Cálculo 3 - Lista 6

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Lista de Exercícios de Cálculo 3
Sexta Semana
Parte A
1. (i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a
taxa de variação da função no ponto P na direção do vetor u.
(a) f(x, y) = 1− x2 + y2, P (1, 1) e u = 1
2
(
√
3i− j)
(b) f(x, y) = ln
√
x2 + y2, P (−1, 2) e u = 1
3
(2i +
√
5j)
(c) f(x, y) =
x
x2 + y2
, P (−2, 0) e u = 1
2
(
√
2i−
√
2j)
(d) g(x, y, z) = xe2yz, P (3, 0, 2) e u =
2
3
i− 2
3
j +
1
3
k
(e) g(x, y, z) =
√
x+ yz, P (1, 3, 1) e u =
2
7
i +
3
7
j +
6
7
k
2. Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados
(a) x2 + y2 + z2 = 17; (2,−2, 3)
(b) x2 = 12y; (6, 3, 3)
(c) xy = 1; (1, 1, 1)
(d) x− z = 4arctan(yz); (1 + pi, 1, 1)
(e) yz = ln(x+ z); (0, 0, 1)
3. Determine se os vetores abaixo correspondem ao gradiente de uma função. Caso afirmativo, determine esta
função.
(a) 4xi− 3yj
(b) (yex + x) i + (xey − y) j
(c) (2xy − y sinx) i + (x2 + cosx) j
(d)
(
2xy + y2 + 1
)
i + (x2 + 2xy + x)j
4. Encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada para as funções dadas.
(a) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y (2,−4) sela
(b) f(x, y) = (1 + xy)(x+ y) (−1, 1) (1,−1) selas
(c) f(x, y) = xy +
1
x
+
1
y
(1, 1) mínimo
(d) f(x, y) = (x2 + y2)ey
2−x2 (±1, 0) selas (0, 0) mínimo
(e) f(x, y) =
1
x2 + y2 − 1 (0,0) máximo
1
Parte B
1. Mostre as propriedades do gradiente considerando u e v como funções diferenciáveis.
(a) ∇(αu+ βv) = α∇u+ β∇v, onde α e β são constantes arbitrárias;
(b) ∇(uv) = u∇v + v∇u;
(c) ∇
(u
v
)
=
v∇u− v∇u
v2
;
(d) ∇un = nun−1∇u;
2. Suponha que f seja uma função diferenciável de uma variável e que r =
√
x2 + y2 + z2. Mostre que
∇f(r) = f ′(r)xi + yj + zk
r
3. Duas superfícies são chamadas de ortogonais em um ponto de interseção se as suas retas normais são
perpendiculares neste ponto. Mostre que superfícies com equações F (x, y, z) = 0 eG(x, y, z) = 0 são ortogonais
no ponto P , em que ∇F 6= 0 e ∇G 6= 0 se, e somente se,
FxGx + FyGy + FzGz = 0
no ponto P .
4. Mostre que as esferas abaixo são tangentes no ponto (a, 0, 0).
x2 + y2 + z2 = a2; (x− b)2 + y2 + z2 = (b− a)2.
Faça um esboço das duas esferas definidas anteriormente.
5. Prove que toda reta normal a uma esfera passa pelo centro da esfera.
6. Mostre que a superfície x2 − 2yz + y3 = 4 é perpendicular à qualquer superfície na família x2 + 1 = (2 −
4a)y2 + az2 no ponto de interseção (1,−1, 2).
7. Os três alelos A, B e O determinam os quatro tipos sanguíneos conhecidos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO)
e AB. A lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carrega dois tipos
diferentes de alelos é dada por
P (p, q, r) = 2pq + 2pr + 2rq,
em que p, q e r são as proporções de A, B ou O na população. Considerando que
p+ q + r = 1
mostre que o máximo da função P é 2/3.
8. Seja a temperatura de um disco circular de raio 1 dada por T = y − 2x2 − y2. (a) Encontre o maior valor de
T dentro do disco. (b) Encontre o maior valor de T na borda do disco.
Parte C
1. O potencial de Yukawa descreve aproximadamente a interação da força forte dentre dois prótons no núcleo
atômico e é dado pela fórmula
V (r) = −A
r
e−αr,
onde r =
√
x2 + y2 + z2. (a) Calcule a força induzida por este potencial utilizando a fórmula F = −∇V . (b)
Qual é o módulo desta força?
