Aula 02 Sistemas Dicotômicos pt.1 (2017)

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Lógica
Aula 02
Prof.ª Larissa
2016
Sumário
• Sistemas Dicotômicos
• Introdução
• Interruptores
• Conjuntos
• Exercício – Raciocínio Lógico
Sistemas Dicotômicos - Introdução
• O que são sistemas dicotômicos?
São sistemas que apresentam apenas dois estados bem definidos.
Variáveis dicotômicas apresentam apenas duas respostas possíveis,
que mutuamente se excluem:
1 0
Verdadeiro Falso
Ligado Desligado
Sim Não
Dia Noite
Vivo Morto
Sistemas Dicotômicos - Introdução
• O que são sistemas dicotômicos?
Situações que apresentam valores intermediários, como tonalidades
de cores, variação de temperatura, etc, não são ditas dicotômicas:
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores:
Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um
circuito elétrico, que pode assumir dois estados: fechado (1) ou
aberto (0).
Fechado (1): o interruptor permite a passagem de corrente elétrica.
Aberto (0): o interruptor impede a passagem de corrente elétrica.
a
a
Representação gráfica em circuitos:
Considerando o 
interruptor a: 
Estado aberto (0)
Estado fechado (1)
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
Em Lógica, a representação mais utilizada será esta:
Portanto, somente conheceremos o estado do interruptor se
tivermos a informação de que a = 1 ou a = 0.
Quando outro interruptor (x) está aberto sempre que a estiver
fechado e vice-versa, dizemos que x é o inverso, complemento ou
negação de a. Denota-se o complemento de a como a’. Então:
a
x = a’
Outras representações da negação de a:
�a ¬a a~ Em qualquer representação, lê-se “não a”
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores em paralelo:
Numa ligação em paralelo, só passará corrente se pelo menos um
dos interruptores estiver fechado (1).
Sejam a e b dois interruptores em paralelo. Representa-se esta
ligação como a + b. Temos:
a
b
= a + b
Em lógica, a + b é lido como “a ou b”, e também é 
comumente representado como a ∨ b
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores em série:
Numa ligação em série, só passará corrente se todos os interruptores
estiverem fechados (1).
Sejam a e b dois interruptores em série. Representa-se esta ligação
como a . b. Temos:
Em lógica, a . b é lido como “a e b”, e também é comumente 
representado como a ∧ b
a . ba b =
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
Considerando os possíveis estados assumidos pelos interruptores
nas ligações, notamos que:
Paralelo Série
0 + 0 = 0 0 . 0 = 0
0 + 1 = 1 0 . 1 = 0
1 + 0 = 1 1 . 0 = 0
1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
a + b = b + a a . b = b . a
a + a’ = 1 a . a’ = 0
a + 0 = a a . 0 = 0
a + 1 = 1 a . 1 = a
Nenhuma chave fechada
b fechado
a fechado
a e b fechados
Propr. comutativa
0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1
a define saída
1 define saída
a
b
a b
Nenhuma chave fechada
a aberto
b aberto
a e b fechados
Propr. comutativa
0 . 1 = 0; 1 . 0 = 0
0 define saída
a define saída
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Expressões lógicas:
Todas as configurações de interruptores podem ser equacionadas,
criando uma expressão lógica correspondente.
Ambas resultam em 1 caso a = 1 e (b = 1 ou c = 1). Logo, suas
ligações são equivalentes:
a
b
c
b
c
a
a
a . (b + c) (a . b) + (a . c)
a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Expressões lógicas:
Todas as configurações de interruptores podem ser equacionadas,
criando uma expressão lógica correspondente.
