C3 Semana 2 módulo 2

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Lista de Exercícios de Cálculo 3
Segunda Semana - 01/2016
Parte A
1. Se l tem equações paramétricas x = 5− 3t, y = −2+ t, z = 1+9t, ache as equações paramétricas da reta que
passa por P (−6, 4,−3) e é paralela a l.
2. Ache equações paramétricas da reta que passam pelo ponto P (4,−1, 0) e é paralela à reta que passa pelos
pontos P1(−3, 9,−2) e P2(5, 7,−3).
3. Determine as equações paraméticas e simétricas da retas que verificam as condições dadas abaixo:
(a) Passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 3).
(b) Passa pelo ponto (2, 1, 0) e é perpendicular aos vetores i+ j e j+ k.
(c) Passa pelo ponto (1,−1, 1) e é paralela a reta x+ 2 = 12y = z − 3.
4. Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(a) Passa pelo ponto P (−11, 4,−2) e tem vetor normal a = 6i− 5j− k.
(b) Passa pelo ponto P (2, 5,−6) e é paralelo ao plano 3x− y + 2z = 10.
(c) Passa pela origem e pelos pontos P (0, 2, 5) e Q(1, 4, 0).
(d) Passa pelo ponto (1, 2, 3) e contém a reta r(t) = (0, 1, 2) + t(3, 1,−1).
(e) Passa pelo ponto (−1, 2, 1) e contém a reta de intersecção entre os plano x+ y− z = 2 e 2x− y+3z = 1.
5. (a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo
entre os planos.
(a) x+ y + z = 1 e x+ 2y + 2z = 1
(b) 3x− 2y + z = 1 e 2x+ y − 3z = 3
6. Trace a curva C definida por r(t), indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a) r(t) = etcos(t)i+ etsen(t)j, 0 ≤ t ≤ pi
(b) r(t) = a(t− sin t)i+ a(1− cos t)j, 0 ≤ t ≤ 2pi (ciclóide)
(c) r(t) = 2ti+ 4sen(3t)j+ 4cos(3t)k, 0 ≤ t ≤ 2pi
7. Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva dada nos pontos especificados.
(a) r(t) = ti+ e−tj+ (2t− t2)k no ponto (0, 1, 0)
(b) r(t) = 2 cos ti+ 2 sin tj+ 4 cos(2t)k no ponto (
√
3, 1, 2)
(c) r(t) = t cos ti+ tj+ t sin tk no ponto (−pi, pi, 0)
8. Determine o comprimento das curvas.
(a) r(t) = (1, t2, t3) com t ∈ [0, 1]
(b) r(t) = (12t, 8t3/2, 3t2) com t ∈ [0, 1]
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Parte B
1. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (0, 1, 2) que é paralela ao plano x+y+z = 2
e é perpendicular a reta r(t) = (1, 1, 2) + t(1,−1, 2).
2. A hélice r1(t) = cos(t)i+sin(t)j+ tk intersecta a curva r2(t) = (1+ t)i+ t2j+ t3k no ponto (1, 0, 0). Determine
o ângulo de interseção entre as curvas.
3. Mostre que a distância entre dois planos paralelos ax+ by + cz + d1 = 0 e ax+ by + cz + d2 = 0 é
D =
|d1 − d2|√
a2 + b2 + c2
.
4. Mostre que a curva r(t) = t cos(t)i+ t sin(t)j+ tk satisfaz a equação do cone z2 = x2+ y2 e use esse fato para
esboçar o traço da curva.
5. Mostre que a curva r(t) = sin(t)i + cos(t)j + sin2(t)k é a curva formada pela interseção entre as superfícies
z = x2 e x2 + y2 = 1 e use esse fato para esboçar o traço da curva.
6. Verifique as identidades, sem utilizar componentes de vetor
(a)
d
dt
‖u(t)‖2 = 2u(t) · u′(t)
(b)
d
dt
{u(t) · [u′(t)× u′′(t)]} = u(t) · [u′(t)× u′′′(t)]
Parte C
1. Encontre uma fórmula para a menor distância d entre duas retas reversas l1 e l2. (Obs.: Duas retas são
chamadas de reversas se não são paralelas nem se interceptam.)
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Resumo do Conteúdo
• Equação paramétrica da reta: é a equação da reta descrita em formato vetorial. Para determinar a equação
paramétrica só é necessário um ponto pelo qual a reta passa e a direção da mesma. Pode ser entendida como
uma generalização da equação da reta y = ax+ b para espaços de maior dimensão.
– Formato: a equação da reta paramétrica tem a forma r(t) = p + td, em que p e d são vetores (em R2
ou R3 ). O vetor p corresponde a um ponto por onde passa a reta e o vetor d é o vetor direção da reta;
– Equação simétrica da reta: dada uma reta paramétrica r(t) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) eliminando o parâ-
metro t desta equação obtem-se
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
, chamada de equação simétrica da reta;
– Segmento de reta entre dois pontos: dados os pontos p0 e p1, o segmento de reta entre eles é dado por
r(t) = (1− t)p0 + tp1 com 0 ≤ t ≤ 1;
• Equação do plano: diferentemente da equação da reta, que precisa de um ponto e uma direção, um plano
necessita de mais informação para ser descrito. Uma característica dos planos é que existe um vetor fora do
plano (chamado de vetor normal) que sempre é perpendicular a qualquer vetor dentro do plano.
– Formato: sejam n = (a, b, c) o vetor normal ao plano, p = (x, y, z) e p0 = (x0, y0, z0) dois pontos no plano,
então tem-se que n·(p−p0) = 0, isto é, a equação do plano é dada por a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0) = 0;
– Ângulo entre dois planos: sejam n1 e n2 os vetores normais a dois planos distintos, então o ângulo entre
os planos é dado por cos θ =
n1 · n2
|n1| |n2| ;
• Curvas paramétricas: é uma função que a cada t ∈ D ⊂ R associa um vetor r(t) ∈ R2 ou ∈ R3. Uma
curva paramétrica (no espaço tridimensional, por exemplo) pode ser entendida como sendo a trajetória de
uma partícula em movimento cuja posição no tempo t é x(t)i+ y(t)j+ z(t)k.
– Traço: é a trajetória descrita pela partícula;
– Vetor velocidade: r′(t) = x′(t)i+ y’(t)j (2d) ou r′(t) = x′(t)i+ y’(t)j+ z′(t)k (3d) (observação: o vetor
velocidade é tangente a curva);
– Curva regular: aquela em que r′(t) 6= 0 para todo t;
– Propriedade importante: se |r(t)| = constante, então r(t) · r′(t) = 0 (isto é, a curva é perpendicular ao
velocidade em cada ponto t);
– Comprimento do arco: s =
ˆ t1
t0
|r′(t)| dt;
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