Exercicios metodos Quantitativos

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Métodos Quantitativos
Medidas de Tendência Central
Medidas de posição
Aula 2 – Exercícios 
Distribuição com perda de informação
AULA ANTERIOR
Classe 𝒇𝒊 𝒇𝒓 %
0 − 1 6 12
2 − 3 9 18
4 − 5 20 40
6 − 7 10 20
8 − 9 5 10
EXEMPLO: 
Média Aritmética
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
CLASSE PONTO 
MÉDIO
N° DIAS 𝑓𝑖𝑥𝑖
0 – 1 6
2 – 3 9
4 – 5 20
6 – 7 10
8 – 9 5
 𝑥 =
1
𝑛
 
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖𝑥𝑖 =
223
50
= 4,46
50 223
CLASSE PONTO 
MÉDIO
N° DIAS 𝑓𝑖𝑥𝑖
0 – 1 0,5 6
2 – 3 2,5 9
4 – 5 4,5 20
6 – 7 6,5 10
8 – 9 8,5 5
CLASSE PONTO 
MÉDIO
N° DIAS 𝑓𝑖𝑥𝑖
0 – 1 0,5 6 3,0
2 – 3 2,5 9 22,5
4 – 5 4,5 20 90,0
6 – 7 6,5 10 65,0
8 – 9 8,5 5 42,5
EXEMPLO:
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
CLASSE Nº DIAS 𝑓𝑖𝑥𝑖
0 3
1 3
2 4
3 5
4 10
5 10
6 6
7 4
8 3
9 2
 𝑥 =
1
𝑛
 
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖𝑥𝑖
 𝑥 =
222
50
= 4,44
50 222
CLASSE Nº DIAS 𝑓𝑖𝑥𝑖
0 3 0
1 3 3
2 4 8
3 5 15
4 10 40
5 10 50
6 6 36
7 4 28
8 3 24
9 2 18
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
EXEMPLO: MedianaAMOSTRA
QUANTIDADE 
DE 
ELEMENTOS
DADOS ORDENADOS MEDIANA
2 3 3 4 2 5 1 4 5 9
2 4 3 1 7 3 8 9 2 4 10
3 4 2 3 1 5 3 2 8
6 7 3 2 5 2 3 6 2 1 10
3
3,5
3
3
1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 2 3 3 4 4 7 8 9
1 2 2 3 3 3 4 5
1 2 2 2 3 3 5 6 6 7
𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 01
9 + 1
2
= 5
𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 02
10 + 1
2
= 5,5
𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 03
8 + 1
2
= 4,55
𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 04
10 + 1
2
= 5,5
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
EXEMPLO: Consideremos os seguintes dados 
relativos ao número de acidentes diários em um 
grande estacionamento, durante o período de 50 
dias. Construa uma distribuição de frequência 
sem perda dos valores originais e uma 
distribuição de frequência com perda de 
informação.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
CLASSE
PONTO 
MÉDIO
N° DIAS 𝒇𝒂𝒄
0 – 1 0,5 6
2 – 3 2,5 9
4 – 5 4,5 20
6 – 7 6,5 10
8 – 9 8,5 5
Classe que contém a
mediana
Temos 50 observações a mediana deve 
estar localizada na posição 
(50 + 1)/2 = 25,5. 
CLASSE
PONTO 
MÉDIO
N° DIAS 𝒇𝒂𝒄
0 – 1 0,5 6 6
2 – 3 2,5 9 15
4 – 5 4,5 20 35
6 – 7 6,5 10 45
8 – 9 8,5 5 50
𝑚𝑑 = 𝐿𝐼 +
1
𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎
𝑛
2
− 𝑓
1
∗ 𝑐
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
𝐿𝐼 = 4CLASSE
PONTO 
MÉDIO
N° DIAS 𝒇𝒂𝒄
0 – 1 0,5 6 6
2 – 3 2,5 9 15
4 – 5 4,5 20 35
6 – 7 6,5 10 45
8 – 9 8,5 5 50
𝑚𝑑 = 4 + 
50
2
− 15 20 ∗ 1 = 4,5
 𝑓 1 = 15 dados
𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 20
𝑐 = 1
𝑚𝑜 = 𝐿𝐼 +
∆1
∆1 + ∆2
𝑐
EXEMPLO:
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
CLASSE N° DIAS
0 – 1 6
2 – 3 9
4 – 5 20
6 – 7 10
8 – 9 5
Classe modal
𝐿𝐼 = 4
∆1= 20 − 9 = 11
∆2= 20 − 10 = 10
𝑐 = 1
𝑚𝑜 = 4 +
11
11 + 10
∗ 1 = 4,52
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
COM PERDA OU SEM PERDA
DE INFORMAÇÃO
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
CLASSE Nº DIAS
0 3
1 3
2 4
3 5
4 10
5 10
6 6
7 4
8 3
9 2
CLASSE N° DIAS
0 – 1 6
2 – 3 9
4 – 5 20
6 – 7 10
8 – 9 5
SEM PERDA
 𝑥 = 4,44
𝑚𝑑 = 4
𝑚𝑜 = 4 𝑒 5
COM PERDA
 𝑥 = 4,46
𝑚𝑑 = 4,5
𝑚𝑜 = 4,52
EXEMPLO: Média Aritmética, Mediana e Moda.
12 15 16 15 12 15 15 5 7 14
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Dados organizados: 5 7 12 12 14 15 15 15 15 16
Média =
5+7+12+12+14 +15+15+15+15+16
10
Média = 12,6
Posição = 
10+1
2
= 5,5
Mediana: 14,5
Moda: 15
EXEMPLO: Valores da média aritmética, da 
mediana e da moda.
2 6 3 6 3 3 4
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Dados organizados: 2 3 3 3 4 6 6
Média =
2+3+3+4+6+6
7
Média = 3,86
Posição = 
7+1
2
= 4
Mediana: 3 Moda: 3
EXEMPLO: 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Temperatura 𝒇𝒊
13,5 4
14 1
15,5 1
16 1
18 2
18,5 1
19,5 1
20 3
21,5 1
15
Média
= (4.13,5+1.14+1.15,5+1.16 + 2.18 +
1.18,5 + 1.19,5 + 3.20+1.21,5)/15
Média = 17
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Posição: (15 + 1)/2 = 8
Mediana: 18
Moda: 13,5
Temperatura 𝒇𝒊
13,5 4
14 1
15,5 1
16 1
18 2
18,5 1
19,5 1
20 3
21,5 1
EXEMPLO: Amplitude
15 15 12 14 16 16 4 15
MEDIDAS DE DISPERSÃO
4 12 14 15 15 15 
16 16
Amplitude = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
Amplitude = 16 − 4 = 12
EXEMPLO: Amplitude
5 4 5 4 6 5 16 4
MEDIDAS DE DISPERSÃO
4 4 4 5 5 5 6 16
Amplitude = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
Amplitude = 16 − 4 = 12
EXEMPLO: Média, Mediana, Variância e 
Desvio-padrão
190 198 196 204 202
190 196 198 202 204
MEDIDAS DE DISPERSÃO
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
190 + 198 + 196 + 202 + 204
5
= 198
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 = (5 + 1)/2 = 3
,
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 198
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑆2 =
 𝑥𝑖 − 𝑥
2
𝑛 − 1
𝑆2 =
 𝑥𝑖 − 𝑥
2
𝑛 − 1
MEDIDAS DE DISPERSÃO
120
𝑆2 =
120
5 − 1
= 30
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜: 𝑆 = 30 = 5,48
𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙
𝟐
190
196
198
202
204
𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙
𝟐
190 8
196 2
198 0
202 4
204 6
𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙
𝟐
190 8 64
196 2 4
198 0 0
202 4 16
204 6 36
EXEMPLO: Variância e desvio-padrão
POPULAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO
20
Classe 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑥| 𝑥𝑖 − 𝑥
2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
2
0 ⊢ 4 2
4 ⊢ 8 6
8 ⊢ 12 8
12 ⊢ 16 3
16 ⊢ 20 1
2
6
10
14
18
4
36
80
42
18
 𝑥 = 180/20 = 9
180
7
3
1
5
9
49
9
1
25
81
316
𝑆2 = 316/20 = 15,8 𝑆 = 3,97
98
54
8
75
81
AMOSTRA
MEDIDAS DE DISPERSÃO
20
Classe 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑥| 𝑥𝑖 − 𝑥
2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
2
0 ⊢ 4 2
4 ⊢ 8 6
8 ⊢ 12 8
12 ⊢ 16 3
16 ⊢ 20 1
2
6
10
14
18
4
36
80
42
18
 𝑥 = 180/20 = 9
180
7
3
1
5
9
49
9
1
25
81
316
𝑆2 = 316/19 = 16,6 𝑆 = 4,08
98
54
8
75
81
EXEMPLO: 
𝐶𝑉 =
𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜
𝑚é𝑑𝑖𝑎
. 100
Micrômetro 01
𝐶𝑉 =
0,012
2,49
. 100 ≅ 0,48%
Micrômetro 02
𝐶𝑉 =
0,002
0,75
. 100 ≅ 0,27%
MEDIDAS DE DISPERSÃO
EXEMPLO: 
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Faixas
Ponto 
médio
Frequência 𝑓𝑖𝑥𝑖
7 ⊢ 8 27
8 ⊢ 9 29
9 ⊢ 10 46
10 ⊢ 11 43
11 ⊢ 12 55
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
202,5
246,5
437
451,5
632,5
 𝑥 =
1
𝑛
 
