Matfin set 2016

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i 
Sumário 
1. PROGRAMA ........................................................................................................... 1 
1.1 EMENTA .................................................................................................................. 1 
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL ......................................................................................... 1 
1.3 OBJETIVOS .............................................................................................................. 1 
1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ................................................................................... 2 
1.5 METODOLOGIA ....................................................................................................... 2 
1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ...................................................................................... 2 
1.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ............................................................................... 2 
1.8 CURRICULUM VITAE RESUMIDO DO PROFESSOR ....................................................... 3 
2. CONCEITOS BÁSICOS ......................................................................................... 4 
2.1 FLUXO DE CAIXA ..................................................................................................... 4 
2.2 OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................ 4 
2.3 FATORES DE PRODUÇÃO .......................................................................................... 4 
2.4 JUROS ...................................................................................................................... 5 
2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO.................................................................................. 5 
2.6 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES ....................................................... 6 
2.7 OPERAÇÕES DE DESCONTO .................................................................................... 13 
2.7.1 DESCONTO SIMPLES “POR FORA” (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL) .......................... 13 
2.7.2. DESCONTO “POR DENTRO”(OU RACIONAL) ........................................................... 16 
2.8 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS ............................................... 17 
2.8.1 UTILIZAÇÃO DE TABELAS ..................................................................................... 22 
2.8.2 TECLAS FINANCEIRAS DA HP-12C ........................................................................ 22 
2.9 TAXAS DE JUROS.................................................................................................... 25 
2.10 SÉRIE UNIFORME - PRESTAÇÕES IGUAIS .............................................................. 29 
2.10.1 ANUIDADES ....................................................................................................... 29 
3- EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ...................................................... 37 
4- SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ....................................................................... 40 
4.1 DEFINIÇÕES ........................................................................................................... 40 
4.2 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................... 40 
4.3- TABELA “PRICE” ............................................................................................... 40 
4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC ................................................... 41 
 ii 
4.5 SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO ............................................................. 41 
4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO ...................................................................... 41 
5. INDICADORES DE ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS ......... 43 
5.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ....................................................................... 43 
5.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ...................................................................... 45 
5.3 OUTROS INDICADORES UTILIZADOS ...................................................................... 46 
5.4- VPL E OS PLANOS EQUIVALENTES DE PAGAMENTOS ............................................ 47 
6. FORMULÁRIO BÁSICO ..................................................................................... 49 
6.1 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO................................................................................ 49 
6.2 INDICADORES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ..................................................... 49 
6.3 TAXAS DE JUROS.................................................................................................... 50 
6.3.1. TAXAS EFETIVAS................................................................................................. 50 
6.3.2 TAXAS PROPORCIONAIS ........................................................................................ 50 
6.3.2 TAXAS EQUIVALENTES ......................................................................................... 50 
6.3.3 TAXA NOMINAL ................................................................................................... 50 
6.4 DEDUÇÕES INTERESSANTES ................................................................................... 51 
6.4.1 SÉRIE UNIFORME- PRESTAÇÕES IGUAIS ................................................................. 51 
6.4.2 PERPETUIDADE .................................................................................................... 52 
6.4.3 TAXAS DE JUROS REAIS ........................................................................................ 53 
6.5 RENTABILIDADE DE JUROS SIMPLES VERSUS COMPOSTOS ..................................... 54 
7. DICAS PARA A UTILIZAÇÃO DA HP-12 C ..................................................... 55 
7.1 FLUXO DE CAIXA DA EMPRESA INTERLINKS INC. ................................................... 55 
7.2 TROCANDO OS VALORES DO FLUXO DE CAIXA ....................................................... 58 
7.3 CÁLCULO DA TAXA INTERNA DE RETORNO .......................................................... 60 
7.4 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO............................................................. 60 
7. 5 TABELA PRICE ...................................................................................................... 60 
8. MANUAL DE UTILIZAÇÃO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS .................... 63 
8.1 FUNÇÕES FINANCEIRAS BÁSICAS EM PLANILHAS ELETRÔNICAS ........................... 63 
8.2 EXPRESSÕES DAS FUNÇÕES FINANCEIRAS BÁSICAS ................................................ 64 
8.3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ...................................................................................... 65 
8.3.1 CÁLCULO DA PRESTAÇÃO – FUNÇÃO PGTO (TAXA; NPER; VP; VF; TIPO) ............... 65 
8.3.2 CÁLCULO DO VALOR ATUAL – FUNÇÃO VP(TAXA; NPER; PGTO; VF; TIPO) ............. 66 
8.3.3 CÁLCULO DO VALOR FUTURO – FUNÇÃO VF(TAXA; NPER; PGTO; VP; TIPO) ........... 66 
8.3.4 CÁLCULO DA TAXA DE JUROS – TAXA (NPER; PGTO; VP; VF; TIPO; ESTIMATIVA) ... 67 
8.3.5 CÁLCULO DO PRAZO – FUNÇÃO NPER (TAXA; PGTO; VP; VF; TIPO) ........................ 67 
8.3.6 SISTEMA PRICE – FUNÇÕES PPMT E IPMT .......................................................... 68 
8.3.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES ........................................................... 68 
8.3.8 FLUXOS DE CAIXA NÃO HOMOGÊNEOS ................................................................. 69 
8.3.9 GRÁFICO DO VALOR ATUAL VERSUS TAXA DE DESCONTO .................................... 70 
 iii 
9. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO .............................................................................. 71 
10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS - SOLUÇÃO ....................................................... 79 
10.1 REGIME DE CAPITALIZAÇÃOA JUROS SIMPLES ................................................... 79 
10.2 OPERAÇÃO DE DESCONTO ................................................................................... 81 
10.3 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTO ............................................... 83 
10.4 TAXAS DE JUROS .................................................................................................. 86 
10.5 SÉRIE UNIFORME – PRESTAÇÕES IGUAIS .............................................................. 90 
10.6 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA .................................................................. 92 
10.7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ............................................................................... 93 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .......................................................................... 96 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
1 
1. Programa 
 
