Sintonia PID

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PROJETOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1 
 
 
Aula 6 – Sintonia de Controladores PID 
Introdução 
Sistemas com atraso de transporte 
Influência do Efeito do Atraso de Transporte em Sistemas Dinâmicos 
Modelagem Não-Paramétrica de Sistemas Dinâmicos 
Sintonia de Controladores: Métodos da Curva de reação e da Sensibilidade Limiar 
Problemas 
Bibliografia 
 
 
Introdução 
 
A tarefa de sintonia de controladores Proporcional, Integral e Derivativo, na maioria dos casos é 
realizada de forma empírica pelos operadores e técnicos responsáveis pelo processo sob controle. A tarefa 
basicamente consiste em variar os ganhos do controlador e avaliar o impacto destas variações junto a 
variável de saída do processo. Ainda assim, por vezes, encontrar o conjunto de ganhos satisfatórios para o 
início da operação de um dado processo pode resultar em uma tarefa enfadonha e nada sistemática. Visando 
sistematizar tal tarefa em 1942, Ziegler e Nichols [7] publicaram um trabalho que, com base em alguns 
dados experimentais do processo, o operador fosse capaz de determinar um conjunto de parâmetros iniciais, 
Kp, Ki e Kd de controladores tipo PID. Este trabalho deu origem a dois métodos distintos de sintonia, 
conhecidos como métodos de Ziegler-Nichols, apresentados na seqüência. 
 
Sistemas com atraso de transporte 
 
Em sistemas de controle industriais é comum a existência de um fenômeno denominado de atraso 
de transporte, ou tempo morto. Tal fenômeno ocorre, quando a variável de saída de um dado processo 
percebe variações no sinal de entrada Dt segundos depois desta variação ter efetivamente ocorrido. Para 
ilustrar fisicamente o efeito do atraso de transporte, considera-se o exemplo do sistema de controle de nível 
apresentado na Figura 6.1. 
tD
1t 2t h(t)
 
Fig. 6.1: Sistema de controle de nível. 
 Neste exemplo, deseja-se controlar o nível de um dado recipiente localizado no final de uma 
esteira transportadora. Neste recipiente será colocado a matéria sólida existente em um reservatório. O 
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tempo existente entre o instante em que a matéria sólida, oriunda do reservatório, é depositada na esteira até 
o momento em que esta matéria é despejada no recipiente final é caracterizado como o atraso de transporte 
deste processo. 
Processos modelados com dinâmicas lineares com atraso de transporte são matematicamente 
representados pela sua função de transferência acrescida do termo em atraso, conforme representado na 
equação 6.1. 
mn 
bsbsbsbsb
asasasasa
e)s(G
m1m
2n
2
1n
1
n
0
m1m
2m
2
1m
1
m
0ts ³
+++++
+++++
=
-
--
-
--
D-
L
L
 (6.1) 
 Na equação 6.1, o termo tse D- representa matematicamente o fenômeno físico associado ao atraso 
de transporte do sistema. A influência do atraso de transporte no projeto de controladores para este tipo de 
processos será analisado na seqüência. 
 
Influência do Efeito do Atraso de Transporte em Sistemas Dinâmicos 
 
 Para exemplificar o efeito do atraso de transporte na dinâmica de sistemas lineares, analisaremos 
inicialmente o comportamento em freqüência de um processo descrito pela função de transferência de 
malha-aberta 6.2. 
( )2
5.0
1
5.2)(
+
=
-
s
e
sG
s
 (6.2) 
O sistema descrito pela equação (6.2) apresenta pólos reais duplos em –1, ganho DC igual a 2.5 e 
atraso de transporte de 0.5 segundos. A Figura 6.2 apresenta o diagrama de Bode deste sistema, juntamente 
com o diagrama de Bode do mesmo sistema desconsiderando o atraso de transporte. 
 
Fig. 6.2: Diagrama de Bode do processo 6.2 com e sem atraso de transporte. 
 
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· Provar matematicamente porque as curvas de fase do sistema 6.2, considerando e 
desconsiderando atraso de transporte, são consideravelmente diferentes. 
· Prova matematicamente porque as curvas de módulo do sistema 6.2 são iguais para os dois 
casos considerados. 
· Qual a influência do atraso de transporte nas margens de Fase e de Ganho do sistema. 
 A influência temporal do efeito do atraso de transporte do sistema apresentado em 6.2, pode ser 
observada considerando que o sistema esta operando em malha-fechada, com realimentação unitária e 
negativa, conforme o diagrama de blocos da Figura 6.3. Neste caso, para observar o efeito do atraso de 
transporte no sistema de controle em ma lha-fechada, considera-se a resposta ao degrau do sistema com 
atraso de transporte igual a 1.0 segundo e sem o atraso de transporte, apresentadas na Figura 6.4. 
 
