Prova Heloisa Bauzer UFF

Prévia do material em texto

Primeira VE Ca´lculo II - B – prof: Heloisa Bauzer Medeiros
1o semestre de 2014
So´ sera˜o aceitas respostas com justificativa e/ou contas indicadas e claras
O crite´rio de correc¸a˜o e´: certo × errado, desconsiderando-se erros de pouca
relevaˆncia conceitual.
Quest~ao 1. Responda F ou V, conforme o caso. Se verdadeiro, prove ou
justifique; se falso, justifique ou apresente um contraexemplo.
a) O gra´fico da func¸a˜o y − x2 = 0 e´ uma para´bola.
b) Se C e´ conjunto de n´ıvel de f(x, y) = x2 + y2, enta˜o C e´ conjunto de
n´ıvel de f(x, y, z) = x2 + y2.
c) Se G e´ gra´fico de uma func¸a˜o f : Rn → Rm, enta˜o existe H : Rn → Rn+m
que parametriza G.
d) Se duas func¸o˜es teˆm a mesma imagem, elas sa˜o iguais.
e) Se S e´ um conjunto de n´ıvel de uma func¸a˜o f e S ⊂ R3 , enta˜o f tem
treˆs varia´veis.
Quest~ao 2. Determine a reta tangente a` curva parametrizada por f(t) =
(et − 1, t2 + 3, t3 − 2) no ponto (0, 3,−2).
Quest~ao 3. Considere F (x, y) = (x3, y2, cos(x2y), sen3xy). Determine uma
aproximac¸a˜o afim para F (x, y) na vizinhanc¸a de (1, pi).
Quest~ao 4. Explique (ou defina) o que sa˜o os conjuntos de n´ıvel de uma
func¸a˜o F . Deˆ um exemplo de conjuntos de n´ıvel para uma func¸a˜o F (da sua
escolha) com domı´nio em R3.
Quest~ao 5. Seja D a regia˜o do plano limitada pelas curvas y = x2, y =
x2 + 1, x = 1, x = −1. Determine a imagem desta regia˜o pela func¸a˜o
G(x, y) = (y − x2, x).
1