solidos de revolução por rotacao em y

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Rotac¸a˜o em torno do eixo Oy
Considere a func¸a˜o f(x) = sen(x) definida no intervalo [0, pi] e denote por A a regia˜o
compreendida abaixo do seu gra´fico e acima do eixo Ox. Se girarmos essa regia˜o em torno
do eixo Oy vamos obter um so´lido S cujo volume queremos calcular neste texto.
Figura 1: A regi´ıo A Figura 2: Parte do so´lido S Figura 3: O so´lido S
Vamos usar uma ideia parecida com aquela utilizada quando discutimos a rotac¸a˜o em
torno do eixo Ox. Ela consiste em fazermos aproximac¸o˜es para o volume de S utili-
zando algum so´lido cujo volume sabemos calcular. Mais especificamente, dado um nu´mero
n ∈ N, dividimos o intervalo [a, b] = [0, pi] em n subintervalos de igual tamanho ∆x = (b−a)
n
,
considerando os pontos
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b,
em que xk = a+ k∆x, para cada k = 0, 1, 2, . . . , n.
Fixado um nu´mero k ∈ {1, 2, . . . , n}, vamos escolher um ponto x∗
k
∈ [xk−1, xk] e construir
um retaˆngulo cuja base e´ o intervalo [xk−1, xk] e altura e´ f(x
∗
k
). Ao rotacionarmos este
retaˆngulo em torno do eixo Oy vamos obter uma espe´cie de anel cuja espessura e´ exatamente
xk − xk−1 = ∆x. O volume deste anel pode ser calculado como a diferenc¸a do volume de
dois cilindros, e vale exatamente
pix2
k
f(x∗
k
)− pix2
k−1f(x
∗
k
) = pi(xk − xk−1)(xk + xk−1)f(x
∗
k
) = 2pi∆x
(
xk + xk−1
2
)
f(x∗
k
).
xk−1 xk
f(x∗
k
)
Figura 4: O retaˆngulo Figura 5: Parte do anel Figura 6: O anel
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Observe agora que o nu´mero (xk + xk−1)/2 pertence ao intervalo [xk−1, xk]. De fato, ele
e´ exatamente o ponto me´dio deste intervalo. Assim, se desde o in´ıcio tive´ssemos escolhido
x∗
k
= (xk + xk−1)/2, o volume do anel seria exatamente 2pix
∗
k
f(x∗
k
)∆x.
Procedendo como acima, variando k de 1 ate´ n, e chamando de Sn o so´lido obtido quando
rotacionamos os n retaˆngulos em torno do eixo Oy, conclu´ımos que uma aproximac¸a˜o para
o volume do so´lido S e´
volume(Sn) =
n∑
k=1
2pix∗
k
f(x∗
k
)∆x =
n∑
k=1
g(x∗
k
)∆x,
em que g(x) = 2pixf(x). Uma vez que a aproximac¸a˜o se torna melhor quando n cresce,
conclu´ımos que o volume de S e´ dado por
volume(S) = lim
n→+∞
n∑
k=1
g(xk)∆x =
∫
b
a
g(x)dx =
∫
b
a
2pixf(x)dx.
Lembrando agora que f(x) = sen(x), a = 0 e b = pi, o volume V do so´lido em questa˜o e´
dado pela integral definida
V =
∫
pi
0
2pix sen(x)dx.
A fim de calcular esta integral vamos primeiro determinar uma primitiva para a func¸a˜o
x sen(x). Para tanto, vamos usar a te´cnica de integrac¸a˜o por partes com as escolhas u = x
e dv = sen(x)dx. Um ca´lculo direto mostra que du = dx e v = − cos(x), de modo que
∫
x sen(x)dx = −x cos(x)−
∫
(− cos(x))dx = −x cos(x) + sen(x) +K,
onde K e´ uma constante. Assim, o volume e´ dado por
volume(S) = 2pi (−x cos(x) + sen(x))
∣∣∣x=pi
x=0
= 2pi {−pi cos(pi) + sen(pi)} = 2pi2.
Vamos finalizar observando que o procedimento acima e´ mais geral do que parece. De
fato, seja f : [a, b] → [0,+∞) uma func¸a˜o cont´ınua, com a ≥ 0, e A a regia˜o compreendida
entre o gra´fico de f e o eixo Ox. Quando giramos A em torno do eixo Oy, obtemos um
so´lido S cujo volume e´ dado por
volume(S) =
∫
b
a
2pixf(x)dx.
E´ importante na˜o confundir a fo´rmula acima com aquela que nos da´ o volume quando giramos
em torno do eixo Ox, que e´ exatamente
∫
b
a
pif(x)2dx.
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Tarefa
Denote por A a regia˜o delimitada pelo gra´fico das func¸o˜es f(x) = x e g(x) = x2. Use a
fo´rmula do texto para calcular o volume do so´lido S obtido ao girarmos A em torno do eixo
Oy. Note que esta regia˜o na˜o e´ a regia˜o abaixo do gra´fico de uma func¸a˜o, mas sim a regia˜o
compreendida entre duas func¸o˜es. Assim, na˜o sera´ poss´ıvel aplicar diretamente a fo´rmula.
Pore´m, pode-se obter o resultado desejado como a diferenc¸a entre os volumes de dois outros
so´lidos.
Figura 1: A regia˜o A Figura 2: Parte do so´lido S Figura 3: O so´lido S
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