Fig. 6.3: Diagrama de blocos do processo em malha-fechada. 
 
Fig. 6.4: Resposta ao degrau do sistema 6.2 operando em malha-fechada com a influência do atraso de 
transporte de 1.0 segundo (linha pontilhada) e sem a influência do atraso de transporte (linha sólida). 
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· Explicar porque as curvas de resposta ao degrau do sistema esquematizado com e sem atraso 
de transporte apresentam comportamentos tão distintos. 
 
 
Modelagem Não-Paramétrica de Sistemas Dinâmicos 
 
 A tarefa de controlar um dado sistema físico, por vezes depende de uma etapa anterior 
denominada modelagem. Nesta etapa o engenheiro de controle deve relacionar o comportamento físico do 
processo com o conjunto de equações matemáticas que o descrevem. Embora este seja o procedimento 
adequado, por vezes em situações reais, a modelagem do sistema é feita de forma simplificada observada 
diretamente pela relação entre excitação/resposta do sistema. Como resultado, o projetista pode obter de 
forma rápida, a função de transferência aproximada do processo ao qual deseja controlar. Os métodos de 
modelagem descritos a seguir são baseados na curva de resposta ao degrau de sistemas dinâmicos operando 
em malha-aberta. Em todos os casos, os processos serão aproximados por funções de transferência de 
primeira ordem com atraso de transporte, caracterizando o que se denomina de modelagem não-paramétrica 
de sis temas dinâmicos. 
 
Curva de Reação 
 
O método da curva de reação é realizado a partir de dados coletados na saída da planta para uma 
entrada determinada. Esta técnica baseia-se na modelagem não-paramétrica, aproximando o modelo dos 
processos por funções de transferência de primeira ordem com atraso de transporte. Tais processos 
subdividem-se em duas classes: 
1. Processos Auto-Regulados; 
2. Processos Não Auto-Regulados. 
 Para exemplificar os tipos de processos que possuem características de auto-regulação, considera-
se o processo de controle de temperatura apresentado na Figura 6.5. 
 
 
Fig. 6.5: Exemplo de um processo auto-regulável. 
 
Dada uma determinada tensão nos terminais da resistência, a temperatura irá se estabilizar em um 
determinado valor, conforme é mostrado na Figura 6.6. Para empregar o primeiro método de sintonia 
proposto em [1], representaremos este processo pela seguinte função de transferência: 
Gp(s)
Ke
s 1
s
=
+
-q
t
 (6.3) 
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Fig. 6.6: Resposta típica um sistema Auto-Regulado. 
Existem três métodos para modelagem de sistemas auto-regulados que serão vistos mais a seguir. 
Para a segunda classe de processos considera-se o sistema de controle de nível, i.e., 
 
Fig. 6.7: Exemplo de um processo não auto-regulável. 
 
Neste caso, considerando-se constante a vazão de entrada de alimentação do tanque, percebe-se 
claramente que o tanque transbordará. Processos deste tipo apresentam no mínimo um termo integral e, 
possivelmente, uma ou mais constantes de tempo. 
 
1. Sistemas Auto-regulados - Determinação dos Parâmetros K e q : 
 
Para processos não auto-regulados, a modelagem não-paramétrica é realizada de acordo com a 
seguinte função de transferência: 
s
sKe
Gp(s)
q-
= (6.4) 
A resposta típica é representada na Fig. 6.8: 
 
 
Fig. 6.8: Típica resposta de um sistema não auto-regulado. 
 
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Determine o modelo de 1a. ordem com atraso de transporte equivalente ao sistema G(s): 
44 344 21444 3444 21
Aproximada
s
Real
s
Ke
Gp(s) 
2)1)(ss(s
0.6
G(s)
q-
=Þ
++
= 
A curva de resposta ao degrau do sistema representado pela função de transferência G(s), 
conforme Fig. 6.9, é apresentada na Fig. 6.10. 
 
 
Fig. 6.9: Diagrama de blocos do sistema não auto-regulado. 
 