1.1 Ementa 
Taxa de juros. Proporcionalidade e equivalência de taxas. Operações de desconto. Valor 
atual líquido e taxa interna de retorno. Equivalências de capitais; equação de valor. 
Amortização de dívidas. 
1.2 Carga horária total 
- 16 horas 
1.3 Objetivos 
- Sensibilizar os alunos sobre a importância dos conceitos básicos de matemática 
financeira, bem como da metodologia e utilização da taxa interna de retorno e do valor 
presente líquido, nas análises e avaliações de projetos de investimentos. 
 
- Permiti-los perceber, de forma imediata, a importância das aplicações da matemática 
financeira na área de logística, utilizando a calculadora eletrônica HP 12-C, bem 
como as Planilhas Eletrônicas Excel da Microsoft Corporation. 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
2 
1.4 Conteúdo programático 
Taxa de juros. Proporcionalidade 
e equivalência de taxas. 
Operações de desconto. 
 Regime de capitalização a juros simples 
 Regime de capitalização a juros compostos 
 Taxas de juros 
 Séries uniformes antecipadas e postecipadas e 
 perpétuas 
Equivalências de capitais;  Equivalência de fluxos de caixa 
Amortização de dívidas. 
Valor atual líquido e taxa interna 
de retorno. 
 Sistemas de amortização 
 Conceituação de taxa mínima de atratividade 
 Valor Presente Líquido (VPL) 
 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
1.5 Metodologia 
Exposição dialogada, discussão de estudo de casos de operações comerciais e 
financeiras, resolução de exercícios com incentivo à utilização da calculadora 
eletrônica, HP 12-C, e planilha eletrônica. 
1.6 Critérios de avaliação 
Prova escrita (peso de 80%) e resolução da lista de exercícios (peso de 20%). 
 
1.7 Bibliografia recomendada 
DE FARO, Clóvis: Princípios e Aplicações do Cálculo Financeiro; 2
a
 edição; LTC- 
Livro Técnico e Científico Editora Ltda.; 1995. 
 
HIRSCHFELD, Henrique: Engenharia Econômica e Análise de Custos; Editora 
Atlas; 1998. 
 
LAPPONI, Juan Carlos: Excel & Cálculos Financeiros; introdução à modelagem 
financeira; Lapponi Treinamentos & Editora; 1999. 
 
PUCCINI, Abelardo de Lima: Matemática Financeira: objetiva e aplicada; LTC-
Livro Técnico e Científico Editora Ltda.; 5
a
 edição; 1993 (utilização da HP-12C e 
Planilha Eletrônica). 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
3 
1.8 Curriculum Vitae resumido do professor 
 
