre eles, por retas ou arcos orientados (com setas). O diagrama assim obtido é denominado de grafo.
Exemplo 2 (Conexões entre objetos): A figura 1-1 mostra um grafo que descreve as viagens aéreas existentes entre quatro cidades, de uma determinada companhia aérea. As setas nas arestas distinguem entre conexões de ida e de volta ou só de ida. Esse tipo de grafo (com setas) é dito grafo orientado. 
	Um grafo orientado pode ser descrito por uma matriz nn denominada matriz de incidência (ou de adjacência), onde o elemento aij = 1 se existir uma conexão do vértice i para o vértice j, caso contrário aij = 0.
OBSERVAÇÃO: Se A é uma matriz de adjacência, então a entrada na posição ij de An é o número de maneiras diferente de viajar de i para j passando por (n – 1) pontos intermediários. Verifique isso para A2 do exemplo 2. 
				 (a)				 (b)
Fig. 1-1 (a) Grafo orientado; (b) Matriz de incidência.
Matrizes também são usadas, por exemplo, para resolver sistemas lineares, para armazenar e manipular informações num computador ou ainda como ferramentas na representação e transmissão de imagens e sons digitalizados.
	Neste capítulo consideraremos matrizes como objetos matemáticos próprios, abstraindo-se de qualquer aplicação e definiremos algumas operações básicas sobre elas.
NOTAÇÃO E TERMINOLOGIA
	Matriz é um arranjo retangular de números denominados de entradas, de dimensão mn, onde m é o número de linhas e n é o número de colunas. Alguns exemplos são mostrados a seguir
Exemplo 3: Exemplos de matrizes de diversas dimensões.
 
	 Matriz 23	 Matriz 32	 Matriz 14 Matriz 41 Matriz 33.
Em geral, uma matriz A, de dimensão mn é denotada conforme equação (4-1), onde aij representam as entradas da matriz.
						(4-1)
Ou abreviadamente por
	A = [aij], com i = 1,2,..., m e j = 1, 2, ..., n, onde i e j representam a posição da entrada aij na linha e na coluna, respectivamente.
Se m = n, a matriz é dita quadrada. Neste caso, as entradas a11, a22, ..., ann formam o que denominamos de diagonal principal. A quinta matriz do exemplo 3 é uma matriz quadrada 33 (ou de ordem 3) onde a diagonal principal é formada pelas entradas 0,5; 0,75; 3.
	
Também utilizamos a notação (A)ij para denotar o valor da entrada na linha i e coluna j. Assim, considerando a primeira matriz do exemplo 3, temos
	(A)11 = 1, (A)12 = –4, (A)13 = 5, (A)21 = 0, (A)22 = 3 e (A)23 = –2
MATRIZ NULA
Uma matriz, de qualquer ordem, cujas entradas são todas nulas é denominada de matriz nula e denotada por 0.
MATRIZ-LINHA E MATRIZ-COLUNA
	Uma matriz-linha é uma matriz com uma linha e n colunas, também vista como um vetor-linha. Uma matriz-coluna é uma matriz com m linha e uma coluna, também vista como um vetor-coluna.
Exemplo 4: Dada a matriz
	
podemos ver essa matriz como uma lista de vetores-linha ou uma lista de vetores-coluna, ou seja, A pode ser subdividida em vetores-linha e representada por
 onde: r1 = [1 2 –3 4], r2 = [–2 0 2 5] e r3 = [0 3 –1 7]
ou A pode ser subdividida em vetores-coluna e representada por
onde:	
4.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes são iguais se elas têm as mesmas dimensões e suas entradas correspondentes são iguais. Em notação matricial temos
	Se A = [aij] e B = [bij], então, A = B se, e só se, aij = bij para todo i = 1,2,..., m e j = 1,2,...,n.
Exemplo 5: Dadas as matrizes a seguir, encontre os valores de x, y, z e w para que A = B.
 
Solução: Se A = B, então igualando as entradas correspondentes, montamos os sistemas
	x + y = 3	2z + w = 7
x – y = 1	 z – w = 5
Donde tiramos
	x = 2, y = 1	 z = 4, w = –1
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Se A e B são matrizes de mesmas dimensões, então, as matrizes resultantes da soma ou da subtração terão as seguintes entradas
	(A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij. Para a adição. 			 		(4-2)
	(A – B)ij = (A)ij – (A)ij = aij – bij. Para a subtração. 			 		(4-3)
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
Se A é uma matriz e é um escalar, então a matriz A é uma matriz com entradas
	(A)ij = (A)ij = aij								 (4-4)
Exemplo 6: Dadas as tabelas 4-2 e 4-3 a seguir, monte uma tabela que dê a quantidade total de roupas vendidas nos meses de junho e julho. Se as vendas no mês de Agosto caíram pela metade em relação ao mês de julho, monte também uma tabela para mostrar as vendas no mês de Agosto.
TABELA 4-2: Venda de roupas no mês de junho
	
	P
	M
	G
	CAMISAS
	46
	60
	78
	CALÇAS
	30
	30
	40
	 BERMUDAS
	12
	65
	45
TABELA 4-3: Venda de roupas no mês de julho
	
	P
	M
	G
	CAMISAS
	48
	60
	72
	CALÇAS
	30
	30
	40
	BERMUDAS
	12
	64
	46
Solução: A venda total nos dois meses é a soma das duas matrizes
	
E as vendas do mês de Agosto são os produtos do escalar 1/2 pelas entradas da matriz de julho
	
Exercício: Dadas as matrizes a seguir, encontre: (a) A + B	 (b) 2A – 3B.
 	 
