C3 Semana 4

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Lista de Exercícios de Cálculo 3
Quarta Semana - 01/2016
Parte A
1. Identifique e esboce as superfícies quádricas
(a) x2 + 4y2 + 9z2 = 1
(b) x2 − y2 + z2 = 1
(c) y = 2x2 + z2
(d) x = y2 − z2
(e) 4x2 − 16y2 + z2 = 16
(f) −x2 + 4y2 − z2 = 4
(g) x2 − y2 + z2 − 4x− 2y − 2z + 4 = 0
(h) 4y2 + z2 − x− 16y − 4z + 20 = 0
2. Dada a função f(x, y) = 5x2 + 7xy, calcule o valor das expressões
(a) f(3,−4)
(b) f(
√
a, b)
3. Dada a função f(x, y) = ln(x+ y − 1)
(a) Determine f(1, 1) e f(1, e)
(b) Esboce o domínio da função f
(c) Ache o contra-domínio da função f
4. Dada a função f(x, y, z) = e
√
z−x2−y2
(a) Determine f(2,−1, 6)
(b) Esboce o domínio da função f
(c) Ache o contra-domínio da função f
5. Esboce o domínio das funções
(a) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)
(b) f(x, y) =
√
y − x ln(x+ y)
(c) f(x, y) =
√
y − x2
1− x2
(d) g(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
(e) g(x, y, z) = arcsin(x2 − y2 + z2 − 2)
6. Descreva as curvas (ou superfícies) de nível das seguintes funções
(a) f(x, y) = y secx
1
(b) f(x, y) =
y
x2 + y2
(c) f(x, y) =
√
y2 − x2
(d) f(x, y) = (2x+ y)/(x2 − y2)
(e) g(x, y, z) = x2 − y2 + z2
(f) g(x, y, z) = 3 + x− y2 − z2
(g) g(x, y, z) = y2 + z2
7. Calcule os limites abaixo
(a) lim
(x,y)→(pi/2,1)
y + 1
2− cosx
(b) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4
x2 + (y − 1)2
8. Determine todos os pontos onde a função
f(x, y) =
x2
y − 1 ·
é descontínua.
9. Dada a função
f(x, y) =
4x2 − y2
2x− y ,
determine
(a) O domínio de f .
(b) O conjunto de pontos do domínio para os quais f é descontínua.
Parte B
1. Encontre o domínio da função
f(x, y) =
x4 − y4
x2 − y2 ·
2. Calcule os limites dados
(a) lim
(x,y,z)→(pi/3,1,pi)
secxy + sec yz
y − sec z
(b) lim
(x,y,z)→(2,3,1)
y2 − 4y + 3
x2z(y − 3)
3. Dada a função
f(x, y) =
x2y3
2x2 + y2
,
determine
(a) O domínio de f
(b) O conjunto de pontos do domínio para os quais f é descontínua
4. Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0, 0)
(a) f(x, y) =
{
xy
x2+xy+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
2
(b) f(x, y) =
{
x2y3
2x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
5. Dadas as funções f(x, y) = x2 − y2 e g(t) = (t2 − 4)/t, determine os pontos para os quais a função
h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua.
6. Dadas as funções f(x, y) = 1−xy
1+x2y2
e g(t) = t + ln(t), determine os pontos para os quais a função
h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua.
Parte C
1. Ache a equação da curva de nível de f(x, y) = y arctanx que contém o ponto P (1, 4).
2. Prove os seguintes limites
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x3y2
x2 + y2
→ 0
(b) lim
(x,y)→(0,0)
e−y(x3 + y3)
x2 + y2
→ 0
3. Mostre que os limites não existem
(a) lim
(x,y)→(0,0)
2x2 − y2
x2 + 2y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
y4
x4 + 3y4
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
3x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + 4y2
(e) lim
(x,y)→(0,0)
2xy
x2 + 2y2
4. Mostre, usando a definição de limites
(a) lim(x,y)→(2,1)(5x+ 3y) = 13
(b) lim(x,y)→(3,−1)(8− x2 + y2) = 0
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Resumo do Conteúdo
• Superfícies Quádricas: são superfícies que tem o formato Ax2 +By2 +Cz2 +Dxy +Eyz + Fxz +
Gx + Hy + Iz + J = 0, em que A, · · · , J são constantes reais, com pelo menos uma das constantes
A, B, · · · , F 6= 0.
– Esfera: (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = ρ2 com centro em (x0, y0, z0) e raio ρ;
– Elipsóide:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
+
(z − z0)2
c2
= 1 com centro em (x0, y0, z0);
– Parabolóide: z − z0= (x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
;
– Parabolóide Hiperbólico: z − z0= (y − y0)
2
b2
− (x− x0)
2
a2
;
– Cone:
(z − z0)2
c2
=
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
– Hiperbolóide de Uma Folha:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
− (z − z0)
2
c2
= 1 com centro em (x0, y0, z0);
– Hiperbolóide de Duas Folhas: −(x− x0)
2
a2
− (y − y0)
2
b2
+
(z − z0)2
c2
= 1 com centro em (x0, y0, z0);
• Domínio: dada uma função de duas variáveis f(x, y) seu domínio corresponde a todos os pontos
D ⊂ R2 em que a função está bem definida. Equivalentemente, o domínio de uma função g(x, y, z) de
três variáveis corresponde ao conjunto S ⊂ R3 em que a função g está bem definida.
