Lista de Exercícios 2

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 2 – Turma F – 2o/2017
Lista de Exerc´ıcios no2
1. (a) Qual e´ a diferenc¸a entre uma sequeˆncia e uma se´rie?
(b) O que e´ uma se´rie convergente? O que e´ uma se´rie divergente?
2. Seja an =
2n
3n+ 1
.
(a) Determine se an e´ convergente.
(b) Determine se
∞∑
n=1
an e´ convergente.
3. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma
quando for poss´ıvel:
(a) 1
3
+ 1
6
+ 1
9
+ 1
12
+ 1
15
+ . . . (h)
∞∑
n=1
(
1
en
+
1
n(n+ 1)
)
;
(b)
∞∑
k=2
k2
k2 − 1 (i)
∞∑
n=1
n
√
2
(c)
∞∑
n=1
1 + 2n
3n
(j)
∞∑
k=0
(pi
3
)k
(d)
∞∑
n=1
1
5
√
n
(k)
∞∑
n=1
1
n2 + 4
;
(e)
∞∑
n=1
ln
(
n2 + 1
2n2 + 1
)
(l)
∞∑
n=1
lnn
n3
;
(f)
∞∑
n=1
n
n2 + 1
(m)
∞∑
n=2
1
n lnn
.
(g)
∞∑
n=1
arctg(n) (n)
∞∑
n=1
1
n2 + n3
4. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente expressando sn como uma soma
telesco´pica. Se for convergente, calcule sua soma.
(a)
∞∑
n=2
2
n2 − 1
(b)
∞∑
n=1
(
e1/n − e1/(n+1))
5. Expresse o nu´mero como uma raza˜o de inteiros:
(a) 0, 8 = 0, 88888 . . .
(b) 2, 516 = 2, 516516516 . . .
(c) 1, 5342
6. Se a n-e´sima soma parcial de uma se´rie
∞∑
n=1
an e´ sn =
n− 1
n+ 1
, encontre an e
∞∑
n=1
an.
7. Um paciente toma 150 mg de um fa´rmaco, ao mesmo tempo, todos os dias. Imediata-
mente antes de cada comprimido que e´ tomado, 5% da droga permanece no corpo.
(a) Qual quantidade do fa´rmaco no corpo depois do terceiro comprimido? Apo´s o
n-e´simo comprimido?
(b) Qual quantidade de droga permanece no corpo, a longo prazo?
8. Encontre o valor de c se
∞∑
n=2
(1 + c)−n = 2.
9. Suponha que uma se´rie
∑
an tenha termos positivos e suas somas parciais sn satisfac¸am
a desigualdade sn ≤ 1000 para todo n. Explique porque
∑
an deve ser convergente.
10. Explique por que o Teste da Integral na˜o pode ser usado para determinar se a se´rie
∞∑
n=1
cospin√
n
e´ convergente.
11. Encontre os valores de p para os quais a se´rie e´ convergente:
(a)
∞∑
n=2
1
n(lnn)p
(b)
∞∑
n=1
n(1 + n2)p
12. (a) Use a soma dos 10 primeiros termos para estimar a soma da se´rie
∞∑
n=1
1
n2
. Qua˜o
boa e´ essa estimativa?
(b) Encontre um valor de n que garanta que o erro na aproximac¸a˜o s ≈ sn seja menor
que 0, 001.
Respostas:
2. (a) converge para 2
3
, (b) diverge.
3. (a) diverge (b) diverge (c) converge para 5
2
(d) diverge (e) diverge (f) diverge
(g) diverge (h) converge para e
e−1 (i) diverge (j) diverge (k) converge (l)
converge (m) diverge (n) converge
4. (a) sn = 1 +
1
2
− 1
n
− 1
n+1
. A se´rie converge para 3
2
.
(b) sn = e− e 1n+1 . A soma converge para e− 1.
5. (a) 8
9
(b) 838
333
(c)5063
3300
6. an =
2
n(n+1)
e
∞∑
n=1
an = 1
7. (a)3000
19
(1− 0, 05n) (b)3000
19
8. c =
√
3−1
2
11. (a)p > 1 (b) p < −1
12. (a)R10 ≤ 110 (b)n > 1000