 
Fig. 6.10: Resposta ao degrau de um sistema não auto-regulado com atraso de transporte. 
Calculando a declividade da resposta do sistema não auto regulado, encontramos o valor de 
K=0.3. O valor de atraso de transporte corresponde a intersecção da tangente da curva ao eixo 
temporal. Assim, encontra-se q=1,5. Pode-se conferir a resposta através da simu lação do modelo 
conforme a Fig.6.11. 
 
 
Fig. 6.11: Modelagem do Sistema Não auto-regulado e de seu equivalente de primeira ordem. 
A curva de resposta dos dois sistemas é apresentada na Fig. 6.12. Como se pode notar, a obtenção dos 
parâmetros em sistemas não auto-regulados é simples, bastando calcular a declividade da curva de resposta 
e a intersecção da tangente da curva no eixo temporal. Já em sistemas auto-regulados, existem três métodos 
para retirada dos parâmetros K e q. 
 
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Fig. 6.12: Resposta ao Degrau de um sistema não auto-regulado e seu equivalente de primeira ordem com 
atraso q=1,5 e K=0,3. 
 
2. Sistemas Auto-regulados - Determinação dos Parâmetros K, q e t: 
 
Considera-se o processo excitado com uma entrada do tipo degrau de amplitude previamente 
estabelecida. Para um sistema de 1 ° ordem sem atraso, do tipo 
G(s)
a
s b
=
+
 (6.5) 
excitado com um degrau unitário, i.e., 
Y(s)
1
s
a
s b
=
+
 (6.6) 
apresenta a seguinte resposta temporal : 
y(t)
a
b
ae
b
dy(t)
dt
ae
bt
bt= - Þ =
-
- (6.7) 
Naturalmente, considerando b Î R+ teremos, a derivada temporal da variável de saída y(t) 
apresentará um valor máximo em t=0, i.e, 
dy(t)
dt
a
t 0=
= (6.8) 
Nota-se também que y(¥)=a/b. Considerando a reta de derivada máxima r(t)=at, observa-se que esta 
intercepta o valor de regime do sistema em t=(1/b)= t (Constante de Tempo do Sistema), ou o tempo para 
saída atingir 63,2% do valor de regime. 
Desta forma pode-se determinar os parâmetros da função de transferência de 1° ordem com atraso de 
transporte, i.e, 
Gp(s)
Ke
s 1
s
=
+
-q
t
 (6.9) 
Sendo o ganho “K”, determinado pela seguinte relação: 
K
y
amplitude do degrau de entrada
regime
= (6.10) 
 
Com o exposto até este ponto, pode-se determinar apenas os valores de K e t da função de 
transferência aproximada do processo, representada em (6.9). Os parâmetros t e q ainda podem ser 
determinados conforme os métodos apresentados na seqüência. 
 
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Primeiro Método: Determina-se o valor de q através da medição dos instantes de tempo t1 (atraso de 
transporte) e t2 (“atraso de grupo”). 
 
 
Fig. 6.13: Método proposto por Ziegler and Nichols. 
Outros métodos de modelagem não-paramétrica de processos, baseados em [1] tem sido sugeridos 
com algumas alterações. 
 
Segundo Método : Propõe que 63,2% do valor de regime da variável de saída do processo, quando excitado 
com uma entrada do tipo degrau, ocorrerá no instante de tempo q + t. 
 
Fig. 6.14: Segundo método. 
 
Terceiro Método : Arbitra-se pontos na curva de reação do processo, correlacionando-os com seus 
respectivos tempos de ocorrência, i.e., 
t
31
= +q
t
 (6.11) 
t2 = +q t (6.12) 
onde t1 e t2 são tempos medidos. Resolvendo o sistema de equações anteriores, determina-se q e t. 
 
Fig. 6. 15: Terceiro método. 
 
Em todos os casos considerados, o ganho K é determinado da mesma forma, isto é, a razão entra a 
amplitude do sinal de saída do processo operando em regime e a amplitude do sinal de entrada do processo. 
0.283 
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Sintonia de Controladores PID - Curva de Reação 
 
Com base nos métodos de modelagem de processos industriais através da análise do comportamento 
da variável de saída do processo operando em malha-aberta, empregando como sinal de referência um 
valor constante em sua entrada, apresenta-se nesta seção o procedimento para determinação dos parâmetros 
de sintonia de controladores PID baseado na função de transferência aproximada obtida por métodos de 
modelagem não-paramétrica de um processo dada pela equação 6.13. 
1s
eK
Gp(s)
s
c
+
=
-
t
q
 (6.13) 
O conjunto de parâmetros iniciais que serão empregados no controlador PID, isto é, os ganhos 
proporcional, integral e derivativo, serão determinados com base na tabela 6.1. Observa-se que tais valores 
correspondem ao ponto inicial de ajuste dos parâmetros do controlador para aqueles processos que 
apresentam características de auto-regulação. 
 
