Funções vetoriais de uma variável

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Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 1
Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel
1.5.1 - Introduc¸a˜o 1.5.4 - Domı´nio e imagem
1.5.2 - Curvas no plano 1.5.5 - Operac¸o˜es com func¸o˜es vetoriais
1.5.3 - Curvas no espac¸o
Veremos agora como se comportam func¸o˜es de uma varia´vel real a valores do Rn, mais particularmente
func¸o˜es de R no R2 e de R no R3. Tais func¸o˜es sa˜o chamadas func¸o˜es vetoriais, devido a` analogia que se pode
fazer entre o Rn e o espac¸o de vetories em n dimenso˜es. As imagens de tais func¸o˜es podem ser representadas
como curvas no plano e no espac¸o. O assunto tem importaˆncia para as cieˆncias econoˆmicas e da administrac¸a˜o,
principalmente no estudo de sistemas que dependem uns dos outros e que evoluem no tempo.
1.5.1 - Introduc¸a˜o
Muitas vezes, em cieˆncias econoˆmicas e da administrac¸a˜o, se estuda sistemas de dois ou mais fatores que
evoluem no tempo e que podem ou na˜o ter algo em comum.
a) Mercado Financeiro
Para exemplificar um desses sistemas, consideremos novamente o caso dos ı´ndices Dow Jones da Bolsa de
Valores de Nova Iorque e do Ibovespa da Bolsa de Valores de Sa˜o Paulo (duas figuras a seguir), visto no Cap´ıtulo
1.1. Vimos naquele cap´ıtulo que ambos os ı´ndices podem ser arranjados em pares ordenados do tipo (X,Y ),
onde X e´ o valor do ı´ndice Dow Jones em determinado instante de tempo (medido aqui em dias) e Y e´ o valor
do Ibovespa no mesmo instante de tempo.
Dia
Dow Jones
2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30
10.200
10.800
11.400
Dia
Ibovespa
2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30
4.500
4.900
5.300
Podemos considerar os vetores X e Y como
func¸o˜es de um tempo discreto t, de modo que X =
X(t) e Y = Y (t). O par ordenado (X,Y ) pode ser
considerado, enta˜o, como uma func¸a˜o que leva um
elemento do t ∈ R a um elemento (X(t), Y (t)) ∈ R2.
O conjunto desses pares ordenados e´, enta˜o, uma
func¸a˜o vetorial F (t) = (X(t), Y (t)).
Em geral, como e´ dif´ıcil representar uma func¸a˜o de
R em R2, e´ comum representarmos o conjunto de
pares ordenados F (t) = (X(t), Y (t)) em um plano
cartesiano, como e´ feito com os dados do ı´ndice Dow
Jones e do Ibovespa ao lado.
Dow Jones
Ibovespa
10.20010.40010.60010.80011.00011.20011.400
45.000
47.000
49.000
51.000
53.000
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Esse tipo de diagrama tem suas origens na f´ısica e costuma representar a trajeto´ria de uma part´ıcula no
plano como func¸a˜o do tempo. Observe que ha´ um sentido na curva que e´ desenhada, que vem da ordem inerente
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 2
a` varia´vel t.
b) Modelo predador-presa
Um outro exemplo, mais ligado a` a´rea da economia chamada Processos Dinaˆmicos, trata da relac¸a˜o entre
duas espe´cies, sendo uma predadora e a outra presa. Um exemplo seriam populac¸o˜es de raposas e de lebres
em uma floresta; outro exemplo e´ a relac¸a˜o de pescadores e peixes em uma determinada regia˜o. O gra´fico
a seguir mostra o desenvolvimento no tempo de duas populac¸o˜es desse tipo, sendo a populac¸a˜o da presa (x)
representada em vermelho e a populac¸a˜o dos predadores (y) representada em azul. Observe que um crescimento
inicial da populac¸a˜o da presa leva a um aumento da populac¸a˜o de predadroes que, quando sobe muito, faz com
que a populac¸a˜o da presa sofra uma queda. Isto acaba por levar as duas populac¸o˜es a um equil´ıbrio dinaˆmico,
em que cada uma sofre uma espe´cie de oscilac¸a˜o no tempo.
t
x, y
1 2 3 4 5 6 6 8 9
1
2
3
0 x
y
1 2
1
2
3
0
Ambas as populac¸o˜es sa˜o func¸o˜es do tempo (complexas demais para serem representadas algebricamente),
de modo que podemos definir uma func¸a˜o vetorial F (t) = (x(t), y(t)), cuja imagem e´ representada na segunda
figura acima. O comportamento quase circular do gra´fico x(t)× y(t) e´ t´ıpico de func¸o˜es quase trigonome´tricas,
como pode ser visto do gra´fico de ambas as func¸o˜es no tempo. Observe que podemos estabelecer um sentido
para a curva que representa a imagem de F (t), baseada no sentido em que t aumenta.
1.5.2 - Curvas no plano
Veremos agora alguns exemplos das func¸o˜es vetoriais F (t) = (x(t), y(t)), que sa˜o func¸o˜es de t ∈ R em
(x, y) ∈ R2, isto e´, F : R → R2, o que e´ representado na primeira figura abaixo.
b
x
y
x(t)
y(t)
R
F (t)
F
x
y
b
x(t1)
y(t1)
b
x(t0)
y(t0)
b
x(t2)
y(t2)
Conforme mudamos o valor de t, os valores F (t) = (x(t), y(t)) mudam, tambe´m, trac¸anco uma curva no
plano, como ilustrado na segunda figura acima. Veremos, a seguir, alguns exemplos de diferentes curvas no
plano resultantes das imagens de func¸o˜es vetoriais.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (1 + t, 1− t).
Soluc¸a˜o: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = 1 + t e y(t) = 1− t.
Depois, fazemos o gra´fico na figura ao lado.
t x(t) = 1 + t y(t) = 1− t
−2 −1 3
−1 0 2
0 1 1
1 2 0
2 3 −1
x
y
−1
0
1 2 3
−1
1
2
3b
b
b
b
b
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 3
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (t2, 1− t).
Soluc¸a˜o: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = t2 e y(t) = 1− t.
O gra´fico e´ feito ao lado.
t x(t) = t2 y(t) = 1− t
−2 4 3
−1 1 2
0 0 1
1 1 0
2 4 −1
x
y
−1
0
1 2 3 4
−1
1
2
3 b
b
b
b
b
Observe que o gra´fico da imagem de uma func¸a˜o F (t) na˜o esta´ necessariamente associado a uma func¸a˜o,
como pode-se ver no exemplo 2. Nesse exemplo, a para´bola que representa a imagem de F (t) na˜o e´ o gra´fico
de uma func¸a˜o y = y(x), pois associa duas imagens em y a um mesmo elemento do domı´nio em x.
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = ( cos t, sen t).
Soluc¸a˜o: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = cos t e y(t) = sen t. Os gra´ficos dos pontos da tabela e da
figura completa sa˜o feitos ao lado da tabela e representam uma circunfereˆncia de raio 1.
t x(t) = cos t y(t) = sen t
0 1 0
π/4
√
2/2 ≈ 0, 707 √2/2 ≈ 0, 707
π/2 0 1
3π/4 −√2/2 ≈ −0, 707 √2/2 ≈ 0, 707
π −1 0
5π/4 −√2/2 ≈ −0, 707 −√2/2 ≈ −0, 707
3π/2 0 −1
7π/4
√
2/2 ≈ 0, 707 −√2/2 ≈ −0, 707
x
y
−1 0 1
−1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
x
y
−1 0 1
−1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
Se tomarmos a func¸a˜o vetorial do exemplo 3, F (t) = ( cos t, sen t), escrevendo x(t) = cos t e y(t) = sen t,
podemos verificar que x2 + y2 = cos 2t+ sen 2t = 1, que e´ a equac¸a˜o alge´brica de uma circunfereˆncia de raio 1.