Paulo Pfeil é Doutor em Engenharia de Produção, Engenheiro Civil e Economista pela 
Universidade Federal Fluminense (UFF). Possui o Curso de Comercialização e 
Suprimento de Petróleo e Derivados (COSUP) da Petrobrás. Sua experiência 
profissional inclui o cargo de trader na comercialização externa de derivados de 
petróleo na Petrobrás, produtos e serviços na Interlinks (Flórida, USA); docência em 
diversas Instituições de Cursos de Pós-Graduação, Programas de Treinamento da 
Associação de Bancos no Estado do Rio de Janeiro (ABERJ) e Associação Nacional das 
Instituições do Mercado Aberto (ANDIMA), bem como consultoria em diversas 
instituições e empresas (FIRJAN, Petrobrás, White Martins, etc.). Professor Adjunto IV 
do Depto. de Engenharia de Produção da UFF, Setor de Finanças e Gestão de 
Investimentos, e Coordenador do Convênio de Cooperação Técnico-Científica 
UFF/Universidade de Ulm, Alemanha. É também o Coordenador Acadêmico dos 
Programas de Extensão Internacional do LATEC/UFF na Alemanha, nas Áreas de 
Gestão de Saúde; Meio Ambiente e Segurança Ocupacional; Business & Marketing e de 
Energias Alternativas. 
 
 
 
 
Administração Financeira 
4 
2. Conceitos básicos 
 
2.1 Fluxo de caixa 
 
- Definição: conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. 
 
- Convenção: o fluxo de caixa pode ser representado pelo diagrama abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Objetivo da matemática financeira 
 
Estudar a evolução do dinheiro ao longo do tempo. 
 
2.3 Fatores de produção 
 
Em relação à economia, os fatores de produção são constituídos de trabalho, capital, 
recursos naturais, tecnologia e capacidade empresarial. A cada fator de produção está 
associada uma remuneração que são: salário, juro, aluguel e lucro. 
 
 
1 2 n 
Pagamento (-) 
Recebimento (+) 
Tempo 
 
Administração Financeira 
5 
2.4 Juros 
 
Remuneração atribuída ao fator de capital, isto é, se 100 unidades de moeda são 
trocadas hoje por 105 a serem recebidas daqui a um ano, o prêmio sobre a quantidade de 
moeda em termos de moeda futura são 5 unidades. 
 
2.5 Regimes de capitalização 
 
É o processo de formação de juros e a maneira com que são incorporados ao capital. 
 
- Regime de Capitalização a Juros Simples: os juros são calculados sempre em função 
do capital inicial empregado. 
 
Exemplo: 
 
- Suponha que uma pessoa entregou R$100,00 a um banco que paga juros simples a 
razão de 10% ao período. Calcule o saldo credor no final de cada um dos quatro 
períodos. 
 
 
Período Saldo no início 
de cada período 
Juros acumulados 
no período 
Saldo no final de 
cada período 
- - - 100,00 
1
o
 100,00 0,1 x 100 = 10,00 110,00 
2
o
 110,00 0,1 x 100 = 10,00 120,00 
3
o
 120,00 0,1 x 100 = 10,00 130,00 
4
o
 130,00 0,1 x 100 = 10,00 140,00 
 
 
- Regime de Capitalização a Juros Compostos: os juros são calculados sempre em 
função do saldo existente no início do período correspondente. 
 
 
Exemplo: 
 
- Suponha que para o problema anterior, os juros pagos sejam compostos. Calcule o 
saldo credor no final de cada um dos quatro períodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
6 
Período Saldo no início 
de cada período 
Juros acumulados 
no período 
Saldo no final de 
cada período 
- - - 100,00 
1
o
 100,00 0,1 x 100 = 10,00 110,00 
2
o
 110,00 0,1 x 110 = 11,00 121,00 
3
o
 121,00 0,1 x 121 = 12,10 133,10 
4
o
 133,10 0,1 x 133,10 = 13,31 146,41 
 
 
2.6 Regime de capitalização a juros simples 
 
O regime de juros simples é empregado em certas operações típicas de curto 
prazo, como as aplicações no chamado Open Market (Mercado Aberto). 
 
 
- Dedução da Fórmula 
 
P = Principal ou Capital Inicial 
 
n = número de períodos 
i = taxa de juros 
S = montante 
 
A partir do principal P, queremos obter o valor do montante S, sabendo que 
S = P + J, sendo J o total de juros, isto é, o principal P submetido a taxa de juros i, 
durante o prazo de n períodos. Assim, teremos: 
 
J = P.i.n, onde S = P + J 
 
S = P + P.i.n 
S = P(1+n.i) 
 
Outra maneira de se chegar a essa expressão é a partir do fato do montante 
crescer de acordo com uma progressão aritmética.De acordo com a fórmula do termo 
geral de uma progressão aritmética, temos: an = a1 + (n-1).r 
 
Sendo: 
an  último termo 
a1  primeiro termo 
r  razão 
 
Em nosso caso: a1 = S1 e an = Sn 
 
Administração Financeira 
7 
Sn= S1 + (n-1).r 
 
Lembrando: 
 
S1 = P(1+i) 
r = P.i 
 
Temos: 
Sn= P(1+i) + (n-1).P.i 
Sn= P + P.i + (n-1).P.i = P + P.i + n.P.i -P.i 
Sn= P.(1+n.i) 
 
Como, porém, n é um período qualquer, podemos supor que Sn= S = montante final. 
S = P.(1+ n.i) 
- Aplicação Básica 
 
Calcular o montante obtido pela aplicação de um capital de R$ 100.000,00 
pelo prazo de 1 ano, à taxa de 5% ao mês. 
 
