C3 Semana 1 módulo 1 gabarito

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Gabarito
Parte A
1. v = 2i+ 2
√
3j
2. Respostas
(a) cos θ =
1√
1716
(b) cos θ =
6
13
(c) cos θ =
4
7
√
10
3. Respostas
(a) projba = − 1
11
(1, 1, 3)
(b) projba = − 3
21
(4, 1,−2)
(c) Os vetores são perpendiculares.
4. Respostas
(a) Nenhum deles
(b) Ortogonais
(c) Paralelos
(d) Nenhum deles
5. Respostas
(a) (12,−14, 24)
(b) (3, 12, 6)
(c) 3
Parte B
1. Basta verificar se (P −Q) · (P −R) = 0.
2. Sendo AB um diâmetro da esfera, então, fazendo A = (x0, y0, z0), tem-se que B = −(x0, y0, z0). Definindo
um ponto P , qualquer, sobre a esfera como P = (x1, y1, z1), deve-se mostrar que (P−A) · (P−B) = 0. Com
efeito, (P−A) · (P−B) = (x21−x20)+ (y21 − y20)+ (z21 − z20) = (x21+ y21 + z21)− (x20+ y20 + z20). Como os pontos
A, B e P são pontos sobre a esfera de raio r e centro na origem, então x21 + y21 + z21 = r2 e x20 + y20 + z20 = r2.
Portanto, (P−A) · (P−B) = (x21 + y21 + z21)− (x20 + y20 + z20) = r2 − r2 = 0.
3. Dado um ponto sobre a reta P0(x0, y0), a distância entre o ponto P1(x1, y1) e a reta ax + by + c = 0 é dada
pelo módulo da projeção do vetor diferença P1−P0 sobre o vetor que é normal a reta. O vetor normal a reta
é n = (a, b), assim
d =
|(P1 − P0) · n|
|n|
=
|ax1 + by1 + c|√
a2 + b2
.
4. O produto escalar triplo a · (b× c) fornece o volume do sólido formado pelos vetores a, b e c. Se o volume é
nulo, então os vetores são coplanares.
4
5. Respostas
(a) d =
√
282/
√
11
(b) d =
√
2036/
√
102
6. Como a× b = a× c, então a× (b− c) = 0. Ou seja, a ‖ (b− c). Portanto, b = c+ ka, em que k ∈ R.
7. A =
|a× b|
2
8. Basta usar as componentes do vetores v,w e s e calcular os produtos vetoriais.
9. Aplicação direta da fórmula do exercício anterior.
5