– Exemplo: considerando f(x, y) =
cos(xy)
x− y , para que esta função esteja bem definida é fundamental
que o denominador da fração seja não nulo, isto é, para que ela esteja bem definida é necessário
que (x− y) 6= 0. Portanto, o domínio da função é o conjunto D = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}.
• Curvas/Superfícies de Nível: dada uma função de duas variáveis f(x, y), as curvas de nível
correspondem aos pontos no plano (x, y) no qual a função é igual uma constante real k, isto é,
Ck = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = k com k ∈ R}. Uma superfície de nível de uma função de três
variáveis g(x, y, z) corresponde aos pontos (x, y, z) no espaço, no qual a função é igual uma constante
real k, isto é, Sk = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y, z) = k com k ∈ R}.
– Observação: numa planta topográfica, as curvas de nível caracterizam-se por linhas imaginárias
que unem todos os pontos de mesma altitude daquela região representada;
• Função Contínua: uma função de duas variáveis f(x, y) é contínua no ponto (x0, y0) se: (i) f(x0, y0)
existe; (ii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
– Observação: se f(x, y) é contínua em (x0, y0) e g(w) é contínua em w = f(x0, y0), então h(x, y) =
(g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y)) também é contínua no ponto (x0, y0); Por exemplo, tan(x2 + y2), ecos yx
e ln(x2 + x2y2);
– Observação: para funções de três variáveis a definição é equivalente!!!
• Regra dos Dois Caminhos: quando o limite de uma função existe ele deve ser único. Desta forma,
se por duas direções distintas o limite for diferente podemos concluir que o limite não existe.
– Exemplo: suponha que se deseja mostrar que o limite lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) @. Considere dois cam-
inhos distintos r1(t) = (x1(t), y1(t)) e r2(t) = (x2(t), y2(t)) tais que lim
t→0
r1(t) = lim
t→0
r2(t) = 0.
Se lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
t→0
f(x1(t), y1(t)) = L1 e lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
t→0
f(x2(t), y2(t)) = L2, com
L1 6= L2 então podemos afirmar que o limite lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) não existe;
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– Observação: se por dois caminhos distintos o limite for igual isso não é suficiente para garantir
que o limite existe!!!
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Gabarito
Parte A
1. (a) Elipsóide; (b) Hiperbolóide de uma folha; (c) Parabolóide; (d) Parabolóide hiperbólico; (e) Hiper-
bolóide de uma folha; (f) Hiperbolóide de duas folhas; (g) Cone; (h) Parabolóide
2. (a) -39; (b) 5a+ 7
√
ab
3. (a) 0 e 1; (b) D = {(x, y) ∈ R2 |x+ y > 1}; (c) CD = R
4. (a) e; (b) D = {(x, y, z) ∈ R3 | z − x2 − y2 ≥ 0}; (c) CD = [1,∞)
5. (a) D = {(x, y) ∈ R2 | 9 > x2 + 9y2}; (b) D = {(x, y) ∈ R2 | y − x > 0 e x+ y > 0}; (c) D = {(x, y) ∈
R2 | y − x2 > 0 e 1− x2 6= 0}; (d) D = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 1}; (e) D = {(x, y, z) ∈ R3 | 1 ≤
x2 − y2 + z2 ≤ 3}
6. (a) y = k cosx; (b) x2+
(
y − 12k
)2
= 1
4k2
(círculo); (c) y2−x2 = k2 (hipérbole); (d) (x+ 1k )2−(y+ 12k )2 =
5
4k2
(hipérbole); (e) x2− y2+ z2 = k; (f) x = (k− 3)+ y2+ z2 (parabolóide); (g) k = y2+ z2 (cilindro)
7. (a) 1; (b) 0
8. {(x, y) | y = 1}
9. (a) {(x, y) | y 6= 2x}; (b) A função é contínua em todos os pontos do domínio.
Parte B
1. {(x, y) | y 6= ±x}
2. (a) 1/2; (b) 1/2
3. (a) D = {(x, y) ∈ R2 |x, y 6= 0}; (b) A função é contínua em R2
4. (a) não; (b) sim
5. {(x, y) | y2 6= x2}
6. {(x, y) | xy < 1}
Parte C
1. y arctanx = pi
2. a
3. Mostre que o limite difere se nos aproximarmos de (0, 0) por diferentes direções.
4. Mostre que, para cada � > 0 dado, existe um δ > 0 tal que satisfaça as condições impostas na definição
de limites.
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