P = R$ 100.000,00 
n = 1 ano  12 meses 
i = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 
 
Solução 
 
S = P.(1+ n.i) 
S = 100.000.(1 + 12 . 0,05) 
S = 100.000.(1 + 0,60) 
S = R$ 160.000,00 
 
A partir desse enunciado padrão, podemos resolver uma série de exercícios 
de juros simples, em grupos, de acordo com a incógnita que queremos determinar. 
 
1
o
 Grupo : Dados P, n, i, achar S 
 
1) P = R$ 100.000,00 
i = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 
n = 12 meses 
 
S = P (1+ n.i) = 100.000(1+12.0,02) = R$ 124.000,00 
 
 
 
2) P = R$ 300.000,00 
i = 7,5% ao mês = 7,5/100 = 0,075 
n = 1,5 ano  18 meses 
 
S = P (1+ n.i) = 300.000 (1+18*0,075) = R$ 705.000,00 
 
 
Administração Financeira 
8 
 
3) P = R$ 700.000,00 
i = 24,56% ao trimestre = 24,56/100 = 0,2456 
n = 2 anos  2 . 4 = 8 trimestres 
 
S = P (1+ n.i) = 700.000 (1 + 8. 0,2456) = R$ 2.075.360,00 
 
4) P = R$ 800.000,00 
i = 84% ao ano = 84/100 = 0,84 
n = 10 meses  10/12 ano 
 
S = 800.000 ( 1 + (10/12).0,84) = R$1.360.000,00 
 
5) P = R$ 1.000.000,00 
i = 40% ao semestre 
n = 2,5 anos  5 semestres 
 
S = 1.000.000 (1 + 5*0,40) = R$ 3.000.000,00 
 
 
Exercícios Propostos para Casa 
 
1- P = R$ 600.000,00 
i = 10,38% ao mês 
n = 5 trimestres 
S = ? 
 
2- P = R$ 900.000,00 
i = 20% ao ano 
n = 5 anos 
S = ? 
 
2
o
 Grupo : Dados S, n, i, achar P 
 
1) S = R$ 150.000,00 
i = 5% ao mês 
n = 12 meses 
P = ? 
 
P
S
ni x
 


( )
.
( , )
.
,1
150 000
1 12 0 05
150 000
1 6
, onde P = R$ 93.750,00 
 
 
2) S = R$ 200.000,00 
i = 25% ao trimestre 
n = 1 ano  4 trimestres 
P = ? 
 
Administração Financeira 
9 
 
P
S
ni x
 


( )
.
( , )
.
1
200 000
1 4 0 25
200 000
2
 
 
P = R$ 100.000,00 
 
3) S = R$ 600.000,00 
i = 6,25% ao mês 
n = 2 semestres  12 meses 
P = ? 
 
P
S
ni x
 


( )
.
( , )
.
,1
600 000
1 12 0 0625
600 000
1 75
 
 
P = R$ 342.857,14 
 
 
4) S = R$ 450.000,00 
i = 96% ao ano 
n = 10 meses  10/12 ano 
P = ? 
 
P
S
ni x
 








( )
.
,
.
,1
450 000
1
10
12
0 96
450 000
1 8
 
 
P = R$ 250.000,00 
 
 
Exercícios Propostos para Casa: 
 
3- S = R$ 400.000,00 
i = 10% ao mês 
n = 30 meses 
P = ? 
 
4- S = R$ 150.000,00 
i = 9,36% ao mês 
n = 6 meses 
P = ? 
 
5- S = R$ 1.546.000,00 
i = 14,4% ao mês 
n = 3 anos 
P = ? 
 
 
Administração Financeira 
10 
6- S = R$900.000,00 
i = 20% ao trimestre 
n = 2,5 anos 
P = ? 
 