2
2. Considere a função F dada por
F (m, b) =
n∑
i=1
(yi −mxi − b)2 = ‖y −Mc‖2 ,
em que y = (y1, y2, · · · , yn)T é um vetor constante,
M =

x1 1
x2 1
...
...
xn 1

é uma matriz constante e c = (m, b)T um vetor com as variáveis do problema. Encontre os valores das cons-
tantes m e b que correspondem a um ponto crítico desta função. Verifique que este ponto crítico corresponde
a um ponto de mínimo utilizando a desigualdade de Hölder
1
n
(
n∑
i=1
|xi|
)2
≤ ‖x‖2 .
Além disso, determine sob quais condições o lado esquerdo pode ser igual ao lado direito na desigualdade.
Este problema é conhecido como regressão linear ou mínimos quadrados.
3. Considere a função
J(x) =
1
2
‖Ax− f‖2 + λ
2
2
‖Γx− g‖2 .
A solução ótima desta função surge em diversos problemas da engenharia. Neste tipo de problema, os vetores
f e g são constantes e conhecidos, assim como o número real λ2. A matriz A representa um filtro e a matriz
Γ é uma matriz de regularização, normalmente atuando como um filtro de derivadas. Considerando
A =
[
a b
c d
]
, Γ =
[
α β
θ ω
]
, x =
[
x1
x2
]
, f =
[
f1
f2
]
e g =
[
g1
g2
]
mostre que a solução ótima, que corresponde ao mínimo de J , é
x = (ATA + λ2ΓTΓ)−1(AT f + λ2ΓTg).
Esse problema é conhecido como regularização de Tikhonov generalizada.
3
Resumo do Conteúdo
• Vetor Gradiente: o vetor gradiente de uma função z = f(x, y) em um ponto (a, b) é o vetor definido e
denotado por ∇f(a, b) = fx(a, b)i + fy(a, b)j.
– Características:
∗ o vetor gradiente é perpendicular as curvas de nível da função f ;
∗ partindo do ponto (a, b) no domínio da função, tem-se que a função cresce mais rapidamente na
direção do vetor ∇f(a, b);
∗ de forma equivalente, partindo do ponto (a, b), tem-se que a função decresce mais rapidamente na
direção do vetor −∇f(a, b);
∗ em uma direção u que é perpendicular a ∇f(a, b) 6= 0, a função z = f(x, y) tem crescimento nulo,
ou seja, é uma direção tangente a curva de nível de f ;
– Consulte o caderno/livro para demais casos!!!
• Derivada Direcional: diferentemente das derivadas parciais fx e fy que fornecem a variação da função
z = f(x, y) nas direções canônicas i e j, a derivada direcional fornece a variação da função em qualquer
direção u = u1i + u2j, com |u| = 1, a partir do ponto p = (a, b). A derivada direcional é definida como
∂f
∂u
(a, b) = lim
s→0
f(p + su)− f(p)
s
= ∇f(a, b) · u = fx(a, b)u1 + fy(a, b)u2;
• Plano Tangente: o plano tangente à uma superfície z = ƒ(x, y) no ponto p = (a, b, f(a, b)) é o plano que é
normal a ∇G, com G(x, y, z) = f(x, y)− z, em p. Sendo r = (x, y, z), o plano tangente é dado por
∇G · (r− p) =
(
∂f
∂x
(a, b),
∂f
∂y
(a, b),−1
)
· (x− a, y − b, z − f(a, b))
= fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b) + (−1)(z − f(a, b))
= 0;
– Consulte o caderno/livro para demais casos!!!
• Pontos Críticos: um ponto (a, b) pertencente ao domínio de uma função z = f(x, y) é dito um ponto crítico
se fx(a, b) = fy(a, b) = 0, ou seja, se ∇f(a, b) = 0.
• Teste da Segunda Derivada: é necessário para testar se um ponto crítico (a, b) é um ponto de máximo,
ponto de mínimo ou ponto de sela para a função z = f(x, y). O teste da segunda derivada é baseado no
número H = fxxfyy − f2xy, conhecido como Hessiano da função f .