A Leitura Complementar 1.5.1 trata das equac¸o˜es alge´bricas de diversas curvas no plano.
Exemplo 4: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (2 e−0,2t cos t, 2 e−0,2t sen t).
Soluc¸a˜o: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = 2 e−0,2t cos t e y(t) = 2 e−0,2t sen t. O gra´fico dos pontos da
tabela e a figura completa sa˜o feitos ao lado da tabela e representam uma espiral decrescente.
t x(t) = 2 e−0,2t cos t y(t) = 2 e−0,2t sen t
0 2 0
π/4 1, 21 0, 60
π/2 0 0, 73
3π/4 −0, 88 0, 44
π −1, 07 0
5π/4 −0, 64 −0, 32
3π/2 0 −0, 39
7π/4 0, 47 −0, 24
x
y
−2 −1 0 1 2
−1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
Muitas outras figuras podem ser formadas por func¸o˜es vetoriais. A Leitura Complementar 1.5.1 mostra as
equac¸o˜es alge´bricas de algumas das figuras geome´tricas mais comuns e serve como uma revisa˜o da geometria
anal´ıtica geralmente ensinada no ensino me´dio. A Leitura Complementar 1.5.2 faz um estudo mais aprofundado
das curvas que podem ser obtidas por meio das imagens de func¸o˜es vetoriais.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais
de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 4
1.5.3 - Curvas no espac¸o
Veremos agora exemplos de func¸o˜es vetoriais F (t) = (x(t), y(t), z(t)), de t ∈ R em (x, y, z) ∈ R3, isto e´,
F : R → R3, o que e´ representado na primeira figura abaixo. Conforme mudamos o valor de t, os valores
F (t) = (x(t), y(t), z(t)) trac¸am uma curva no espac¸o, como ilustrado na segunda figura abaixo.
R
F
x y
z
x(t)
y(t)
z(t)
b F (t)
x y
z
bb
bb
bb
Veremos, a seguir, alguns exemplos de diferentes curvas no espac¸o resultantes das imagens de func¸o˜es
vetoriais.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (−2t+ 2, 2t− 1, t+ 1).
Soluc¸a˜o: a tabela abaixo ajuda a escolher alguns pontos da imagem de F (t), que e´ uma reta no espac¸o (figura ao
lado da tabela).
t x(t) = −2t+ 2 y(t) = 2t− 1 z(t) = t+ 1
0 2 −1 1
1 0 1 2
2 −2 3 3
x y
z
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
1.0
2.0
-1.0
-2.0
1.0
2.0
3.0
bb
bb
bb
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (2− 4, 5t+ t2, 2− 0, 25t2, 1, 5t− 0, 25t2).
Soluc¸a˜o: a tabela abaixo ajuda a escolher alguns pontos da imagem de F (t), que e´ uma para´bola no espac¸o (figura
ao lado da tabela).
t x(t) = 2− 4, 5t+ t2 y(t) = 2− 0, 25t2 z(t) = 5t− 0, 25t2
0 2 2 0
1 −1, 5 1, 75 1, 25
2 −3 1 2
3 −2, 5 −0, 25 2, 25
4 0 −2 2
x y
z
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
1.0
2.0
3.0
bb
bb
bb
bb
bb
Os gra´ficos representados nas figuras dos exemplos 1 e 2 sa˜o, respectivamente, uma reta e uma para´bola no
espac¸o. O gra´fico do pro´ximo exemplo e´ o de uma curva chamada he´lice.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 5
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (2 cos (3t), 2 sen (3t), t).
Soluc¸a˜o:
t x(t) = 2 cos (3t) y(t) = 2 sen (3t) z(t) = t
0 2 0 0
π/6 0 2 0, 124
π/3 −2 0 1, 047
π/2 0 −2 1, 571
2π/3 2 0 2, 049
5π/6 0 2 2, 618
π −2 0 3, 142
x y
z
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
1.0
2.0
3.0
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
De modo semelhante, muitas outras figuras podem ser obtidas por meio das imagens de func¸o˜es vetoriais de
R em R3. Tambe´m podemos definir func¸o˜es vetoriais F : R → Rn, pore´m na˜o e´ poss´ıvel visualizar os gra´ficos
das imagens de tais func¸o˜es.
Tambe´m e´ poss´ıvel definir func¸o˜es F (u, v) de dois paraˆmetros reais em Rn, ou seja, func¸o˜es de R2 em Rn,
ou mesmo func¸o˜es de Rm em Rn. Para func¸o˜es de R2 em R3, os gra´ficos de suas imagens sera˜o superf´ıcies no
espac¸o (Leitura Complementar 1.5.3, a ser escrita em uma futura versa˜o deste texto).
1.5.4 - Domı´nio e imagem
Uma func¸a˜o de uma varia´vel real no Rn na˜o precisa ser definida sobre todo o conjunto dos reais, mas
pode ser definida em um subconjunto D ⊂ R. Esse subconjunto e´ chamado domı´nio da func¸a˜o e o conjunto
{F (t) | t ∈ D} e´ a imagem de F . Por exemplo, uma func¸a˜o F (t) = ( cos t, sen t) pode ser definida sobre o
domı´nio R ou sobre D = [0, 2π]. A curva associada a` sua imagem sera´ uma circunfereˆncia de raio 1 para ambos
os casos. O pro´ximo exemplo trata de um caso de domı´nio limitado.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (
√
t, ln t), t ∈ R+
∗
= {x ∈ R | x > 0}.
Soluc¸a˜o: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) =
√
t e y(t) = ln t, usando duas casas decimais de precisa˜o.
O gra´fico e´ feito ao lado.
t x(t) =
√
t y(t) = ln t
0, 5 0, 71 −0, 69
1 1 0
2 1, 41 0, 69
3 1, 73 1, 10
4 2 1, 38
5 2, 24 1, 61
6 2, 45 1, 79
x
y
0
1 2 3 4
−1
1
2
b
b
b
b
b
b
b
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (
√
4− t2, t, t2).
Soluc¸a˜o: essa func¸a˜o so´ e´ definida para 4− t2 ≥ 0⇔ 4 ≥ t2 ⇔ −2 ≥ t ≥ 2. Uma tabela (com duas casas decimais
de precisa˜o) e um gra´fico sa˜o feitos a seguir.
t x(t) =
√
4− t2 y(t) = t z(t) = t2
−2 0 −2 4
−1 1, 73 −1 1
0 2 0 0
1 1, 73 1 1
2 0 2 4
x y
z
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0 1.0
2.0
3.0
4.0
bb
bb
bb
bb
bb
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 6
1.5.5 - Operac¸o˜es com func¸o˜es vetoriais
Como as imagens das func¸o˜es vetoriais podem ser definidas como conjuntos de elementos do Rn, podemos
efetuar entre elas as mesmas operac¸o˜es definidas para um elemento do Rn. As operac¸o˜es vistas nos cap´ıtulos
anteriores sa˜o a soma, o produto por um escalar e o produto interno, sendo que na Leitura Complementar 1.3.3
e´ visto tambe´m o produto vetorial. De modo semelhante, podemos fazer as definic¸o˜es a seguir.