Propriedades: Se A, B e C são matrizes quaisquer, O é a matriz nula e s e t são escalares, então
	(I) (A + B) + C = A + (B + C)		(II) A + O = O + A = A		
	(III) A + (–A) = (–A) + A = O		(IV) A + B = B + A		
	(V) s(A + B) = sA + sB			(VI) (s + t)A = sA + tA
	(VII) stA = s(tA)
	
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
Multiplicar duas matrizes de mesmas dimensões, do mesmo modo como se fez com a adição, ou seja, multiplicando as entradas correspondentes não traz muita utilidade prática. Uma definição que é mais adequada a várias aplicações, porém mais complexa, vem do contexto de sistemas lineares. Começaremos sua definição por um caso particular que é o produto de uma matriz linha, A = [aj] de n entradas, por uma matriz coluna, B = [bi] de m entradas, com n = m. O resultado será um escalar (ou uma matriz 11) dado por
				 
	AB = = a1b1 + a2b2 + ... anbn = .			(4-5)
				 
Observe que esse produto é idêntico a um o produto escalar, onde A e B são os vetores. Esse produto é chamado de produto interno de A com B. Entretanto, se invertermos a ordem do produto, isto é, se multiplicarmos uma matriz coluna por uma matriz linha, o resultado não é mais um escalar. Neste caso, o produto é chamado de produto externo de A com B.
Exercício: Encontrar o produto da matriz-linha cujas entradas são: 7, –4, 5, pela matriz-coluna cujas entradas são: 3, 2, –1.
Resposta: [8]
 	Agora, vamos definir o caso geral de multiplicação de matrizes. Sejam as matrizes A = [aij]mp e B = [bij]pn tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, ou seja, A tem dimensão mp e B tem dimensão pn. Então, o produto C = AB (nesta ordem) é a matriz de dimensão mn cujas entradas cij são obtidas multiplicando-se a linha i de A pela coluna j de , isto é
					
	C = [cij], onde cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj = 				(4-6)
						
Observe, portanto, que só é possível multiplicar duas matrizes se o número de colunas da 1ª matriz for igual ao número de linhas da 2ª matriz.
	Se AB = O, onde O é a matriz nula, não implica queA = O ou que B = O.
Exemplo 7: Encontrar o produto AB das matrizes
 
 Solução: Efetuamos os produtos internos existentes como segue
 (AB)11 = 1(2) + 3(5) = 17	(AB)12 = 1(0) + 3(–2) = –6
	 (AB)13 = 1(–4) + 3(6) = 14	(AB)14 = 1(1) + 3(–1) = –2
	 (AB)21 = 2(2) + (–1)5 = –1	(AB)22 = 2(0) + (–1)(–2) = 2
	 (AB)23 = 2(–4) + (–1)6 = –14	(AB)24 = 2(1) + (–1)(–1) = 3
Logo, temos
Note que é possível encontrar qualquer entrada da matriz produto sem efetuar o produto matricial completo. Observe também que, neste exemplo, não é possível efetuar o produto BA. Por quê?
Exercícios
1) Encontre o produto da matriz coluna de entradas 1, 2, –3 e 4 pela matriz linha de entradas 
–1, 0, 3 e 2, nessa ordem.
2) Encontre um vetor coluna x para o qual Ax fornece uma lista do número de camisas, calças e bermudas vendidas, onde A é a matriz da tabela 4-2. 
Resposta: x = (1, 1, 1)
3) Encontre um vetor linha y para o qual yA fornece uma lista do número de itens pequenos, médios e grandes vendidos, onde A é a matriz da tabela 4-2.
Resposta: y = (1, 1, 1)
4) O que representa o produto yAx?
A REGRA DO PRODUTO COLUNA-LINHA
	Se as matrizes A e B são subdivididas em vetores-coluna e vetores-linha respectivamente como
	
Então podemos efetuar o produto AB, conhecido como produto externo, como segue
	AB = [c1r1] + [c2r2] + . . . + [ckrk]
Onde [ckrk] é a matriz resultado do produto externo de ck com rk
Exercício: Usando a regra do produto coluna-linha, efetue o produto matricial abaixo
	
OBSERVAÇÃO: A potência de matrizes segue a notação An que significa o produto da matriz por ela mesma n vezes.
 
Exemplo 8: A tabela 4-4 nos fornece a quantidade das vitaminas x, y e z contidas em cada unidade dos alimentos I e II. Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?
TABELA 4-4: Consumo de vitaminas por alimento
	
	x
	y
	z
	Alimento I
	4
	3
	0
	Alimento II
	5
	0
	1
Solução: Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz consumo [5 2]. Então, a quantidade de cada vitamina ingerida será o produto
	
Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina x, 15 de y e 2 de z.
Exercícios
1) Considerando o exemplo anterior, se os custos dos alimentos dependerem somente do seu conteúdo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina x, y e z são, respectivamente, R$1,50; R$3,00 e R$5,00, quanto pagaríamos pela porção de alimentos indicada anteriormente?
Resposta: R$100,00
2) Encontre a matriz produto AB sendo 
Resposta: AB = O, onde O é a matriz nula.
 
Teorema: Se A é uma matriz mn, então vale as seguintes relações para quaisquer vetores-coluna u e v em Rn e qualquer escalar 
	(a) A(u) = (Au)	(b) A(u + v) = Au + Av.
Propriedades do produto matricial: Sejam A, B e C matrizes e um escalar, então
	(I) (AB)C = A(BC)
	(II) A(B + C) = AB +AC	(IV) (A)B = A (B)
	(III) (B + C)A = BA + CA
MATRIZ TRANSPOSTA
	A transposta da matriz A, denotada por AT é a matriz obtida quando se permutam as linhas e colunas.
Exemplo 9: A transposta da matriz é a matriz 
OBSERVAÇÃO: a diagonal principal de A e B continua a mesma.
Propriedades: Se A e B são matrizes e um escalar, então
	(I) (A + B)T = AT +BT
	(II) (AT)T = A
	(III) (A)T = AT
	(IV) (AB)T =BTAT
TRAÇO DE UMA MATRIZ
	Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é a soma das entradas da diagonal principal, ou seja
	tr(A) = a11 + a22 + ... + ann.							 (4-7)
Exemplo 10: Considerando a matriz A do exemplo 9, encontramos
	tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15
Propriedades: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho e λ é um escalar, então
	(I) tr(AT) = tr(A)
		
	(II) tr(λA) = λtr(A)
	(III) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
	(IV) tr(A – B) = tr(A) – tr(B)
	(V) tr(AB) = tr(BA)
PRODUTO INTERNO E PRODUTO EXTERNO DE VETORES
Sejam u e v vetores-coluna em Rn, então o produto uTv é denominado de produto interno de u com v enquanto que o produto uvT é denominado de produto externo de u com v.
Exemplo 11: Sejam u e v vetores-coluna com entradas: –1, 3 e 2, 5, respectivamente, então
Propriedades: Se u e v são vetores-coluna de mesmo tamanho, então
	(I) uTv = tr(uvT), ou seja, o produto interno é igual ao traço do produto externo.
	(II) uTv = u.v = v.u = vTu
	(III) tr(uvT) = tr(vuT) = u.v
4.2 MATRIZ QUADRADA
	A matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas é dita matriz quadrada. Algumas matrizes quadradas especiais serão vistas a seguir.
MATRIZ IDENTIDADE E MATRIZ ESCALAR
	A matriz identidade nn ou matriz unitária, denotada por I, é a matriz com entrada 1 na diagonal principal e zero nas demais entradas. A matriz escalar é a matriz que resulta do produto da matriz unitária com um escalar qualquer. O exemplo a seguir mostra cada uma delas.
Matriz identidade I = Matriz escalar 5I = 
	 