– Ponto de máximo em (a, b): se fxx(a, b) < 0 e H > 0 em (a, b);
– Ponto de mínimo em (a, b): se fxx(a, b) > 0 e H > 0 em (a, b);
– Ponto de sela em (a, b): se H < 0 em (a, b);
– Inconclusivo: se H = 0 em (a, b);
4
Gabarito
Parte A
1. Respostas
(a) (i) ∇f = −2xi + 2yj; (ii) ∇f(1, 1) = −2i + 2j; (iii) ∂f
∂u
= −(√3 + 1);
(b) (i) ∇f = xi + yj
x2 + y2
; (ii) ∇f(−1, 2) = 1
5
(−i + 2j); (iii) ∂f
∂u
=
1
15
(−2 + 2
√
5);
(c) (i) ∇f = (−x
2 + y2)i− 2xyj
(x2 + y2)2
; (ii) ∇f(−2, 0) = −1
4
i; (iii)
∂f
∂u
= −
√
2
8
;
(d) (i) ∇g = e2yzi + 2xze2yzj + 2xye2yzk; (ii) ∇g(3, 0, 2) = i + 12j; (iii) ∂g
∂u
= −22
3
;
(e) (i) ∇g = i + zj + yk
2
√
x+ yz
; (ii) ∇g(1, 3, 1) =
√
6
12
i +
√
6
12
j +
√
6
4
k; (iii)
∂g
∂u
=
11
√
6
84
;
2. Respostas
(a) 4(x− 2)− 4(y + 2) + 6(z − 3) = 0 e r(t) = (1 + 2t)(2,−2, 3);
(b) 12(x− 6)− 12(y − 3) = 0 e r(t) = (6, 3, 3) + t(12,−12, 0);
(c) (x− 1) + (y − 1) = 0 e r(t) =(1, 1, 1) + t(1, 1, 0);
(d) (x− 1− pi)− 2(y − 1)− 3(z − 1) = 0 e r(t) = (1 + pi, 1, 1) + t(1,−2,−3);
(e) −x+ y − (z − 1) = 0 e r(t) = (0, 0, 1) + t(−1, 1,−1);
3. Respostas
(a) f(x, y) = 2x2 − 3
2
y2 + c;
(b) Não
(c) f(x, y) = x2y + y cosx+ c;
(d) Não
4. Respostas
(a) (2,−4) sela
(b) (−1, 1) e (1,−1) selas
(c) (1, 1) mínimo
(d) (±1, 0) selas e (0, 0) mínimo
(e) (0, 0) máximo
Parte B
1. Basta utilizar as propriedades da derivada
2. Basta utilizar a regra da cadeia
3. As retas normais serem perpendiculares é equivalente a ∇F · ∇G = 0
4. As esferas são tangentes se seus planos tangentes são idênticos no ponto dado.
5. Dada uma esfera (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2, seu vetor normal no ponto (x0, y0, z0) é dado por
n = 2(x0, y0, z0) − 2(a, b, c). A reta normal é dada por r(t) = (1 + 2t)(x0, y0, z0) − 2t(a, b, c) e em t = −1/2
tem-se que r(−1/2) = (a, b, c), o centro da esfera.
5
6. Determine os vetores normais as superfícies nos pontos dados e verifique que a condição da questão 3 é
satisfeita.
7. Faça r = 1− p− q, substitua na função P (p, q, r), encontre os pontos críticos e classifique-os.
8. (a) 1/4; (b) 0
Parte C
2. (Forma não tradicional de solução) Considere x = (x1, · · · , xm) um vetor m× 1 e f(x) uma função escalar,
isto é, f : D ⊂ Rm → R, definimos a derivada de f com relação ao vetor x como
∂f
∂x
=
[
∂f
∂x1
, · · · , ∂f
∂xm
]
(gradiente da f).
Agora perceba que
F (c) = ‖y −Mc‖2 = (y −Mc)T (y −Mc) = yTy − yTMc− cTMTy + cTMTMc.
Cada uma das parcelas yTy, yTMc, cTMTy, cTMTMc ∈ R, desta forma podemos calcular a derivada de cada
uma das parcelas com relação ao vetor c, e neste caso teremos (verifiquem!!!)
∂F
∂c
= −(yTM)T −MTy + 2cTMTM
= −2MTy + 2MTMc.
Portanto, o ponto crítico é c = (MTM)−1MTy. A segunda derivada (Hessiano) com relação a variável c é dada
por
∂2F
∂c2
= 2MTM.
Para saber se o ponto é de mínimo precisamos verificar o determinante do Hessiano, que neste caso será
H =
(∑
xi
)2
− n
∑
x2i
< 0,
pela desigualdade de Hölder. Logo c encontrado é um ponto de mínimo.
6