Prova Heloisa Bauzer UFF

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Primeira VE Ca´lculo II - B – prof: Heloisa Bauzer Medeiros
2o semestre de 2015 – turma K1
So´ sera˜o aceitas respostas com justificativa e/ou contas indicadas e claras
O crite´rio de correc¸a˜o e´: certo × errado, desconsiderando–se erros de pouca
relevaˆncia conceitual. Cada questa˜o vale 2,0 pts.
Quest~ao 1. Responda (justificando) cada uma das perguntas a seguir.
a) O ponto (0, 0) pertence ao gra´fico de f(x, y) = xy?
b) Se uma superf´ıcie de R3 e´ conjunto de n´ıvel de uma func¸a˜o g(x, y, z), a
derivada de g pertence ao plano tangente a` superf´ıcie?
c) As imagens das func¸o˜es f(t) = (t, cos(t)) e g(t) = cos(t) sa˜o iguais?
d) Sejam γ(t) = (x(t), y(t)) uma curva parametrizada em R2 e f(x, y) uma
func¸a˜o diferencia´vel (na˜o constante) com imagem em R. Suponha que
∇f e´ constante ao longo de γ. γ e´ curva de n´ıvel de f?
Quest~ao 2. Descreva alguma func¸a˜o f cujo gra´fico e´ uma superf´ıcie de R3.
Chame de S essa superf´ıcie. Encontre func¸o˜es g e h tais que S e´ conjunto
de n´ıvel de g e imagem de h. Escolha um ponto em S e obtenha a equac¸a˜o
do plato tangente a` S nesse ponto. Na˜o esquec¸a de explicitar domı´nio e
contradomı´nio das func¸o˜es f , g e h.
Quest~ao 3. F (x, y), G(x, y) e H(x, y) sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em todo seu
domı´nio, com imagem em R2. Sabe–se que:
F (0, 0) = (−1, 2e) F (1, 2) = (3, 3) F (3,−1) = ((0, 0) F (3, pi) = (2, 2)
G(0, 0) = (pi, 2) G(1, 2) = (3,−1) G(3,−1) = (4, e) G(pi, 2) = (0, 0)
H(0, 0) = (1, 2) H(1, 2) = (
√
2, 0) H(3,−1) = (4,√3) H(3, 3) = (1, 1)
Considere as matrizes:
A =
(
1 −1
−1 2
)
B =
(
0 −1
6 1
)
C =
(
1 0
0 3
)
Sabe-se que: DF (0, 0) = A, DF (4,
√
3) = (B +A), DF (3,−1) = B +C,
DG(3, pi) = 2B + A, DG(0, 0) = 3A, DG(1, 2) = 2C, DG(3,−1) = B − 2C,
DG(pi, 2) = B −C, DH(0, 0) = A+C, DH(1, 2) = (B + 2A), DH(3,−1) =
3A+ C, DH(3, 3) = B. Calcule D(F ◦H ◦G)(1, 2).
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Quest~ao 4. Pedrinho calculou uma derivada direcional de f(x, y, z) = 2x−
y + z2 no ponto (1, 2, 3) em uma direc¸a˜o u e obteve 4.Quanto vale o aˆngulo
entre ∇f(1, 2, 3) e u ? A resposta pode ser dada como um arccos.
Quest~ao 5. Dada a func¸a˜o F (x, y) = (x3sen(y), x3 − y3, 4x + 2y) escolha
um ponto X0 no domı´nio de F . Encontre uma aproximac¸a˜o G(X) para F ,
X = (x, y, z), tal que G(X) e´ da forma AX +B, onde A e´ matriz e B e´ um
vetor tal que: lim
X→X0
F (X)−G(X)
||X −X0|| = 0.
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