Definic¸a˜o 1 - Dadas duas func¸o˜es F : D → Rn e G : D → Rn, onde D ⊂ R, a sua soma e´ definida
como F (t) +G(t) para todo t ∈ D.
Definic¸a˜o 2 - Dada uma func¸a˜o F : D → Rn, onde D ⊂ R, o seu produto por um escalar α ∈ R e´
definido como αF (t) para todo t ∈ D.
Definic¸a˜o 3 - Dadas duas func¸o˜es F : D → Rn e G : D → Rn, onde D ⊂ R, o seu produto interno e´
definido como 〈F (t), G(t)〉 para todo t ∈ D.
Exemplo 1: dadas F (t) = (2t,−1) e G(t) = (t2, 1 + t), calcule F (t) +G(t).
Soluc¸a˜o: F (t) +G(t) = (2t+ t2,−1 + 1 + t) = (2t+ t2, t).
Exemplo 2: dada F (t) = ( cos t,− sen t), calcule 2F (t).
Soluc¸a˜o: 2F (t) = (2 cos t,−2 sen t).
Exemplo 3: dadas F (t) = (1− t, t2) e G(t) = ( sen t, et), calcule 2F (t) − 3G(t).
Soluc¸a˜o: 2F (t)− 3G(t) = 2(1− t, t2)− 3( sen t, et) = (2− 2t, 2t2)− (3 sen t, 3 et) = (2− 2t− 3 sen t, 2t2 − 3 et).
Exemplo 4: dadas F (t) = (t,−1 + t) e G(t) = (t+ 1, 1− t2), calcule 〈F (t), G(t)〉.
Soluc¸a˜o: 〈F (t), G(t)〉 = t(t+ 1) + (−1 + t)(1− t2) = t2 + t− 1 + t2 + t− t3 = −1 + 2t+ 2t2 − t3.
Observac¸a˜o: o resultado do produto interno de duas func¸o˜es vetoriais e´ uma func¸a˜o escalar f : R → R.
Terminamos por aqui este cap´ıtulo. Veremos a seguir como implementar o ca´lculo diferencial a func¸o˜es
vetoriais, estabelecendo o conceito de limites e derivadas de curvas no plano e no espac¸o.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 7
Resumo
• Func¸a˜o vetorial. Uma func¸a˜o vetorial e´ uma func¸a˜o F : D → Rn, onde D ⊂ R e´ o domı´nio
da func¸a˜o. Ela tem esse nome porque associa a um nu´mero real pertencente ao seu domı´nio a um
elemento do Rn, que pode ser posto em analogia a um vetor.
• Curva no plano. Uma curva no plano pode ser definida em termos da imagem de uma func¸a˜o
vetorial F (t) de D em R2, onde D ⊂ R.
• Curva no espac¸o. Uma curva no espac¸o pode ser definida em termos da imagem de uma func¸a˜o
vetorial F (t) de D em R3, onde D ⊂ R.
• Soma de func¸o˜es vetoriais. Dadas duas func¸o˜es F : D → Rn e G : D → Rn, onde D ⊂ R, a sua
soma e´ definida como F (t) +G(t) para todo t ∈ D.
• Produto de uma func¸a˜o vetorial por um escalar. Dada uma func¸a˜o F : D → Rn, onde D ⊂ R,
o seu produto por um escalar α ∈ R e´ definido como αF (t) para todo t ∈ D.
• Produto interno de func¸o˜es vetoriais. Dadas duas func¸o˜es F : D → Rn e G : D → Rn, onde
D ⊂ R, o seu produto interno e´ definido como 〈F (t), G(t)〉 para todo t ∈ D.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 8
Leitura Complementar 1.5.1 - Equac¸o˜es alge´bricas
de curvas no plano
Esta leitura complementar trata do estudo das equac¸o˜es alge´bricas de algumas curvas no plano. Nos
restringiremos a`quelas curvas chamadas coˆnicas, que sa˜o curvas planas que podem ser escritas sob a forma
ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 .
Essas curvas incluem as para´bolas, as elipses e as hipe´rboles, que descreveremos depois em maiores detalhes.
Do ponto de vista geome´trico, que e´ o que os gregos antigos adotavam, coˆnicas sa˜o figuras que podem ser
conseguidas atrave´s do corte em diversos planos de um cone em treˆs dimenso˜es
(figuras a seguir). Essas figuras
sa˜o a circunfereˆncia, a elipse, a para´bola e a hipe´rbole.
x y
z
Circunfereˆncia
x y
z
Elipse
x y
z
Para´bola
x y
z
Hipe´rbole
Uma circunfereˆncia pode ser entendida como a intersecc¸a˜o do cone com um plano ortogonal ao eixo de
simetria do cone; uma elipse e´ obtida pela intersecc¸a˜o do cone com um plano que tenha uma inclinac¸a˜o menor
que o das paredes do cone; uma para´bola e´ a intersecc¸a˜o do cone com um plano que tenha a mesma inclinac¸a˜o
de suas paredes; uma hipe´rbole e´ a figura obtida (em dois ramos) da intersecc¸a˜o do cone com um plano que
tenha uma inclinac¸a˜o maior que a das paredes do cone.
Para que possamos entender melhor as formas quadra´ticas, revisaremos a seguir alguns conceitos impor-
tantes sobre essas curvas.
a) Para´bolas
Para´bolas sa˜o dadas por equac¸o˜es do tipo y = ax2 + bx+ c, onde a, b e c sa˜o constantes e a 6= 0.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da para´bola dada por y = x2 − x− 1.
Soluc¸a˜o:
x y
−2 5
−1 1
0 −1
1 −1
2 1 x
y
−2 −1 0 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 9
Para´bola vem do grego antigo παρα´βoλη, que significa comparac¸a˜o ou igualdade. Essa palavra
vem da junc¸a˜o de πα´ρα (“junto”) e βoλη´ (“lance”). Portanto, lanc¸ar junto. A explicac¸a˜o e´ que, na
geometria, ela corresponde a um corte de um cone precisamente no mesmo aˆngulo de inclinac¸a˜o do
cone. Na l´ıngua portuguesa e em diversas outras, para´bola tambe´m significa ilustrar algo por meio de
um exemplo similar, ou compara´vel, como nas para´bolas dos evangelhos.
b) Circunfereˆncias
A equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de raio r centrada
em um ponto (0, 0) e´ dada por
x2 + y2 = r2
(primeira figura ao lado).
A equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de raio r centrada
em um ponto (x0, y0) e´ dada por
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2 ,
onde o raio da circunfereˆncia e´ medido a partir do
ponto (x0, y0) (segunda figura ao lado).
x
y
0
r
x
y
0
by0
x0
r
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da circunfereˆncia
dada por x2 + y2 = 1.
Soluc¸a˜o: esta e´ uma circunfereˆncia de raio 1 cen-
trada em (0, 0).
x
y
−1 0 1
−1
1
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da circunfereˆncia
dada por (x− 1)2 + (y − 2)2 = 1.
Soluc¸a˜o: esta e´ uma circunfereˆncia de raio 1 cen-
trada em (1, 2).
x
y
0 1 2
1
2
3
b
Circunfereˆncia vem do latim circumferentia, de circum (“em torno de”) e ferre (“carregar”, “levar”);
portanto, significa “levar em volta”. O termo latino foi adaptado do grego πǫριϕǫ´ρǫια, periferia, de
πǫρι´ (“per´ı”) - a cerca de, em volta de - e de ϕǫ´ρω (“fe´ro”) - trazer, conduzir.
c) Elipses
A equac¸a˜o de uma elipse de eixo horizontal a e eixo
vertical b centrada em um ponto (x0, y0) e´ dada por
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1 .
x
y
0
by0
x0
a
b
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 10
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da elipse dada por
x2
9
+
y2
4
= 1.