Controlador Ziegler-Nichols Cohen-Coon 3C 
 
 
Proporcional 
 
 
0.1-
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
cKK 
 
333.0
0.1
+÷
ø
ö
ç
è
æ=
-
t
q
cKK 
 
956.0
208.1
-
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
cKK 
 
 
 
 
Proporcional 
+ 
Integral 
 
 
 
0.1
9.0
-
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
cKK 
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
t
33.3i
T
 
 
 
 
082.09.0
0.1
+÷
ø
ö
ç
è
æ=
-
t
q
cKK 
÷
ø
ö
ç
è
æ+
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
=
t
q
t
q
t
q
t 2.20.1
0.11
0.133.3
iT 
 
 
 
946.0
928.0
-
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
cKK
583.0
928.0 ÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
t
iT 
 
 
 
 
 
Proporcional 
+ 
 Integral 
+ 
Derivativo 
 
 
 
0.1
2.1
-
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
cKK 
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
t
0.2i
T
 
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
t
5.0d
T 
27.035.1
0.1
+÷
ø
ö
ç
è
æ=
-
t
q
cKK 
÷
ø
ö
ç
è
æ+
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
=
t
q
t
q
t
q
t
6.00.1
0.5
0.15.2
iT 
÷
ø
ö
ç
è
æ+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
t
q
t
q
t
2.00.1
37.0
dT 
 
 
 
950.0
370.1
-
÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
cKK 
738.0
3514.1 ÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
t
iT 
950.0
365.0 ÷
ø
ö
ç
è
æ=
t
q
t
dT 
 
Tabela 6.1: Parâmetros do controlador PID. 
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A tabela 6.1 apresenta os procedimentos de cálculo a ser utilizado para determinação dos ganhos 
de controladores do tipo Proporcional, Proporcional Integral e Proporcional Integral e Derivativo, 
sendo Kp K, Ki = K / T e Kd = KTi d= . 
 
 
 
Determine um modelo equivalente de primeira ordem com atraso de transporte do processo 
representado pela função de transferencia G(s). O diagrama de simulação e a resposta temporal a 
uma entrada do tipo degrau unitário são apresentadas nas Figuras 6.16 e 6.17. Preencha a tabela 6.2 
empregando os métodos apresentados. 
 
 
2)1)(s1)(s5)(s.0(s
1
G(s)
++++
= (8.13) 
 
Fig. 6.16: Sistema original e aproximado. 
 
Fig. 6.17: Resposta temporal do sistema G(s) original. 
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 Atraso de Transporte (q) Constante de Tempo (T) Ganho (K) 
Método 1 
 
 
Método 2 
 
 
Método 3 
 
 
Tabela 6.2: Parâmetros das funções de transferencias aproximadas utilizando os métodos apresentados. 
 
 
 
Determine o ajuste do controlador (P, PI e PID), empregando a Tabela 6.1, para o sistema de 
controle apresentado na Fig. 6.18 . O process o G(s) é definido pela equação 6.13 e.os parâmetros do 
sistema aproximado são apresentados na tabela 6.2. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.6.18: Sistema de controle em malha-fechada. 
 
Sintonia de Controladores PID - Sensibilidade Limiar 
 
Para empregar diretamente esse método de Ziegler-Nichols no ajuste dos ganhos do controlador PID 
é utilizado a representação do controlador PID apresentada na equação 6.14. 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
×+
×
+×= sT
sT
KsPID d
i
1
1)( (6.14) 
 
onde K é o ganho do controlador, Ti é a constante de tempo do modo integral e Td é a constante de tempo 
do modo derivativo. 
O método de Ziegler-Nichols consistem em ajustar um ganho Kcr de maneira que o sistema apresente 
uma oscilação sustentada na saída para um sinal de referencia do tipo degrau. O diagrama de blocos para 
realizar este teste é apresentado na Fig. 6.19. Obtendo o valor de ganho critico e o período da oscilação do 
sinal de saída emprega-se a tabela 6.3 para encontrar os ganhos do controlador. 
 KCR G(s) 
H(s) 
+
-
PCR
 