Ambas resultam em 1 caso a = 1 ou (b = c = 1). Logo, suas ligações
são equivalentes:
a + (b . c) (a + b) . (a + c)
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
a
b c
a a
b c
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Exercícios:
Encontrar as expressões algébricas dos seguintes circuitos:
Respostas:
a
b
c
pn
a
a’
b
c
c’
d
(a + b) . c + (n . p)
(a + b) . c
(n . p)
a . (b + c)
a’ . (c’ + d)
a . (b + c) + a’ . (c’ + d)
• Exercícios:
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
Encontrar a expressão algébrica do seguinte circuito:
Resposta:
r
s
s
p
q
p’
r
q’
s
r
s’
p . ((s + r) . q’ + r .s) + (q + p’) . (r . s’ + s)
(s + r) . q’
r . s
(q + p’) . (r . s’ + s)
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Exercícios:
Desenhar os circuitos de interruptores cujas ligações são:
Respostas:
p . (p’ + q . p) (x + y’) . (x’ + y)
x
y’
x’
y
p
p’
q p
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Exercícios:
Desenhar os circuitos de interruptores cujas ligações são:
Respostas:
(r + s’) . t + r’ x . (y’ + z) + x’ . (y + z)
r
s’
t
r’
x
x’
y'
z
y
z
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
• Conjuntos:
Definição: reunião de elementos que possuem algo em comum.
Representação: entre chaves ou gráfica.
Exemplo:
Representação do conjunto A, que contém os elementos 1, 2, 3 e 4:
A = {1,2,3,4} 
A
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
U = Conjunto Universo: contém todos os elementos que se deseja
considerar em dada situação.
a, b, c, d = subconjuntos do universo U
Região verde: interseção entre os conjuntos a e b
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Vamos considerar o conjunto a e o conjunto b:
Denotaremos por a + b o conjunto de todos os
elementos que pertencem só a a, ou só a b ou aos
dois. Portanto, a + b é a união de a com b:
Denotaremos por a . b o conjunto de todos os
pontos que pertencem a a e b, (pontos comuns).
Portanto, a . b é a interseção de a com b:
a b
a + b
a . b
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Seja a’ o conjunto de todos os elementos do espaço considerado que
não pertencem a a. Dizemos que a’ é o complemento de a.
Chamaremos de conjunto vazio e o denotaremos por 0 o conjunto
que não contém elementos.
Denotaremos por 1 o conjunto de todos os elementos, que é o
próprio conjunto universo.
a a’ 0 1
Complemento 
de a
Conjunto 
vazio
Conjunto 
universo
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1, valem as
seguintes igualdades:
0 + 0 = 0 0 . 0 = 0
0 + 1 = 1 0 . 1 = 0
1 + 0 = 1 1 . 0 = 0
1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
a + b = b + a a . b = b . a
a + a’ = 1 a . a’ = 0
a + 0 = a a . 0 = 0
a + 1 = 1 a . 1 = a
Note que vimos estas mesmas
propriedades para as
configurações paralelo / série de
interruptores.
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
• Exercícios:
Mostrar, com diagramas, que:
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
Solução: 
a
b c
a
b
a
c
b . c
+ =
c
a + b
b
a
.
a
cb
a + c
a
b c
a + (b . c)
a
b c
(a + b) . (a + c)
=
• Exercícios:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Mostrar, com diagramas, que:
a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
Solução: 
a
b c
a
b
a
c
b + c
. =
c
a . b
b
a
+
a
cb
a . c
a
b c
a . (b + c)
a
b c
(a . b) + (a . c)
=
• Exercícios:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas, ilustrar a expressão:
p’ . q . r
Solução: 
p
q r
p’
.
p
q r
q . r
=
p
q r
p’ . q . r
q . r – p 
• Exercícios:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas, ilustrar a expressão:
pr’ + p’qr
Solução: 
+
p
q r
p . r’
rq
p
p’ . q . r
=
p
q r
pr’ + p’qr
p – r q . r – p 
• Exercícios:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Escrever a expressão correspondente à representação gráfica:
Solução: 
x
y z
xyz’
x . y – z
x’y’z
z – x – y
xyz’ + x’y’z
• Exercícios:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Escrever a expressão correspondente à representação gráfica:
Solução: 
x
y z
x’y’z’
xyz
xyz + x’y’z’
Exercício – Raciocínio lógico
Uma prova de Matemática com três questões (A, B e C) foi resolvida por 
todos os alunos de uma turma segundo a tabela abaixo, que indica os acertos:Pergunta-se:
a) quantos alunos fizeram a prova? 
b) quantos alunos acertaram somente A e B?
c) quantos alunos não acertaram A e C?
Solução: A
B C
3
5
2
1 3
6
7 2
R: 29
R: 1
R: 21
	Lógica�
	Sumário
	Sistemas Dicotômicos - Introdução
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