Soluc¸a˜o: esta e´ uma elipse centrada em (0, 0)
com o eixo horizontal medindo 3 e o eixo vertical
medindo 2.
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−2
−1
1
2
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da elipse dada por
(x+ 2)2
1/4
+
(y + 1)2
4
= 1.
Soluc¸a˜o: esta e´ uma elipse centrada em (−2,−1)
com eixo horizontal 1
2
e eixo vertical 2.
x
y
−3 −2 −1 0
−3
−2
−1
1
b
Elipse vem do grego ǫ´λλǫιψη, “elipsi”, que significa “falta” ou careˆncia. Vem do fato da elipse ser
a intersecc¸a˜o do cone com um plano com um aˆngulo de inclinac¸a˜o menor que o das paredes do cone,
uma falta de inclinac¸a˜o em relac¸a˜o a este.
d) Hipe´rboles
Como hipe´rboles na˜o sa˜o ta˜o conhecidas quanto as outras coˆnicas, passaremos mais tempo estudando
essas curvas. E´ poss´ıvel descrever hipe´rboles centradas em (0, 0) por meio de duas equac¸o˜es, dependendo da
orientac¸a˜o dos focos:
x2
a2
− y
2
b2
= 1 , −x
2
a2
+
y2
b2
= 1 .
Veremos a seguir um procedimento de como fazer o gra´fico de uma hipe´rbole.
No caso de equac¸o˜es do tipo
x2
a2
− y
2
b2
= 1, seguimos os seguintes passos: primeiro, desenhamos um retaˆngulo
onde as extremidades horizontais encontram-se em x = −a e x = a e as extremidades verticais em y = −b e
y = b.
x
y
−b
b
0−a a x
y
−b
b
0−a a x
y
−b
b
0−a a
Depois, desenhamos duas retas: uma que passa pelos pontos (−a, b) e (0, 0) e outra que passa pelos pontos
(a, b) e (0, 0). Tendo essas retas, desenhamos hipe´rboles que va˜o se aproximando das retas conforme o mo´dulo
da varia´vel x aumenta. Essas retas sa˜o chamadas ass´ıntotas das hipe´rboles.
Um procedimento semelhante pode ser usado no caso das equac¸o˜es do tipo −x
2
a2
+
y2
b2
= 1. As figuras
seguintes ilustram os passos para o desenho da hipe´rbole.
x
y
−b
b
0−a a x
y
−b
b
0−a a x
y
−b
b
0−a a
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 11
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da hipe´rbole dada
por
x2
1
− y
2
4
= 1.
Soluc¸a˜o:
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da hipe´rbole dada
por −x
2
1
+
y2
4
= 1.
Soluc¸a˜o:
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
A generalizac¸a˜o para equac¸o˜es que descrevem hipe´rboles centradas em um ponto arbitra´rio (x0, y0) e´ feita
de modo semelhante ao das elipses:
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1 ou − (x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1 .
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da hipe´rbole dada
por
(x− 3)2
9
− (y − 2)
2
4
= 1.
Soluc¸a˜o:
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
Exemplo 4: fac¸a o gra´fico da hipe´rbole dada
por −(x+ 3)
2
9
+
(y − 4)2
4
= 1.
Soluc¸a˜o:
x
y
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
Hipe´rbole vem do grego υπǫρβoλη´ (ipervol´ı), que significa “excesso” ou “exagero”. A palavra υπǫ´ρ
(ipe´r) significa “ale´m” e e´ um prefixo utilizado em diversas palavras da nossa e de va´rias outras l´ınguas;
βoλη´ (vol´ı) significa “disparo” ou “alcance”. Vem do fato da hipe´rbole ser a intersecc¸a˜o entre o cone e
um plano com um aˆngulo de inclinac¸a˜o maior que o das paredes do cone, isto e´, um aˆngulo que vai
ale´m do das paredes do cone.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 12
Leitura Complementar 1.5.2 - Curvas no plano e
func¸o˜es vetoriais
No texto principal, vimos que o gra´fico da imagem de uma func¸a˜o vetorial F (t) = (x(t), y(t)) e´ uma curva
no plano. Veremos nesta leitura complementar diversos exemplos de tais curvas e estudaremos como elas se
relacionam a`s respectivas func¸o˜es vetoriais. Na˜o levaremos em conta aqui o sentido dado a uma curva pela
relac¸a˜o de ordem da varia´vel livre da func¸a˜o (a varia´vel t de F (t)).
a) Retas
Uma reta no plano corresponde a` imagem de func¸o˜es vetoriais onde as duas componentes sa˜o func¸o˜es de
primeiro grau do paraˆmetro, o que significa que elas sa˜o da forma F (t) = (x(t), y(t)), tais que
x(t) = x0 + x1t , y = y0 + y1t ,
onde x0, x1, y0 e y1 sa˜o constantes. A seguir, mostraremos exemplos dos gra´ficos produzidos por algumas
equac¸o˜es parame´tricas de retas.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = (t, t).
Soluc¸a˜o: para fazer o gra´fico de uma reta necessitamos somente de
dois pontos. Para isto, escolhemos valores para o paraˆmetro t e
calculamos os valores correspondentes das coordenadas x e y da
imagem da func¸a˜o F (t):
F (0) = (0, 0) e F (1) = (1, 1) .
O gra´fico e´ feito ao lado.
x
y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
b
b
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (t, 1 + t).
Soluc¸a˜o: F (0) = (0, 1) e F (1) = 1, 2).
x
y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
3
b
b
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) =
(
t,
1
2
t
)
.
Soluc¸a˜o: F (0) = (0, 0) e F (1) =
(
1,
1
2
)
.
x
y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
b
b
Exemplo 4: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = (t,−t).
Soluc¸a˜o: F (0) = (0, 0) e F (1) = (1,−1).
x
y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
b
b
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 13
b) Para´bolas
Para´bolas sa˜o as imagens de func¸o˜es vetoriais do tipo F (t) = (x(t), y(t)), tais que
x(t) = x0 + x1t+ x2t
2 e y(t) = y0 + y1t+ y2t
2 ,
onde x0, x1, x2, y0, y1 e y2 sa˜o constantes. Esta forma corresponde a para´bolas mais gerais que as vistas na
Leitura Complementar 1.5.1, pois agora elas na˜o precisam mais ser sime´tricas com relac¸a˜o ao eixo x ou ao eixo
y, como sera´ mostrado em alguns exemplos.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (t, t2).
Soluc¸a˜o: para desenharmos a para´bola, sera´ ne-
cessa´rio calcular um nu´mero maior de pontos, da-
dos pela tabela abaixo:
t x y
−2 −2 4
−1 −1 1
0 0 0
1 1 1
2 2 4
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
5
b
b
b
b
b
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (t, 1 + t2).
Soluc¸a˜o:
t x y
−2 −2 5
−1 −1 2
0 0 1
1 1 2
2 2 5
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
5
6
b
b
b
b
b
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (−2 + t, t2).
Soluc¸a˜o:
t x y
−2 −4 4
−1 −3 1
0 −2 0
1 −1 1
2 0 4
x
y
−4 −3 −2 −1 0 1
1
2
3
4
5
6
b
b
b
b
b
Exemplo 4: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (2 + t, 1 + t2).