Propriedades: Se A e B são matrizes, λ um escalar e I a matriz identidade, então
	(I) Se A é uma matriz quadrada de mesma dimensão de I, então
AI = IA = A
		
(λI)A = λ(IA) = λA
	(II) Se B é uma matriz mn, então
		
BIn =ImB = B
4.3 MATRIZ INVERTÍVEL (NÃO SINGULAR)
	Uma matriz quadrada A é chamada de invertível ou não singular se existe uma matriz B tal que
	AB = BA = I								 	(4-8)
Tal matriz B, se existir, é única e é dita a inversa de A e a denotamos por A-1. Observe que a equação (4-8) é simétrica, isto é, se B é a inversa de A, então A é a inversa de B.
Exemplo 12: Suponha as seguintes matrizes e . Então
 e 
Assim, A e B são inversas uma da outra. Em suma, o produto de uma matriz pela sua inversa sempre resulta na matriz identidade, ou seja,
	AA-1 = I
OBSERVAÇÃO: AB = I se, e só se, BA = I. Assim, basta testar apenas um dos produtos para saber se duas matrizes são ou não, uma inversa da outra.
INVERSA DE UMA MATRIZ 11
	Se A = [a], é fácil mostrar que A-1 = [1/a]
 
INVERSA DE UMA MATRIZ 22
	Seja A uma matriz qualquer 22, com vetores-linha r1 = (a, b) e r2 = (c, d). Queremos deduzir uma fórmula para a inversa A-1, com entradas x1, y1, x2 e y2, tais que
	 ou, em forma de um sistemas lineares
	ax1 + by1 =1,		ax2 + by2 = 0
	cx1 + dy1 = 0,		cx2 + dy2 = 1	
Esses dois sistemas quando resolvidos nos fornecem
	
ou
	
Onde det(A) = ad – bc é denominado de determinante da matriz A.
Assim, a matriz inversa de A será
									(4-9)
Em resumo, se det(A) ≠ 0, a inversa de uma matriz de 2ª ordem pode ser obtida da seguinte forma
	(1) Troquem de posição os dois elementos da diagonal principal.
	(2) Mude o sinal dos dois outros elementos.
	(3) Divida cada um dos elementos da nova matriz por det(A).
Caso det(A) = 0, a matriz A não é invertível. Neste caso ela é chamada de matriz singular.
Exemplo 13: Determine a inversa das matrizes e 
Solução: det(A) = 2(5) – 3(4) = –2 . Como det(A) ≠ 0, a matriz A é invertível. Então
	det(B) = 1(6) – 3(2) = 0. Como det(B) = 0, a matriz B não possui inversa, ou seja, a matriz B é singular.
Exemplo 14: Vamos resolver o sistema abaixo em x e y em função das constantes literais, usando matriz inversa. Como a solução é literal, seria inviável usar a eliminação de Gauss.
	ax + by = u
	cx + dy = v
Solução: Podemos escrever o sistema na forma matricial como
	
Multiplicando ambos os membros dessa equação pela matriz inversa dos coeficientes, temos
	
Que simplifica para
	
Logo, encontramos
	
Teorema: Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então AB é invertível, e
	(AB)-1 = B-1A-1									(4-10)
4.4 UM MÉTODO SISTEMÁTICO PARA OBTER A-1
	Nesta seção desenvolveremos um algoritmo que pode ser usado para encontrar a inversa de uma matriz de qualquer tamanho.
MATRIZES ELEMENTARES
	Definimos uma matriz elementar como uma matriz que resultada aplicação de uma única operação elementar sobre as linhas de uma matriz identidade.
Teorema: Se A é uma matriz mn e se a matriz elementar E é o resultado de certa operação sobre as linhas efetuadas na matriz identidade mm, então o produto EA é a matriz que resulta quando a mesma operação sobre as linhas é efetuada em A.
Exemplo 15: Considere a matriz 
Encontre uma matriz elementar E tal que EA é a matriz que resulta substituindo a terceira linha pela soma desta linha com 4 vezes a primeira. 
Solução: A matriz E deve ser 33 para combinar com o produto EA. Assim, obtemos E substituindo a terceira linha de I3 pela soma desta linha com 4 vezes a primeira. Isto dá
	
Conferindo o produto EA, temos
	
Portanto, a multiplicação por E soma 4 vezes a primeira linha de A à terceira linha.
Teorema: Uma matriz elementar é invertível e a sua inversa também é uma matriz elementar.
Teorema: Se A é uma matriz nn, então as seguintes afirmações são equivalentes, ou seja, são todas verdadeiras ou todas falsas
	(a) A forma escalonada reduzida por linha de A é In
	(b) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
	(c) A é invertível.
Matematicamente escrevemos
	Ek ... E2E1A = In
Ou 	A = E1-1E2-1 ... Ek-1In = E1-1E2-1 ... Ek-1						(4-11)
Exercício: Use a eliminação de Gauss-Jordan para decompor a matriz abaixo como um produto de matrizes elementares.
	