Fig. 6.19: Diagrama de blocos para identificar o ganho crítico e o período critico. 
+ 
 _ Controlador G(S) 
ref(t) e(t) u(t) y(t) 
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Tipo Controlador Kp Ti Td 
P 0.5*Kcr ¥ 0 
PI 0.45*Kcr (1/1.2)*Pcr 0 
PID 0.6*Kcr 0.5*Pcr 0.125*Pcr 
 
Tabela 6.3 : Método da Sensibilidade Limiar de Ziegler-Nichols para ajuste de PID. 
 
Para empregar este método o sistema deve ser capaz de instabilizar com o aumento do ganho. Um 
sistema que é naturalmente estável para qualquer ganho positivo não pode produzir uma oscilação sem 
amortecimento no sinal de saída. 
O procedimento para encontrar o ganho critico e o período critico é experimental, não há 
necessidade do conhecimento explicito da função de transferencia do sistema, basta conhecer sua resposta 
em freqüência. Entretanto, conhecida a função de transferencia do processo pode ser utilizado o critério de 
Routh para avaliar a estabilidade. 
Os valores encontrados de ganho não garantem uma característica de resposta temporal 
predeterminada, apenas indica uma região de operação favorável. Deve ser feito um ajuste manual em cada 
ganho para obter a característica de resposta desejada. 
 
Problemas 
 
1. Um dado sistema de controle apresenta na Figura 6.20, com a função de transferência do processo 
G(s) dada pela equação 6.15. Determine: 
 
i. Emp regar o método de ajuste de controladores– Ziegler-Nichols - para determinação dos ganhos 
dos controladores P, PI e PID; 
ii. Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobre-sinal, erro de regime e tempo de 
estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional com o ganho 
ajustado no item i. Como é possível melhorar a performance deste sistema de controle? Justifique 
sua resposta. 
iii. Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobre-sinal, erro de regime e tempo de 
estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional e integral ( PI ) 
com os ganhos ajustados no item i. Como é possível melhorar a performance deste sistema de 
controle? Justifique sua resposta. 
iv. Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobre-sinal, erro de regime e tempo de 
estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional, integral e 
derivativo ( PID ) com os ganhos ajustados no item i. Como é possível melhorar a performance 
deste sistema de controle? Justifique sua resposta. 
 
+
-
G(s)Controlador
R(s) Y(s)E(s) U(s)
 
 
Fig. 6.20: Sistema de controle 
 
)100s)(36s(s
K
)s(G
++
= (6.15) 
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2. Um dado sistema de controle apresenta as seguintes curvas de resposta em freqüência : 
 
i. Empregar o método de ajuste de controladores exposto em aula – Ziegler-Nichols - para 
determinação dos ganhos do controlador PID; 
ii. Desenhar o diagrama de blocos do sistema operando apenas com o controlador PD 
(Proporcional e Derivativo), ressaltando o controlador e o processo; 
iii. Esquematizar o diagrama de blocos do controlador PD, com os blocos relativos a cada uma 
das ações, Proporcional e Derivativa; 
iv. Esboçar o sinal de saída de cada um destes blocos (bloco proporcional e bloco derivativo), 
admitindo como sinal de referência um degrau de amplitude unitária. 
v. Com base no diagrama de bode do sistema, porque não é necessário empregar a ação integral 
do controlador PID para que este sistema siga um sinal de referência do tipo degrau com erro 
de regime permanente nulo. 
 
Fig. 6.21: Resposta em freqüência de um sistema de controle. 
 
Bibliografia 
 
[1] Aströn, K. J., Hägglund, T., “PID Control”, The Control Handbook, IEEE Press,1996. 
[2] Aströn, K. J., Hägglund. T., “PID Controllers, Theory, Design and Tuning”, 2º Edition, Instrument 
Society of America, 1995. 
[3] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing. 
[4] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison -Wesley Publishing Company, Second Edition. 
[5] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems , Addison-Wesley 
Publishing Company. 
[6] Dorf, R.C. & Bishop, R.H., Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company. 
[7] Ziegler, J.G. and Nichols, B.N., “Optimum Settings for Automatic Controllers” , Transactions of the 
ASME, Vol.64, n ° 11, Nov.1942