Soluc¸a˜o:
t x y
−2 0 5
−1 1 2
0 2 1
1 3 2
2 4 5
x
y
1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
b
b
b
b
b
De modo geral, qualquer para´bola cujo eixo de simetria e´ paralelo ao eixo y pode ser representada pela
imagem de uma func¸a˜o do tipo F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0+x1t e y(t) = y0+y2t
2. A seguir, mostramos
exemplos de para´bolas cujo eixo de simetria e´ paralelo ao eixo x. Estas podem ser descritas pelas imagens de
func¸o˜es do tipo F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0 + x2t
2 e y(t) = y0 + y1t.
Exemplo 5: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (t2, t).
Soluc¸a˜o: escolhendo os valores t = −2, t = −1,
t = 0, t = 1 e t = 2, temos
t x y
−2 4 −2
−1 1 −1
0 0 0
1 1 1
2 4 2
x
y
0 1 2 3 4
−2
−1
1
2
b
b
b
b
b
Exemplo 6: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (−1 + 2t2, 1 + t).
Soluc¸a˜o:
t x y
−2 7 −1
−1 1 0
0 −1 1
1 1 2
2 7 3
x
y
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
b
b
b
b
b
Para os casos mais gerais, dados pelas imagens de func¸o˜es F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0 + x1t+ x2t
2 e
y(t) = y0 + y1t+ y2t
2, os eixos de simetria das para´bolas na˜o sa˜o mais necessariamente paralelos ao eixo x ou
ao eixo y, como mostrado nos exemplos a seguir.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 14
Exemplo 7: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = (1 + t+ t2, 2 + t− t2).
Soluc¸a˜o:
t x y
−2 3 −4
−1 1 0
0 1 2
1 3 2
2 7 0
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
b
b
b b
b
Exemplo 8: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = (−3− t+ 3t2,−3 + t+ t2).
Soluc¸a˜o:
t x y
−2 11 −1
−1 1 −3
0 −3 −3
1 −1 −1
2 7 3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140
−3
−2
−1
1
2
3
4
b
bb
b
b
c) Circunfereˆncias
A representac¸a˜o de circunfereˆncias esta´ associada a`s func¸o˜es trigonome´tricas. Uma circunfereˆncia no plano
pode ser descrita como o gra´fico da imagem de uma func¸a˜o vetorial F (t) = (x(t), y(t)), onde
x(t) = x0 + r cos t e y(t) = y0 + r sen t ,
sendo x0, x1 e r constantes. Esta forma corresponde a` equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de raio r centrada
no ponto (x0, y0). Uma circunfereˆncia de raio r centrada em (0, 0) e´ a imagem de uma func¸a˜o mais simples:
F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = r cos t e y(t) = r sen t. No caso geral de uma circunfereˆncia de raio r centrada
em (x0, y0), outra possibilidade e´ a imagem de F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0 + r sen t e y(t) = y0 + r cos t.
A seguir, sera˜o mostrados alguns exemplos de circunfereˆncias descritas por meio de func¸o˜es vetoriais.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = ( cos t, sen t).
Soluc¸a˜o: para desenharmos a circunfereˆncia, podemos escolher alguns valores para o paraˆmetro t de modo a montar
a tabela abaixo e depois usamos esses valores para fazer o gra´fico da curva.
t x y
0 1 0
π/4 1√
2
≈ 0, 707 1√
2
≈ 0, 707
π/2 0 1
3π/4 − 1√
2
≈ −0, 707 1√
2
≈ 0, 707
π −1 0
5π/4 − 1√
2
≈ −0, 707 − 1√
2
≈ −0, 707
3π/2 0 −1
7π/4 1√
2
≈ 0, 707 − 1√
2
≈ −0, 707
2π 1 0
x
y
−1 0 1
−1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
Como no caso das equac¸o˜es alge´bricas de circunfereˆncias, e´ mais fa´cil desenharmos a curva lendo os paraˆ-
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 15
metros (centro e raio) diretamente das func¸o˜es vetoriais das quais elas sa˜o as imagens. Isto e´ feito nos exemplos
a seguir.
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (2 cos t, 2 sen t)
Soluc¸a˜o: esta e´ uma circunfereˆncia de raio 2 cen-
trada em (0, 0).
x
y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (1 + cos t, 2 + sen t)
Soluc¸a˜o: esta e´ uma circunfereˆncia de raio 1 cen-
trada em (1, 2).
x
y
0 1 2
1
2
3
b
d) Elipses
Uma elipse no plano pode ser escrita como uma generalizac¸a˜o da imagem de uma circunfereˆncia e e´ dada
como a imagem de func¸o˜es do tipo F (t) = (x(t), y(t)), onde
x(t) = x0 + a cos t e y(t) = y0 + b sen t ,
sendo x0, x1, a e b constantes. Esta forma corresponde a` equac¸a˜o de uma elipse de semi-eixos a e b centrada
no ponto (x0, y0). Uma elipse centrada em (0, 0) e´ a imagem de uma func¸a˜o F (t) = (acos t, b sen t). Uma forma
mais geral de representac¸a˜o de elipse, onde os semi-eixos na˜o sa˜o paralelos aos eixos x ou y, pode ser dada
como a imagem de F (t) = (x(t), y(t)), onde
x(t) = x0 + a cos t+ b sen t e y(t) = y0 + c cos t+ d sen t ,
sendo x0, y0, a, b, c e d constantes.
A seguir, sera˜o mostrados alguns exemplos de elipses descritas pelas imagens de func¸o˜es vetoriais.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = (2 cos t, sen t).
Soluc¸a˜o: para desenharmos a elipse, podemos escolher alguns valores para o paraˆmetro t de modo a montar a
tabela abaixo e depois usamos esses valores para fazer o gra´fico da curva.
t x y
0 2 0
π/4 2√
2
≈ 1, 414 1√
2
≈ 0, 707
π/2 0 1
3π/4 − 2√
2
≈ −1, 414 1√
2
≈ 0, 707
π −2 0
5π/4 − 2√
2
≈ −1, 414 − 1√
2
≈ −0, 707
3π/2 0 −1
7π/4 2√
2
≈ 1, 414 − 1√
2
≈ −0, 707
2π 2 0
x
y
−2 −1 0 1 2
−1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
Podemos tambe´m desenhar as elipses lendo os dados diretamente das func¸o˜es vetoriais das quais elas sa˜o
as imagens, como nos exemplos seguintes.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 16
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = ( cos t, 2 sen t).
Soluc¸a˜o:
x
y
−1 0 1
−2
−1
1
2
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (2 + 2 cos t, 1 + sen t).
Soluc¸a˜o:
x
y
0 1 2 3 4
1
2
b
Os pro´ximos dois exemplos ilustram o caso mais geral, em que os semi-eixos
na˜o precisam ser paralelos
aos eixos coordenados. Nesse caso, na˜o podemos ler a forma da elipse direto das equac¸o˜es parame´tricas. Para
desenhar as curvas, calculamos alguns dos pontos dessas usando as func¸o˜es vetoriais das quais sa˜o imagens.
Exemplo 4: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = ( cos t+ sen t, cos t).
Soluc¸a˜o: atribuindo alguns valores para t, montamos uma tabela e depois trac¸amos o gra´fico.
t x y
0 1 1
π/6 ≈ 1, 366 ≈ 0, 866
π/3 ≈ 1, 366 0, 5
π/2 1 0
2π/3 ≈ 0, 366 −0, 5
5π/6 ≈ −0, 366 ≈ −0, 866
π −1 −1
7π/6 ≈ −1, 366 ≈ −0, 866
4π/3 ≈ −1, 366 −0, 5
3π/2 −1 0
5π/3 ≈ −0, 366 0, 5
11π/6 ≈ 0, 123 ≈ 0, 866
2π 1 1
x
y
−2 −1 0 1 2
−1
1 b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x
y
−2 −1 0 1 2
−1
1
Exemplo 5: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = (1 + cos t, cos t− sen t).