 
UM ALGORITMO PARA INVERSÃO DE MATRIZES
	Suponha que a matriz A esteja reduzida a In por uma seqüência de operações elementares sobre as linhas e que a correspondente seqüência de matrizes elementares é: E1, E2, ..., Ek. Então, tomando a inversa de ambos os lados da equação (4-11) e baseando-se no teorema anterior, obtém-se
	 A-1 = Ek ... E2E1
Que também pode ser escrita como
	A-1 = Ek ... E2E1In
Isso nos diz que a mesma seqüência de operações elementares sobre linhas que reduz A a In também fornece A-1 a partir de In. Assim, temos o seguinte
Algoritmo de inversão: Para encontrar a inversa de uma matriz A, encontre a seqüência de operações elementares que reduz A a I e então efetue a mesma seqüência de operações em I para obter A-1.
Exemplo 16: Encontre a inversa da matriz 
Solução: Uma maneira prática de executar o algoritmo é colocar a matriz identidade I ao lado da matriz A e aplicar as operações elementares simultaneamente em A e em I. Acompanhe a sequência de operações
	 
	 
	
	
Assim: 
Aplicando o algoritmo de inversão a uma matriz não invertível, em alguma etapa do processo obtemos uma linha de zeros do lado esquerdo. Quando isso acontece, podemos parar o processo e concluir que a matriz não é invertível.
OUTRA MANEIRA DE ENCONTRAR A INVERSA
	Suponha que A é uma matriz qualquer nn. Determinar sua inversa A-1 se reduz a determinar a solução de uma coleção de sistemas lineares nn, como mostraremos no exemplo a seguir, resultante do sistema matricial
	AA-1 = I.
Exemplo 17: Seja . Calcule 
Solução: Multiplique A por A-1 e iguale as nove entradas do produto com as entradas correspondentes da matriz identidade, obtendo os três sistemas lineares em três incógnitas como a seguir
	x1 + y1 + z1 = 1	x2 + y2 + z2 = 0		x3 + y3 + z3 = 0
	 y1 + 2z1 = 0	 y2 + 2z2 = 1		y3 	+ 2z3 = 0
	x1 + 2y1 + 4z1 = 0	x2 +2y2 + 4z2 = 0		x3 + 2y3 + 4z3 = 1
Resolvendo os três sistemas, obtemos as nove incógnitas
x1 = 0; y1 = 2; z1 = –1		x2 = –2; y2 = 3; z2 = –1		x3 = 1; y3 = –2; z3 = 1
Portanto, a matriz inversa será
	
OBSERVAÇÃO: A notação A-n significa (A-1)n, ou seja, significa A-1 multiplicada por ela mesma n vezes
SISTEMAS LINEARES COM UMA MATRIZ DE COEFICIENTES COMUM
	Em muitas aplicações precisamos resolver vários sistemas lineares com a mesma matriz de coeficientes, como é o caso do exemplo17. Então, em vez de resolver cada sistema separadamente, podemos aplicar um procedimento melhor formando a matriz aumentada
	M = [A|B1|B2| ... |Bk]
na qual B1, B2, ..., Bk são juntadas a A para em seguida reduzir a matriz obtida à forma escalonada reduzida por linha pela eliminação de Gauss-Jordan. Com isso resolvemos todos os k sistemas de uma só vez.
Exemplo 18: Considere os sistemas
	(a) x1 + 2x2 + 3x3 = 4		(b) x1 + 2x2 + 3x3 = 1
	 2x1 + 5x2 + 3x3 = 5		 2x1 + 5x2 + 3x3 = 6
	 x1 + 8x3 = 9		 x1 + 8x3 = –6
Então, construindo a matriz aumentada pela junção dos dois sistemas, e depois encontrando a forma reduzida por linha temos
	
Das duas últimas colunas tiramos as soluções dos sistemas como sendo
	(a) x1 = 1, x2 = 0 e x3 = 1		(b) x1 = 2, x2 = 1 e x3 = –1
4.5 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES QUADRADAS
	Esta seção descreve certos tipos especiais de matrizes quadradas que serão úteis daqui para frente.
MATRIZ DIAGONAL
	Uma matriz quadrada D = [dij] é diagonal se todos os elementos fora de sua diagonal principal são nulos. Tal matriz pode ser denotada por
	D = diag(d11, d22, ... dnn).
Exemplo 19: As seguintes matrizes são diagonais que podem ser representadas respectivamente por
 					
diag(3, –7, 2)			diag(4, –5)	 	diag(6, 0, –9, 8).
MATRIZ TRIANGULAR
	Uma matriz quadrada A = [aij] é triangular superior (também chamada de matriz U) se todas as suas entradas abaixo da diagonal principal são iguais a 0, isto é, aij = 0 para i > j.
	Uma matriz triangular inferior (também chamada de matriz L) é uma matriz quadrada cujas entradas acima da diagonal principal são todas nulas.
Exemplos 20: As matrizes A e B são triangulares superiores enquanto C e D são triangulares inferiores
 	 	 	 	
Teorema: Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes triangulares (ambas superiores ou ambas inferiores) nn. Então
	(i) A + B, 	kA 	e 	AB são triangulares (superiores ou inferiores) e suas diagonais são, respectivamente,
(a11 + b11, ..., ann + bnn),		(ka11, ..., kann),		(a11b11, …, annbnn).
	(ii) A é invertível se, e só se, para cada elemento diagonal temos aii ≠ 0, e, se A-1 existe, ela também é triangular.
	(iii) A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior e vice-versa.
OBSERVAÇÃO: Este teorema vale também para a matriz diagonal já que ela também é triangular.
 
Exercício: Baseado apenas no teorema anterior, quais matrizes do exemplo 20 não são invertíveis?
MATRIZ SIMÉTRICA E MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
	(a) Matriz simétrica: uma matriz A é simétrica se AT = A. Isto acontece se aij = aji, ou seja, seus elementos simétricos são espelhados pela diagonal principal.
	(b) Uma matriz é antissimétrica se AT = –A. Isto implica que aij = –aji e aii = 0 (as entradas da diagonal principal são nulas). 
Exemplo 21: Considerando as matrizes a seguir, A é simétrica, B é anti-simétrica e C não é nem simétrica nem antissimétrica, até porque C não é quadrada.
				
	
Teorema: Se A e B são matrizes simétricas de mesmo tamanho e se λ é qualquer escalar, então
	(i) AT é simétrica
	(ii) (A + B) e (A – B) são simétricas. A recíproca não é verdadeira.
	(iii) λA é simétrica.
	(iv) O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes
 comutam, ou seja, se AB = BA
	(v) Se A é uma matriz simétrica invertível, então A-1 é simétrica.
OBSERVAÇÃO: A propriedade (ii) não é recíproca, ou seja, se a soma ou diferença de duas matrizes é uma matriz simétrica, não implica que as duas matrizes sejam simétricas.
MATRIZ ORTOGONAL
Uma matriz A é ortogonal se
AT = A-1
 isto é, se
 
AAT = ATA =I
Portanto, A precisa ser quadrada e invertível.
Exemplo 22: Seja . Multiplicando A por AT temos I. Assim, AT = A-1, ou seja, A é ortogonal.
	
