Prova Heloisa Bauzer UFF

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Primeira VE Ca´lculo II - B – prof: Heloisa Bauzer Medeiros
1o semestre de 2012
So´ sera˜o aceitas respostas com justificativa e/ou contas indicadas e claras
O crite´rio de correc¸a˜o e´: certo × errado, desconsiderando-se erros de pouca
relevaˆncia conceitual.
Quest~ao 1. (0,2 cada item)Em cada um dos itens seguintes, complete a frase
como no exemplo. Exemplo: O gra´fico de uma func¸a˜o f : R → R e´ uma
curva no plano.
a) A Imagem de uma func¸a˜o f : R→ R2 e´ . . . . . . . . . . . .
b)O conjunto de n´ıvel de uma func¸a˜o f : R3 → R e´ . . . . . . . . . . . .
c) O gra´fico de uma func¸a˜o f : R→ R2 e´ . . . . . . . . . . . .
d) O conjunto de n´ıvel de uma func¸a˜o f : R2 → R e´ . . . . . . . . . . . . .
e) . . . . . . . . . . . . de uma func¸a˜o f : R2 → R e´ uma superf´ıcie no espac¸o.
Quest~ao 2. (1,5 pts)Considere F (x, y) = x
3y2
x2+y2
. Verifique se existe o limite
de F quando (x, y) tende a (0, 0).
Quest~ao 3. (3,0 pts)f e g sa˜o duas func¸o˜es diferencia´veis com domı´nio em
R2 e contradomı´nio em R. A curva de n´ıvel 1 de f , que chamaremos de
Cf (1), e acurva de n´ıvel 2 de g, que chamaremos de Cg(2), se interceptam no
ponto (1, 1) perpendicularmente.Sabe-se que 5f(1, 1) = (2,−1)
i) Com base nestas informac¸o˜es voceˆ pode concluir, justificando, que:
a) Os gra´ficos de f e g se interceptam.
b) A direc¸a˜o da reta tangente a` Cf (1) e´ perpendicular a` (
2√
5
, −1√
5
).
c) A direc¸a˜o da reta tangente a` Cg(2) e´ perpendicular a` (
2√
5
, −1√
5
).
ii) Obtenha a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f em algum ponto
(explicite o ponto).
Quest~ao 4. (1,5 pts)Obtenha o polinoˆmio de Taylor de segunda ordem de
f(x, y) = ex
2y em torno de (0, 0).
1
Quest~ao 5. (1,0 pts)Obtenha a equac¸a˜o do plano tangente ao conjunto de-
scrito por: xy2 − z3 = 1, em um ponto (x0, y0, z0) arbitra´rio.
Quest~ao 6. (2,0 pts)Suponha que α e´ uma func¸a˜o de (x, y) e w e´ uma func¸a˜o
de α. f e´ a composta w ◦ α(x, y). Obtenha uma expressa˜o para ∂
2f
∂y∂x
.
2