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PROBLEMA DE BELANGER OU DOS TRÊS RESERVATÓRIOS

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PROBLEMA DE BELANGER OU DOS TRÊS RESERVATÓRIOS
O problema de Belanger ou dos três reservatórios consiste em, dados três reservatórios cujos os níveis se encontram em cotas conhecidas, determinar as condições do escoamento dos condutos que os ligam. Essas condições são dependentes da cota piezométrica (z + P/) do ponto de bifurcação das canalizações.
1.º Caso: (z + Pc/) > z2 ou x < h2
Q1 = Q2 + Q3
2.º Caso: (z +Pc/) < z2 ou x > h2
Q1 + Q2 = Q3
OBS: Só muda o sentido da vazão ( Q2 ).
3.º Caso: (z + Pc/ ) = Z2 ou x = h2
Q2 = 0 e Q1 = Q3
As condições do movimento dependem como é evidente, alem das cotas dos níveis dos reservatório se do ponto de bifurcação, dos diâmetros e dos comprimentos das canalizações e, segundo os elementos conhecidos, o problema se apresenta sob dois aspectos:
a ) PROBLEMA DIRETO
Dados: z1, Z2, Z3 e z
l1, l2, l3
D1, D2, D3
CALCULAR : Q1, Q2, Q3
X (Perda de Carga)
b ) PROBLEMA INVERSO
Dados: z1, z2, z3 e z
Q1, Q2, Q3
l1, l2, l3
CALCULAR : D1, D2, D3
X ( Perda de carga )
Para a solução desses problemas, dispomos das seguintes equações
1a) Equação da perda de carga no trecho R1C
X = z1 (z + Pc/ ) = k Q12 / D15 l1 = Q12 l1
2a) Equação da perda de carga no trecho CR2
h2 X = (z + Pc/ ) z2 = k Q22 / D25 l2 = Q22 l2
3a) Equação da perda de carga no trecho CR3
h3 X = (z + Pc/ ) z3 = k Q32 / D32 l3 = Q32 l3
CASO DIRETO:
4a) Equação: Q1 = Q2 + Q3
* Procedimento por tentativas
 isolando as vazões em função da perda X;
 (I)
Q1 = Q2 + Q3 ( 2 ) substituindo (1) em (2):
A, B e C são valores conhecidos
ou
Usando DARCY temos, ( pág. 216 )
( x/1)1/2 = (h2x/2)1/2 + (h3x/3)1/2
Obs: Para saber se estou no caso 1o, 2o ou 3o é considerado
Q2 = 0 ou X = h2
Quando não haveria escoamento no trecho CR2; Para essa hipótese teremos: Q1 e Q3 Calculado
E se :
Q1 > Q3 (1º Caso) R abastece R e R
Q1 < Q3 (2o Caso) R1 e R2 abastece R3
Q1 = Q3 não ha vazão no trecho CR2
* Não é garantido que caia sempre no 1oCaso. Temse que verificar as condições:
x < h2 recebe água de R1 e R2 o R3 
x > h2 a relação dos valores encontrados para x = h2
Q1 = Q2 + Q3 fica absurdo chegar a essa relação
PROBLEMA INVERSO
 Devem ser determinados os valores dos diâmetros
 
A 4a Equação pode ser obtida através do custo mínimo da instalação.
C = c l1 D1 + c l2 D2 + c l3 D3 e,
Como condição de custo mínimo:
dC/dx = cl1dD1/dx + cl2dD2/dx + cl3dD3/dx = 0
* Derivando e substituindo alguns termos, temos:
D1/ J1 = D2 / J2 + D3 / J3
Exprimindo D1 , D2 e D3; da equacao ( 1 ):
D1 = k1/5 Q12/5 l11/5 / x1/5 ; J1 = x / l1
 (2)
* No qual o único valor desconhecido é x, que pode ser determinado por tentativas.

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