Suponha que A é uma matriz ortogonal 33 cujas linhas são representadas pelos vetores-linhas
		r1 = (a1,a2,a3), r2 = (b1,b2,b3) e r3 = (c1,c2,c3).
Estes vetores-linhas são também vetores-colunas da matriz transposta AT. Logo, fazendo oproduto das duas matrizes e igualando à matriz identidade teremos
	
Assim, r1.r1 = r2.r2 = r3.r3 = 1 e ri.rj = 0 se i ≠ j. Ou seja, os vetores r1, r2 e r3 são unitários e ortogonais dois a dois. 
	
Portanto, a condição AAT = I implica que as linhas de A formam um conjunto ortonormal de vetores. Do mesmo modo, a condição ATA = I implica que as colunas de A também formam um conjunto ortonormal de vetores.
Teorema: Seja A uma matriz real de tamanho nn. As afirmativas abaixo são equivalentes
	
(a) A é ortogonal
	(b) As linhas de A formam um conjunto ortonormal
	(c) As colunas de A formam um conjunto ortonormal. 
Teorema: Seja A uma matriz 22 real e ortogonal. Então, para algum número θ essa matriz pode ser representada por 
	 ou 
Exercício: Construa uma matriz ortogonal 22 cujo elemento a11 vale 1/2
MATRIZ NORMAL
	Uma matriz real A é normal se comuta com sua transposta AT. Isto é, se AAT = ATA. Se A é simétrica, ou ortogonal ou antissimétrica então A é normal. Existem, porém, outras matrizes normais como é mostrado no exemplo a seguir.
Exemplo 23: Seja a matriz . Então
	 e
	
Como AAT = ATA, a matriz A é normal.
4.6 MATRIZES POR BLOCO
	Já vimos que podemos subdividir uma matriz em vetores-linha ou vetores-coluna. Nesta seção veremos outras formas de subdividir uma matriz com o objetivo de isolar partes da matriz que podem ser importantes em problemas particulares ou para quebrar uma matriz em pedaços menores que serão utilizados em cálculos de grande escala.
MATRIZES EM BLOCOS ARBITRÁRIOS
	
Usando um sistema de linhas pontilhadas horizontais e verticais pode-se criar partições arbitrárias em uma matriz A, chamadas blocos ou células de A, conforme exemplificado a seguir.
		 
	
Dividindo matrizes, digamos A e B, em blocos, podemos realizar operações em A e B tratando seus blocos como se fossem entradas das matrizes. Por exemplo, suponha que A = [Aij] e B = [Bij] são matrizes em blocos (denotados por Aij e Bij) com a mesma quantidade de blocos em suas linhas e colunas e que os blocos correspondentes são do mesmo tamanho. Então, as seguintes operações são possíveis
	
e
	
	O produto AB também é válido contanto que o número de colunas de cada bloco Aik seja igual ao número de linhas de cada bloco Bkj. Desta forma, tanto o produto AB quanto o produto AikBkj são definidos. Assim
	 onde Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + ... + AipBpj.
MATRIZES QUADRADAS POR BLOCOS
	Seja M uma matriz por bloco. M é chamada de matriz quadrada por bloco se
	(i) M é uma matriz quadrada
	(ii) Os blocos formam uma matriz quadrada
	(iii) Os blocos da diagonal são também matrizes quadradas.
Exemplo 24: Considere as duas matrizes por bloco a seguir
	 
A matriz A não é quadrada por bloco, pois o segundo e o terceiro blocos da diagonal não são quadrados. Por outro lado, a matriz B é quadrada por blocos.
MATRIZ DIAGONAL POR BLOCO
	Uma matriz A = [Aij] quadrada por blocos é uma matriz diagonal por bloco se todos os blocos fora da diagonal são matrizes nulas. Podemos denotá-la por
	A = diag(A11, A22, ..., Ann)
Propriedade:
	Se A é uma matriz diagonal por bloco então A é invertível se, e só se, cada bloco Aii é invertível e, neste caso, A-1 é uma matriz diagonal por blocos.
	As matrizes quadradas por blocos também podem ser triangulares por blocos.
Exemplo 25: Determinar quais das seguintes matrizes quadradas por blocos são triangulares superiores, triangulares inferiores ou diagonais.
	
	
(a) A é triangular superior por blocos
	(b) B é triangular inferior por blocos
	(c) C é diagonal por blocos
	(d) D não é nenhuma das três coisas.
Muitos algoritmos de computador para operar com matrizes grandes usam estruturas em bloco para quebrar os cálculos em pedaços menores. Por exemplo, considere uma matriz triangular superior em blocos da forma
	
na qual A11 e A22 são matrizes quadradas. Então, pode-se mostrar que se A11 e A22 são invertíveis, então A é invertível e
								(4-12)
Esta fórmula permite que o trabalho de inverter A, seja realizado por processamento paralelo, ou seja, utilizando processadores individuais que trabalham simultaneamente para calcular as inversas das matrizes menores A11 e A22 que depois são usadas na equação (4-12).
Note que se a matriz é diagonal por bloco, então pela equação (4-12) sua inversa é
	
Se a matriz A for triangular inferior por bloco, sua inversa será
		
Exercício:
1) Confirme que a matriz 
é uma matriz triangular superior em blocos invertível e então encontre sua inversa usando a fórmula da equação (4-12).
Resposta: 
2) Encontre a inversa da matriz 
4.7 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
	No capítulo 3 mostramos como resolver um sistema linear pela redução da matriz aumentada à forma escalonada por linha (eliminação de Gauss). Contudo existem outros métodos importantes de resolver sistemas lineares que são baseados na idéia de expressar as m equações na forma matricial conforme equação (3-1).
RESOLUÇÃO POR INVERSÃO DE MATRIZES
	Conforme equação (3-1), podemos expressar um sistema linear na forma matricial
	
ou simplesmente como
	AX = B										(4-13)
Onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna das constantes.
Vamos nos ocupar principalmente com o caso em que o número de equações é igual ao número de incógnitas e, portanto a matriz de coeficientes A é quadrada. Se, além disso, A é invertível, então podemos resolver a equação (4-13) multiplicando essa equação por A-1 para obter a solução única
	X = A-1B									(4-14)
Exemplo 26: Considere o sistema linear
	 x1 + 2x2 + 3x3 = 5
	2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
	 x1 	 + 8x3 = 17
Esse sistema pode ser escrito na forma da equação (4-14), onde
			