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖𝑥𝑖 =
1970
200
= 9,85
200 1970
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Faixas
Ponto 
médio
Frequência 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑓𝑎𝑐
7 ⊢ 8 27
8 ⊢ 9 29
9 ⊢ 10 46
10 ⊢ 11 43
11 ⊢ 12 55
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
202,5
246,5
437
451,5
632,5
200
𝑚𝑑 = 𝐿𝐼 +
1
𝑓𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎
.
𝑛
2
− 𝑓 . c
27
56
102
145
200
= 9 +
1
46
.
200
2
− 56 . 1
𝑚𝑑 ≅ 9,96
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Faixas
Ponto 
médio
Frequência 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑓𝑎𝑐
7 ⊢ 8 27
8 ⊢ 9 29
9 ⊢ 10 46
10 ⊢ 11 43
11 ⊢ 12 55
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
202,5
246,5
437
451,5
632,5
200
𝑚𝑜 = 𝐿𝐼 +
∆1
∆1 + ∆2
. 𝑐
27
56
102
145
200
= 11 +
55 − 43
55 − 43 + (55 − 0)
. 1
𝑚𝑜 ≅ 11,18
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Faixas
Ponto 
médio
Frequência 𝑥𝑖 − 𝑥
2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
2
7 ⊢ 8 27
8 ⊢ 9 29
9 ⊢ 10 46
10 ⊢ 11 43
11 ⊢ 12 55
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
5,5225
1,8225
0,1225
0,4225
2,7225
200
𝑆2 =
 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑓𝑖
𝑛 − 1
149,1075
52,8525
5,6350
18,1675
149,7375
=
375,50
200 − 1
≅ 1,89
𝑆≅ 1,37
375,50