Soluc¸a˜o:
t x y
0 2 2
π/6 ≈ 1, 866 ≈ 1, 232
π/3 1, 5 ≈ 0, 134
π/2 1 −1
2π/3 0, 5 ≈ −1, 866
5π/6 ≈ 0, 134 ≈ −2, 232
π 0 −2
7π/6 ≈ 0, 134 ≈ −1, 232
4π/3 0, 5 ≈ −0, 134
3π/2 1 1
5π/3 1, 5 ≈ 1, 866
11π/6 ≈ 1, 866 ≈ 2, 232
2π 2 2
x
y
0 1 2
−2
−1
1
2 b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x
y
0 1 2
−2
−1
1
2
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 17
Existem dois casos particulares em que a curva obtida e´ uma circunfereˆncia (lembre que uma circunfereˆncia
e´ um caso particular de elipse). Eles sa˜o dados por
F (t) = (x0 + a cos t+ b sen t, y0 + b cos t− a sen t) ou F (t) = x0 + a cos t+ b sen t, y0 − b cos t+ a sen t) ,
onde a e b sa˜o constantes. Ambas as func¸o˜es determinam uma circunfereˆncia de raio
√
a2 + b2 centrada em
(x0, y0).
Exemplo 6: fac¸a o gra´fico da imagem de F (t) = (1 + cos t+ 2 sen t,−1 + 2 cos t− sen t).
Soluc¸a˜o: esta e´ uma circunfereˆncia de raio r =
√
12 + 22 =
√
1 + 4 =
√
5 centrada em (1,−1).
t x y
0 2 1
π/6 ≈ 2, 866 ≈ 0, 232
π/3 ≈ 3, 232 ≈ −0, 866
π/2 3 −2
2π/3 ≈ 2, 232 ≈ −2, 866
5π/6 ≈ 1, 134 ≈ −3, 232
π 0 −3
7π/6 ≈ −0, 866 ≈ −2, 232
4π/3 ≈ −1, 232 ≈ −1, 134
3π/2 −1 0
5π/3 ≈ −0, 232 ≈ 0, 866
11π/6 ≈ 0, 866 ≈ 1, 232
2π 2 1
x
y
0−1 1 2 3
−3
−2
−1
1 b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x
y
0−1 1 2 3
−3
−2
−1
1
b
e) Hipe´rboles
As func¸o˜es vetoriais cujas imagens sa˜o hipe´rboles no plano podem ser escritas de uma forma semelhante a`s
que geram elipses. No entanto, utilizamos agora o seno hiperbo´lico ( senh t) e o cosseno hiperbo´lico ( cosh t),
definidos como
cosh t =
1
2
( et + e−t) e senh t =
1
2
( et − e−t) .
O seno e o cosseno hiperbo´licos teˆm a seguinte propriedade: cosh 2t− senh 2t = 1.
Essas duas func¸o˜es teˆm suas origens e nomes ligados a` parametrizac¸a˜o da hipe´rbole. Em termos dessas
duas func¸o˜es, hipe´rboles podem ser vistas como as imagens de F (t) = (x(t), y(t)), onde
x(t) = x0 + a cosh t e y(t) = y0 + b senh t ,
onde x0, x1, a e b sa˜o constantes. A imagem dessa func¸a˜o corresponde a` equac¸a˜o de metade de uma hipe´rbole
centrada no ponto (x0, y0) cujo eixo de simetria e´ paralelo ao eixo y. Para descrever a outra metade, precisamos
de outra equac¸a˜o.
Hipe´rboles centradas em x0, y0 cujos eixos de simetria sa˜o paralelos ao eixo x sa˜o dadas por
F (t) = (x0 + a senh t, y0 + b cosh t) e F (t) = (−a senh t, y0 − b cosh t) .
Hipe´rboles mais gerais, onde os semi-eixos na˜o sa˜o paralelos aos eixos x ou y sa˜o imagens de func¸o˜es
F (t) = (x0+acosh t+ b senht, y0+ ccosh t+dsenht) e F (t) = (x0−acosh t− b senht, y0− ccosh t−dsenh t) ,
onde x0, y0, a, b, c e d sa˜o constantes.
A seguir, sera˜o mostrados alguns exemplos de hipe´rboles descritas como imagens de func¸o˜es vetoriais.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da hipe´rbole dada por F (t) = ( cosh t, senh t) e F (t) = (− cosh t,− senh t).
Soluc¸a˜o: para desenharmos a hipe´rbole, podemos escolher alguns valores para o paraˆmetro t de modo a montar as
tabelas abaixo e depois usamos esses valores para fazer o gra´fico da curva.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 18
t x y
−2 ≈ 3, 762 ≈ −3, 627
−1, 5 ≈ 2, 352 ≈ −2, 129
−1 ≈ 1, 543 ≈ −1, 175
−0, 5 ≈ 1, 128 ≈ −0, 521
0 1 0
0, 5 ≈ 1, 128 ≈ 0, 521
1 ≈ 1, 543 ≈ 1, 175
1, 5 ≈ 2, 352 ≈ 2, 129
2 ≈ 3, 762 ≈ 3, 762
t x y
−2 ≈ −3, 762 ≈ 3, 627
−1, 5 ≈ −2, 352 ≈ 2, 129
−1 ≈ −1, 543 ≈ 1, 175
−0, 5 ≈ −1, 128 ≈ 0, 521
0 −1 0
0, 5 ≈ −1, 128 ≈ −0, 521
1 ≈ −1, 543 ≈ −1, 175
1, 5 ≈ −2, 352 ≈ −2, 129
2 ≈ −3, 762 ≈ −3, 762
x
y
−4 −3 −2 −1
0
1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
Podemos tambe´m desenhar as hipe´rboles lendo os dados diretamente das func¸o˜es vetoriais e utilizando a
te´cnica aprendida na Leitura Complementar 1.5.1 de desenhar as ass´ıntotas. Isto e´ mostrado nos exemplos a
seguir.
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico das imagens de
F (t) = ( cosh t, 2 senh t) e
F (t) = (− cosh t,−2 senh t).
Soluc¸a˜o: vamos utilizar a te´cnica de desenhar as
ass´ıntotas para depois esboc¸ar a hipe´rbole.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico das imagens de
F (t) = ( senh t, 2 cosh t) e
F (t) = (− senh t,−2 cosh t).
Soluc¸a˜o:
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
Exemplo 4: fac¸a o gra´fico das imagens de F (t) = (3+3cosh t, 2+2senh t) e F (t) = (3−3cosh t, 2−2senh t).
Soluc¸a˜o: o centro da hipe´rbole e´ o ponto (3, 2).
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
O pro´ximo exemplo ilustra o caso mais geral, em que os semi-eixos na˜o precisam ser paralelos aos eixos
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 19
coordenados. Nesse caso, na˜o podemos ler a forma da hipe´rbole diretamente das func¸o˜es vetoriais. Para
desenhar as curvas, calculamos alguns dos pontos desta usando essas func¸o˜es.
Exemplo 5: fac¸a o gra´fico das imagens de F (t) = (cosh t+ senht, senht) e F (t) = (−cosht− senht,−senht).