e como 
A solução do sistema linear é
	
Ou, equivalentemente, x1 = 1, x2 = –1 e x3 = 2
SISTEMA HOMOGÊNEO
	Se o sistema linear é homogêneo, com m equações e também m incógnitas e, se a matriz de coeficientes A, é invertível então o sistema AX = 0, tem somente a solução trivial. 
CONSISTÊNCIA DE SISTEMAS LINEARES
	O problema é: dada uma matriz A, encontrar todas as matrizes B para os quais o sistema linear AX = B é consistente.
	Se A é uma matriz invertível nn, então o sistema AX = B é consistente para qualquer vetor B de Rn. Se A não é quadrada ou se A é quadrada, mas não invertível, então o sistema geralmente é consistente para alguns vetores e o problema consiste em determinar esses vetores.
Exemplo 27: Quais condições devem satisfazer b1, b2 e b3, para que o seguinte sistema linear seja consistente?
	 x1 + x2 + 2x3 = b1
	 x1 + x3 = b2
	2x1 + x2 + 3x3 = b3
Solução: A matriz aumentada é 
que pode ser reduzida à forma escalonada por linha como segue
	
Da terceira linha da última matriz, é evidente que o sistema tem uma solução se e só se
	b3 – b2 – b1 = 0 ou b3 = b1 + b2
Assim, AX = B é consistente se e só se B pode ser expresso na forma
	
onde b1 e b2 são arbitrários, ou seja, AX = B é consistente é para todas as combinações lineares dos vetores
	 e 
4.8 SUBESPAÇOS E INDEPENDÊNCIA LINEAR
	Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”. Tais conjuntos serão chamados de subespaços de V. Isto acontece, por exemplo, em: V = R2, onde W é uma reta deste plano, que passa na origem.
SUBESPAÇOS DE Rn
	Um conjunto não vazio de vetores em Rn é dito um subespaço de Rn se é fechado na multiplicação por um escalar e na soma.
	Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se
	
	(i) Para quaisquer u, v W tivermos (u + v) W.
 
	(ii) Para qualquer α R, u W tivermos αu W.
	Da definição acima podemos fazer três observações
	a) Ela garante que ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar)não obteremos um vetor fora de W.
	b) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) quando α = 0).
	c) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (chamados de triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
Teorema: Se S = {v1, v2, ..., vk} é um conjunto de vetores em Rn, então o conjunto de todas as combinações lineares
	x = t1v1 + t2v2 + ... + tsvs								(4-15)
é um subespaço de Rn.
Exemplo 28: V = R4 e W = {(0, b, c, d) | b, c e d R}. Isto é, W é o conjunto dos vetores de R4, cujo primeiro componente é nulo. Verifiquemos as condições (i) e (ii).
(i) u = (0, b1, c1, d1), v = (0, b2, c2, d2) W
Então u + v = (0, b1 + b2, c1 + c2, d1 + d2) W, pois tem o primeiro componente nulo.
(ii) ku = (0, kb1, kc1, kd1) W, pois a primeira coordenada é nula para todo k R.
Portanto, W é um subespaço de R5. 
Exercício: Verifique que uma reta na origem é um subespaço do R2 e que um plano na origem é um subespaço do R3.
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
	Em álgebra linear é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação linear de outros, pois se for, este vetor é desnecessário para descrever o espaço gerado pelos demais que não são combinação linear.
Independência linear: Sejam V um espaço vetorial e v1, ..., vn V. Dizemos que o conjunto {v1, ..., vn} é linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, ..., vn são LI, se a equação
	a1v1 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = ... = an = 0. No caso em que exista algum ai 0 dizemos que o conjunto ou os vetores desse conjunto são linearmente dependentes (LD).
Teorema: O conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for uma combinação linear dos demais.
Exemplo 29: V = R3. Sejam v1 e v2 V. Então {v1, v2} é LD se e só se v1 e v2 estiverem na mesma reta, que passa pela origem. (v1 = v2). Figura 4-3.
Fig. 4-3
Exemplo 30: V = R3. Sejam v1, v2 e v3 V. Então {v1,v2,v3} é LD se e só se estes três vetores estiverem no mesmo plano, que passa na origem. Figura 4-4.
Fig. 4-4
Exemplo 31: V = R3. i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). Então i, j e k são LI, pois:
	a1(1,0,0) + a2(0,1,0) + a3(0,0,1) = (0,0,0)
	(a1,a2,a3) = (0,0,0)
	a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0
Exercício: Dado V = R2, verificar se {(1, –1), (1,0), (1,1)} é LD ou LI.
OBSERVAÇÃO: Se a quantidade de vetores de um conjunto de vetores do Rn é maior que n, então esse conjunto é LD, ou seja, existe algum vetor desse conjunto que é uma combinação linear dos demais. Isso pode ser verificado no exercício anterior.
Teorema: Se Ax = b é um sistema linear não-homogêneo consistente e se W é o espaço-solução do sistema homogêneo associado Ax = 0, então o conjunto solução de Ax = b é o subespaço transladado
 xo + W, onde xo é uma solução qualquer do sistema não-homogêneo. 
Exemplo 32: Seja o sistema não-homogêneo
	 x1 + x2 – 2x3 + 4x4 = 5
	2x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 3
	3x1 + 3x2 – 4x3 – 2x4 = 1
cujo espaço solução é 
	x1 = –9 – t1 + 10t2
	x2 = t1
	x3 = –7 + 7t2
	x4 = t2
que pode ser representado em forma de vetores coluna como
	
Então, o espaço solução do sistema homogêneo associado é
	
Logo, o espaço solução do sistema não-homogêneo é uma translação do espaço solução do sistema homogêneo pelo vetor solução particular xo do sistema não-homogêneo, ou seja,
	x = xh + xo
onde
	 
Teorema: se a forma escalonada reduzida por linha de uma matriz An×n é a matriz identidade In, então os vetores linha de A, bem como os vetores coluna de A, são linearmente independentes.
Exercício: verificar se os seguintes vetores do R4 são linearmente independentes, usando o teorema anterior.
	v1 = (2, 2, –1, 1); v2 = (4, 3, –1, 2); v3 = (8, 5, –3, 4); v4 = (3, 3, –2, 2)
Resposta: são LI
4.9 FATORAÇÃO DE MATRIZES
MATRIZ DIAGONAL
	Se a matriz é diagonal, sua fatoração é baseada na propriedade do produto de matrizes diagonais. Por exemplo, para uma matriz 3×3 temos
	
OBSERVAÇÃO: A ordem do produto entre essas matrizes não importa
Exercício: Fatorar as seguintes matrizes diagonais
	
FATORAÇÃO LU
Nosso objetivo principal nesta seção é desenvolver um método para fatorar uma matriz quadrada A na forma
	A = LU.										(4-16)
onde L é a matriz triangular inferior e U é a matriz triangular superior.
RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES POR FATORAÇÃO LU
	Para resolver um sistema linear quadrado Ax = b, siga os seguintes passos
Passo 1: Reescreva o sistema Ax = b como
	LUx = b										(4-17)
Passo 2: Defina a nova variável y por
y = Ux										(4-18)
e reescreva (4-17) como Ly = b
Passo 3: Resolva o sistema Ly = b na variável y
Passo 4: Substitua o agora conhecido y em (4-18) e resolva (4-18) na variável x
Esse procedimento é denominado decomposição LU. Embora ele consista em resolver dois sistemas em vez de um ele não dá mais trabalho do que resolver um só. Vejamos um exemplo
	Seja a matriz A dos coeficientes de um sistema decomposta conforme segue
							(4-19)
	 A	 =	 L		U
	
		A	 x = b
De (4-19) podemos reescrever esse sistema como
							(4-20)
	 L	 U	 x = b
Conforme especificado no passo 2, vamos definir y1, y2 e y3 pela equação
									(4-21)
 	 U x = y
O que nos permite reescrever (4-20) como
	
	 L y = b
Ou, equivalentemente, como
	 2y1 = 2
	–3y1 + y2 = 2
	 4y1 – 3y2 + 7y3 = 3
Usando a substituição de cima para baixo (chamada de substituição para frente), encontramos
	y1 = 1, y2 = 5, y3 = 2
E conforme indicado no passo 4, substituímos esses valores em (4-21), obtendo o sistema linear
	 x1 + 3x2 + x3 = 1
	 x2 + 3x3 = 5
		 x3 = 2
Resolvendo esse sistema por retro substituição encontramos
	x1 = 2, x2 = –1, x3 = 2
ENCONTRANDO DECOMPOSIÇÕES LU
	O exemplo anterior mostra que, uma vez fatorada a matriz A em matrizes triangulares, inferior e superior, o sistema Ax = b pode ser resolvido com uma substituição de cima para baixo e outra de baixo para cima. Vamos ver agora como obter tal fatoração.
Teorema: Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada por linhas com eliminação gaussiana sem permuta de linhas, então A tem uma decomposição LU. Para encontrá-la, siga os seguintes passos
	Passo1: Reduza A à forma escalonada por linhas U sem usar permutação de linhas e mantendo a contabilidade dos multiplicadores que foram utilizados para introduzir os pivôs e os multiplicadores que foram utilizados para introduzir os zeros abaixo dos pivôs.
	Passo 2: Em cada posição ao longo da diagonal principal de L coloque o recíproco do multiplicador que introduziu o pivô naquela posição de U.
	Passo 3: Em cada posição abaixo da diagonal principal de L coloque o negativo do multiplicador que introduziu o zero naquela posição de U.
	Passo 4: Forme a decomposição A = LU
Exemplo 33: Encontre uma decomposição LU da matriz 
Solução: Reduziremos A, a forma escalonada por linha U e, em cada passo, preencheremos uma entrada de L, de acordo com os passos descritos acima.
	
	
	
	
	
	
Note que, como já temos um pivô na terceira linha de L, nenhuma operação a mais precisa ser realizada, portanto
	A = LU
Exemplo 34: Vejamos a eliminação Gaussiana efetuada como uma decomposição LU. Para isso tomaremos como exemplo o sistema linear
	
O procedimento utilizado permite encontrar tanto a decomposição LU quanto o vetor y de (4-23) usando operações sobre as linhas da matriz aumentada desse sistema. Assim, temos
	
		 
		 
		 
	
Assim, tudo que resta agora é resolver o sistema Ux = y por retro substituição para encontrar x como sendo
	x = (2, –1, 2)T
INVERSÃO MATRICIAL USANDO DECOMPOSIÇÃOLU
Muitos dos melhores algoritmos para inverter matriz utilizam a fatoração LU. Seja, pois A uma matriz invertível nn e seja A-1 = [x1 x2 ... xn] a sua inversa desconhecida, subdividida em vetores coluna e seja I = [e1 e2 ... en] a matriz identidade subdividida em vetores coluna. Então a equação matricial AA-1 = I pode ser expressa por
A[x1 x2 ... xn] = [e1 e2 ... en]
Ou então
	[Ax1 Ax2 ... Axn] = [e1 e2 ... en].
Que nos diz que os vetores-coluna desconhecidos de A-1 podem ser obtidos resolvendo os n sistemas lineares
	Ax1 = e1, Ax2 = e2, ... Axn = enT
Como todos estes sistemas têm a mesma matriz de coeficientes, uma decomposição em LU desta matriz pode ser usada para todos os sistemas, acelerando assim a solução deles.
PROBLEMÁTICA
1) Dada as matrizes abaixo calcule as seguintes matrizes, quando for possível.
(a) A + 2B	 (b) 4D – 3CT	(c) EG	 (d) AE	 (e) ATG (f) (7C – D) + B (g) BBT.
 
 
2) Sem realizar o produto das matrizes F e G do problema 1, encontre:
a) (FG)23	b) (GF)21	c) O 1o vetor-linha de FG.		d) O 2o vetor-coluna de FG. 
 3) Considerando as matrizes C, D, F e G do problema 1, encontre:
	a) tr(F)	b) tr(D)	c) tr(CD) d) tr(GF) e) tr(FG) – tr(F)tr(G) f) tr(FT).
4) Dada a matriz M abaixo, encontre os valores de x, y, z e w para que esta matriz seja simétrica.
	