Soluc¸a˜o: primeiro, montamos as tabelas abaixo e depois usamos esses valores para fazer o gra´fico da curva.
t x y
−2 ≈ 0, 135 ≈ −3, 627
−1, 5 ≈ 0, 223 ≈ −2, 129
−1 ≈ 0, 368 ≈ −1, 175
−0, 5 ≈ 0, 606 ≈ −0, 521
0 1 0
0, 5 ≈ 1, 649 ≈ 0, 521
1 ≈ 2, 718 ≈ 1, 175
1, 5 ≈ 4, 482 ≈ 2, 129
2 ≈ 7, 389 ≈ 3, 762
t x y
−2 ≈ −0, 135 ≈ 3, 627
−1, 5 ≈ −0, 223 ≈ 2, 129
−1 ≈ −0, 368 ≈ 1, 175
−0, 5 ≈ −0, 606 ≈ 0, 521
0 −1 0
0, 5 ≈ −1, 649 ≈ −0, 521
1 ≈ −2, 718 ≈ −1, 175
1, 5 ≈ −4, 482 ≈ −2, 129
2 ≈ −7, 389 ≈ −3, 762
x
y
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
f) Curvas finitas
Todas as curvas estudadas ate´ agora sa˜o infinitas. Isto e´ porque estmos tomando os paraˆmetros t de
cada curva como indo de −∞ a ∞. No entanto, podemos gerar curvas finitas tomando valores finitos para o
paraˆmetro t. A seguir, veremos alguns exemplos da parametrizac¸a˜o de curvas finitas.
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (t, t), onde 0 ≤ t ≤ 2.
Soluc¸a˜o:
x
y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
b
b
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (−2 + t, t2), onde t ≥ −3.
Soluc¸a˜o:
x
y
−4 −3 −2 −1 0 1
1
2
3
4
5
6
b
b
b
b
Observac¸a˜o: a curva descrita no exemplo 2 na˜o e´ finita, pois ela vai do ponto (−3, 1) ate´ o infinito.
Temos que salientar que as curvas descritas acima na˜o sa˜o retas nem para´bolas. Podemos chamar a curva do
exemplo 1 de semi-reta ou segmento de reta e a` curva d exemplo 2 de semi-para´bola ou segmento de para´bola.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 20
.
Exemplo 3: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = (1 + cos t, 2 + sen t), onde 0 ≤ t ≤ pi
2
.
Soluc¸a˜o: esta e´ uma semicircunfereˆncia de raio 1
centrada em (1, 2).
x
y
0 1 2
1
2
3
b
Exemplo 4: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = ( cos t, 2 sen t), onde pi
4
≤ t5pi
4
.
Soluc¸a˜o:
x
y
−1 0 1
−2
−1
1
2
No caso de curvas finitas baseadas em hipe´rboles, podemos escolher curvas que sa˜o imagens de uma ou duas
func¸o˜es vetoriais, como nos exemplos a seguir.
Exemplo 5: fac¸a o gra´fico das imagens de
F (t) = ( cosh t, 2 senh t) e
F (t) = (−cosht,−2senht), onde −2 ≤ t ≤ 1.
Soluc¸a˜o:
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
Exemplo 6: fac¸a o gra´fico da imagem de
F (t) = ( senh t, 2 cosh t), onde 0 ≤ t < 2.
Soluc¸a˜o:
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
bc
Note que no exemplo 6 o intervalo do paraˆmetro t e´ aberto em t = 2, o que e´ representado no gra´fico por
uma bola aberta.
g) Outras curvas
O uso de func¸o˜es vetoriais torna poss´ıvel escrever outras curvas cujas formas alge´bricas sa˜o muito compli-
cadas. Veremos agora algumas dessas curvas em termos de exemplos. Um tipo de curva que pode ser obtido
como sendo a imagem de uma func¸a˜o do tipo F (t) = (at cos t, bt sen t) e´ a espiral, como mostram os dois
pro´ximos exemplos.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 21
Exemplo 1: desenhe a imagem de
F (t) = (t cos t, sen t).
Soluc¸a˜o: associando valores ao paraˆmetro t, che-
gamos a` figura abaixo.
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
Exemplo 2: desenhe a imagem de
F (t) = (t cos t, sen t), t ≥ 0.
Soluc¸a˜o:
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
Embora a figura do exemplo 1 acima na˜o seja muito conhecida, se tomarmos somente t ≥ 0 obtemos uma
espiral, como a figura do exemplo 2.
Outra figura interessante e´ a ciclo´ide, que e´ o caminho seguido por um ponto que se encontra na borda de
uma circunfereˆncia quando esta rola por um plano, como a trajeto´ria de um prego preso a` roda de um carro.
Tal func¸a˜o pode ser descrita pela imagem de func¸o˜es vetoriais do tipo F (t) = (at− a sen t, a− a cos t), onde a
e´ uma constante que representa o raio da roda que esta´ sendo girada (figura abaixo).
b
b
b
b
Desenhamos a seguir mais uma curva, que e´ a imagem de um func¸a˜o envolvendo poteˆncias de func¸o˜es
triginome´tricas.
Exemplo 3: desenhe a curva dada pelas equac¸o˜es parame´tricas F (t) = ( cos 3t, sen 3t).
Soluc¸a˜o:
x
y
−1 0 1
−1
1
Va´rias outras curvas podem ser expressas como imagens de func¸o˜es vetoriais, mas na˜o sera˜o vistas aqui.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 22
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 1.5
Nı´vel 1
Curvas no plano
Exemplo 1: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (2 cos t, sen t).
Soluc¸a˜o: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = 2 cos t e y(t) = sen t. O gra´fico da imagem dessa func¸a˜o e´
feito ao lado da tabela e corresponde a uma elipse de semieixo horizontal 2 e semieixo vertical 1.
t x(t) = 2 cos t y(t) = sen t
0 2 0
π/4
√
2 ≈ 1, 414 √2/2 ≈ 0, 707
π/2 0 1
3π/4 −√2 ≈ −1, 414 √2/2 ≈ 0, 707
π −2 0
5π/4 −√2 ≈ −1, 414 −√2/2 ≈ −0, 707
3π/2 0 −1
7π/4
√
2 ≈ 1, 414 −√2/2 ≈ −0, 707
x
y
−2 −1 0 1 2
−1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
E1) Fac¸a os gra´ficos das imagens das seguintes func¸o˜es:
a) F (t) = (2 + t, 1− t). b) F (t) = (t, 1− t2). c) F (t) = (t2, 1− t). d) F (t) = (1 + t2, 1− t2).
e) F (t) = (2 cos t, 2 sen t). f) F (t) = (2 sen t, 2 cos t). g) F (t) = ( cos t, 2 sen t).
h) F (t) = (2 + cos t, 1 + 2 sen t).
Curvas no espac¸o
Exemplo 2: fac¸a o gra´fico da imagem da func¸a˜o F (t) = (0, 5t cos (3t), 0, 5t sen (3t), t).
Soluc¸a˜o:
t x(t) = 0, 5t cos (3t) y(t) = 0, 5t sen (3t) z(t) = t
0 0 0 0
π/6 0 0, 262 0, 524
π/3 −0, 524 0 1, 047
π/2 0 −0, 785 1, 571
2π/3 1, 047 0 2, 049
5π/6 0 1, 309 2, 618
π −1, 571 0 3, 142
x y
z
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
1.0
2.0
3.0
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
E2) Fac¸a os gra´ficos das imagens das seguintes func¸o˜es:
a) F (t) = (1 + 0, 5t, 1, 5t, 1 + t). b) F (t) = (2, t, t2).
c) F (t) = (3− 3t+ 2t2,−2− 3, 5t + 2, 5t2, 1 + 2, 5t − 0, 5t2). d) F (t) = ( cos t, sen t, 2).
e) F (t) = ( cos t, sen t, cos t− sen t). f) F (t) = (t, 2 sen (3t), 2 cos (3t)).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 23
Operac¸o˜es com func¸o˜es vetoriais
Exemplo 3: dadas F (t) = (1 + t, 2− t) e G(t) = (t2, 1− 2t), calcule F (t)−G(t) e 〈F (t), G(t)〉.
Soluc¸a˜o: F (t)−G(t) = (1 + t, 2− t)− (t2, 1− 2t) = (1 + t− t2, 1 + t) e 〈F (t), G(t)〉 = t2 + t3 + 2− 4t− t+ 4t2 =
= t3 + 5t2 − 5t+ 2.
E3) Dadas as func¸o˜es F (t) = (t, t− 1, 2), G(t) = (1 + t, t2,−t) e H(t) = (0,−1, t), calcule:
a) F (t) +G(t). b) 3G(t). c) 2F (t) +G(t)−H(t). d) 〈F (t),H(t)〉.
Nı´vel 2
E1) (Leitura Complementar 1.5.2) Fac¸a os gra´ficos das imagens das seguintes func¸o˜es vetoriais:
a) F (t) = (3 e−0,1t cos t, 3 e−0,1t sen t). b) F (t) = ( cosh t, senh t). c) F (t) = ( senh t, cosh t).
E2) Determine uma func¸a˜o vetorial cuja imagem seja uma reta que passe pelos pontos (1,−1, 2) e (2, 0, 4).
E3) Determine uma func¸a˜o vetorial cuja imagem seja uma para´bola que passe pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 2) e
(0, 1, 3).
E4) Uma reta pode ser representada pelas chamadas equac¸o˜es sime´tricas t =
x− 2
3
=
y + 1
2
=
z + 3
4
. Escreva
essa mesma reta como a imagem de uma func¸a˜o F (t).
E5) Calcule a intersecc¸a˜o entre as retas dadas pelas imagens das func¸o˜es F (t) = (3− t, t+ 1) e
G(t) = (−1 + 3t, 2t− 2).
E6) Calcule α tal que as retas dadas pelas imagens das func¸o˜es F (t) = (2 + t, 1− t) e G(t) = (1− αt, 3 + t) se
cruzem.
E7) Calcule α tal que as retas dadas pelas imagens das func¸o˜es F (t) = (3− t,−2 + t,−2− t) e
G(t) = (−8− 2t, α− 3t,−1− t) sejam ortogonais.
E8) (Leitura Complementar 1.5.2) Mostre que cosh 2t− senh 2t = 1.
Nı´vel 3
E1) Determine uma func¸a˜o vetorial cuja imagem seja uma elipse que passe pelos pontos (2,−1, 0), (0,−1, 3) e
(−2,−1, 0).
E2) Determine uma func¸a˜o vetorial cuja imagem seja uma elipse que passe pelos pontos (−1, 2, 1), (1, 0, 1) e
(1,−2,−1).
E3) Determine F (t) tal que sua imagem seja uma reta que passe pelo ponto (x0, y0, z0) e que seja paralela ao
vetor que representa o ponto V = (x1, y1, z1).
E4) Uma reta pode ser representada pelas chamadas equac¸o˜es sime´tricas t =
x− x0
x1
=
y − y0
y1
=
z − z0
z1
.
Mostre que esta forma equivale a` imagem da func¸a˜o F (t) = (x0 + x1t, y0 + y1t, z0 + z1t).
E5) Dadas as retas expressas como as imagens das func¸o˜es F (t) = (3− t,−2 + t,−2− t) e
G(t) = (−8− 2t,−11− 3t,−1− t), calcule o ponto em que elas se cruzam e o aˆngulo entre as duas.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 24
Respostas
Nı´vel 1
E1) a) x
y
0 1 2 3 4
−1
1
b) x
y
0
−1 1 2
−3
−2
−1
1
c) x
y
0 1 2 3 4
−1
1
d) x
y
0 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
e) x
y
−2 −1 0 1 2
−1
−2
1
2
f) x
y
−2 −1 0 1 2
−1
−2
1
2
g) x
y
−1 0 1
−1
−2
1
2
h) x
y
0 1 2 3 4
−1
1
2
3
E2) a)
x y
z
1.0
2.0
3.0
1.0
2.0
3.0
1.0
2.0
3.0
b)
x y
z
1.0
2.0
3.0
4.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 25
.
c)
x
y
z
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
1.0
2.0
3.0
4.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
1.0
2.0
3.0
4.0
d)
x y
z
1.0
-1.0
-2.0
1.0
-1.0
-2.0
1.0
2.0
e)
x y
z
1.0
-1.0
-2.0
1.0
-1.0
-2.0
1.0
-1.0
-2.0
f)
x
y
z
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
-1.0
1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0 1.0
2.0
-1.0
-2.0
-3.0
E3) a) F (t) +G(t) = (2t+ 1, t2 + t− 1,−t+ 2). b) 3G(t) = (3 + 3t, 3t2,−3t).
c) 2F (t) +G(t)−H(t) = (3t+ 1, t2 + 2t− 1,−2t+ 1). d) 〈F (t), H(t)〉 = t+ 1.
Nı´vel 2
E1) a) x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
b) x
y
1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
c) x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3
1
2
3
4
0
E2) Existem, na verdade, infinitas soluc¸o˜es poss´ıveis. Uma delas e´ F (t) = (t, t− 2, 2t), que e´ tal que F (1) = (1,−1, 2) e
F (2) = (2, 0, 4).
E3) Existem infinitas soluc¸o˜es poss´ıveis. Uma delas e´ F (t) = (1 − t2, t2, 2 + t), que e´ tal que F (−1) = (0, 1, 1), F (0) =
(1, 0, 2) e F (1) = (0, 1, 3).
E4) Se chamarmos t =
x− 2
3
=
y + 1
2
=
z + 3
4
, teremos F (t) = (2 + 3t,−1 + 2t,−3 + 4t).
E5) (2, 2). E6) α = 0. E7) α = −11.
E8) cosh 2t− senh 2t = 1
4
(
et + e−t
)2 − 1
4
(
et − e−t)2 = 1
4
(
e2t + 2 e0 + e−2t
)− 1
4
(
e2t − 2 e0 + e−2t) = 1
4
(2 + 2) = 1 .
Nı´vel 3
E1) Existem infinitas soluc¸o˜es poss´ıveis. Uma delas e´ F (t) = (2 cos t,−1, 3 sen t), que e´ tal que F (0) = (2,−1, 0),
F (π/2) = (0,−1, 3) e F (π) = (−2,−1, 0).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.5 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel - versa˜o 02/2009 26
E2) Existem infinitas soluc¸o˜es poss´ıveis. Uma delas e´ F (t) = ( sen t − cos t, 2 cos t, cos t + sen t), que e´ tal que
F (0) = (−1, 2, 1), F (π/2) = (1, 0, 1) e F (π) = (1,−2,−1).
E3) F (t) = (x0 + x1t, y0 + y1t, z0 + z1t).
E4) Se chamarmos t =
x− x0
x1
=
y − y0
y1
=
z − z0
z1
, teremos F (t) = (x0 + x1t, y0 + y1t, z0 + z1t).
E5) Elas se cruzam no ponto (5, 6, 3) e teˆm um aˆngulo de θ = arccos
16√
278
≈ 16o.