5) Se u e v são vetores-coluna com entradas (3, –4, 5) e (2, 7, 0), respectivamente, encontre:
	a) O produto interno matricial de u com v.
	b) O produto externo matricial de u com v.
6) Sejam C, D e E as matrizes usadas no problema 1. Usando o menor número possível de operações, encontre a entrada na linha 2 e coluna 3 da matriz produto C(DE).
7) Encontre a matriz A = [aij] de tamanho 44 cujas entradas satisfazem a condição:
aij = i + j
aij = (–1)i+j	
	c) aij = 1 se |i – j| > 1 e aij = –1 se |i – j| < 1.
8) Encontre uma matriz A não nula de tamanho 22 tal que a matriz-produto AA tem todas as entradas nulas.
9) Sabendo-se que o produto AB é uma matriz 68, o que pode ser dito sobre os tamanhos de A e B.
10) Determine se a matriz dada abaixo é ou não elementar.
a) 		b) 		 c) 		 d) 
11) Para as matrizes do problema 10 que forem elementares, encontre uma operação elementar sobre as linhas que retorne a matriz identidade.
12) Dada as matrizes abaixo, encontre uma matriz elementar E que satisfaz a equação:
	a) EA = B	b) EB = A	c) EA = C	 d) EC = A.
	 
13) Encontre a inversa, se houver das matrizes C, D e G do problema 1.
14) Considere a matriz 
	a) Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E2E1A = I.
	b) Escreva A-1 como um produto de duas matrizes elementares
	c) Escreva A como um produto de duas matrizes elementares.
15) Considere que (rs) denota as dimensões de uma matriz. Determine o tamanho dos seguintes produtos, quando for possível.
	a) (23)(34)	b) (41)(12)	c) (44)(33)	d) (12)(31)	e) (52)(23).
16) Seja a matriz 
Descreva todos os vetores colunas, u = (x, y)T, tal que Au = 3u.
17) Mostre que as matrizes e são inversas uma da outra.
18) Calcule a inversa, se possível, de cada matriz a seguir:
			 
19) Calcule a inversa da matriz 
20) Sejam as matrizes A = diag(2, 3, 5) e B = diag(7, 0, –4). Calcule
	a) AB, A2, B2	b) A-1 e B-1.
21) Determine uma matriz A(22) tal que A2 é diagonal, mas A não.
22) Determine uma matriz triangular superior A tal que 
23) Calcule x e B sabendo que é simétrica.
24) Calcule uma matriz ortogonal 22 cuja primeira linha é um múltiplo positivo de (3, 4).
25) Calcule uma matriz ortogonal 33 cujas duas primeiras linhas são múltiplos de u1 = (1, 1, 1) e 
u2 = (0, –1, 1), respectivamente.
26) Calcule AB usando a multiplicação por bloco, onde:
	 
27) Seja M = diag(A, B, C) onde , , . Calcule M2.
28) Dada a matriz encontre a inversa da matriz diagonal em blocos usando a equação (4-12).
29) Use a equação (4-12) para encontrar a inversa da matriz triangular superior em blocos A dada por
	
30) Use a decomposição LU dada para resolver o sistema Ax = b por substituição para frente seguida de retrosubstituição.
	
31) Encontre uma decomposição LU da matriz de coeficientes A para resolver o sistema Ax = b.
	
32) Usando a decomposição LU do problema 30, encontre a inversa de A resolvendo três sistemas lineares apropriados.
33) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) R2 | y = 2x}. Verificar se W é um subespaço de V.
34) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) R2 | y = 4 – 2x}. Verificar se W é um subespaço de V.
35) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) R2 | y = |x|}. Verificar se W é um subespaço de V.
36) Verificar se os vetores v1 = (6, 2, 3) e v2 = (0, 5, 3) são LI ou LD.
37) Para cada um dos itens a seguir use as propriedades de fechamento de subespaço para determinar se o conjunto dado é um subespaço do R3. Se não é um subespaço, indique qual propriedade falha. 
Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
Todos os vetores com componentes inteiros.
Todos os vetores (a, b, c) para os quais b = a + c.
Todos os vetores (a, b, c) para os quais a + b + c = 1
38) A tabela a seguir mostra as notas de sete estudantes em três testes. Considere as colunas no corpo da tabela como vetores c1, c2 e c3 no R7 e considere as linhas como vetores r1, r2, ..., r7 no R3.
Encontre os escalares k1, k2 e k3 tais que os componentes do vetor x = k1c1 + k2c2 + k3c3 são as médias aritméticas dos três testes para cada estudante.
Encontre os escalares k1, k2, ..., k7 tais que os componentes do vetor x = k1r1 + k2r2 + ... + k7r7 são as notas médias de todos estudantes em cada teste.
Dê uma interpretação do vetor x = c1/4 + c2/4 + c3/2.
 TABELA
	
	Teste 1
	Teste 2
	Teste 3
	João
	90
	75
	60
	Carlos
	54
	92
	70
	Romeu
	63
	70
	81
	José
	70
	71
	72
	Samuel
	46
	90
	63
	Ricardo
	87
	72
	69
	Silvio
	50
	77
	83
39) Encontre o valor de k na equação
	
 
40) Encontre a matriz A sabendo que sua inversa é 
41) Usando eliminação de Gauss-Jordan, verifique se o conjunto de vetores abaixo é LI ou LD
	v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (-1, 2, -2, 3); v3 = (3, 1, -1, 1); v4 = (2, 0, -2, 4)
42)A figura P4-1 mostra o diagrama simplificado de um robô industrial. Ele consiste de um braço e um antebraço que podem ser flexionados, independentemente, por ângulos α e β e cujos comprimentos podem variar independentemente por L1 e L2. Para α e β fixados, quais deveriam ser os comprimentos do braço e antebraço para poder colocar a ponta do robô na posição (x,y) conhecida.
	[Sugestão: Proceda como no exemplo 14]
43) Numa loja de departamentos, sabe-se que cada item do tipo 1 custa R$ 2,00, cada item do tipo 2 custa R$ 5,00 e cada item do tipo 3 custa R$ 10,00. Além disso, sabe-se que a tabela abaixo descreve o número de itens de cada tipo que foram comprados durante os quatro primeiros meses do ano. Qual informação está representada pelo produto matricial 
		 TABELA	
	
	TIPO 1
	TIPO 2
	TIPO 3
	JAN
	3
	4
	3
	FEV
	5
	6
	0
	MAR
	2
	9
	4
	ABR
	1
	1
	7