7- S = R$ 1.000.000 
i = 40% ao semestre = 40/100 = 0,40 
n = 2,5 anos  5 semestres 
 
 
3
o
 Grupo: Dados S,P,n, achar i 
 
1) S = R$ 366.000,00 
P = R$ 150.000,00 
n = 8 trimestres 
i = ? 
S P n i n i
S
P
n i
S
P
i
S
P
n
         









( ) ( )1 1 1
1
 
i a t









 
366000
150000
8
018 18%
1.
. , . . 
 
 
2) S = R$760.000,00 
P = R$ 400.000,00 
n = 9 meses 
i = ? 
 
 
i a m









 
760000
400000
9
01 10%
1.
. , . . 
 
 
3) S = R$172.000,00 
P = R$ 100.000,00 
n = 12 meses 
i = ? 
 
i a m









 
172 000
100000
12
0 06 6%
1.
.
, . . 
 
Administração Financeira 
11 
 
4) S = R$ 249.600,00 
P = R$ 120.000,00 
n = 20 meses 
i = ? 
 
i a m









 
249 600
120000
20
0 054 5 4%
1.
.
, , . . 
 
 
Exercícios Propostos para Casa 
 
8- S = R$ 885.000,00; P = R$ 300.000,00; n = 5 semestres; i = ? 
 
9- S = R$ 930.000,00; P = R$ 170.000,00; n = 16 trimestres; i = ? 
 
10- S = R$ 170.000,00; P = R$ 98.000,00; n = 3 anos; i = ? 
 
11- S = R$ 386.000,00; P = R$ 136.000,00; n = 36 meses; i = ? 
 
 
4
o
 Grupo: Dados S,P,i, achar n 
 
1) S = R$ 1.070.000 
P = R$ 500.000 
i = 12% ao mês 
n = ? 
 
 
 
n meses


1070000
500000
1
012
9 5
. .
.
,
, 
 
 
2) S = R$ 400.000 
P = R$ 250.000 
i = 80% ao ano 
n = ? 
 
 
 
Administração Financeira 
12 
n ano mesesx

  






400000
250000
1
0 80
0 75
75
100
12 9
.
.
,
, 
 
3) S = R$ 368.000 
P = R$ 200.000 
i = 7% ao mês 
n = ? 
 
n meses


368000
200000
1
0 07
12
.
.
,
 
 
4) S = R$ 896.000 
P = R$ 700.000 
i = 8% ao ano 
n = ? 
 
n anos


896000
700000
1
0 08
35
.
.
,
, 
 
 
Exercícios Propostos para Casa 
 
12- S = R$ 154.000 
P = R$ 100.000 
i = 4,5% ao mês 
n = ? 
 
13- S = R$ 660.000 
P = R$ 300.000 
i = 6,0% ao trimestre 
n = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
13 
2.7 Operações de desconto 
 
Um título possui um valor chamado Nominal (ou Valor de Face) que vem 
declarado nele. É o que ele vale no dia do seu valor de vencimento. Entretanto, antes do 
vencimento, o título tem um valor menor do que o nominal. O valor do título em data 
que precede seu vencimento é chamado Valor Atual (Gutierrez, 1999). 
 
Tendo em vista os conceitos de valor nominal e de valor atual, concluímos, 
a priori, que o desconto D nada mais é do que a diferença entre o valor nominal do 
compromisso e o seu valor atual na data do desconto. Desta forma, o desconto deve ser 
entendido como a diferença entre o valor futuro (valor na data de resgate) e o valor atual 
do título (valor na data de operação). 
 
D = S – P; sendo: D = Valor monetário do desconto; S = Valor futuro (na 
data de vencimento) e P = Valor atual ( na data de operação) 
 
São conhecidos dois tipos de descontos simples, desconto simples e o 
desconto racional, que serão vistos a seguir: 
 
 
2.7.1 Desconto simples “por fora” (ou bancário ou comercial) 
 
Obtido multiplicando-se o valor do resgate do título pela taxa de desconto. 
Essa modalidade é amplamente usada nas operações bancárias. Portanto, teremos: 
 
 
D = S - P (1) 
D = S.n.i (2) 
Sendo: 
D  desconto 
n  prazo a decorrer até o vencimento 
id taxa de desconto 
 
É preciso lembrar que n e id devem ser expressos em unidades de tempo 
compatíveis. A incógnita na operação de desconto é o principal. 
 
De (1) podemos obter: 
P = S - D 
 
Substituindo D pela expressão obtida em (2): 
P = S - S.n.id = S (1 - n. id) (3) 
 
A fórmula do desconto simples “por fora” (D = S.id.n) é similar a dos juros, 
no sistema de capitalização simples ( J = P.i.n). A diferença fundamental é que, no 
desconto, a taxa de juros incide sobre o montante ou valor de resgate. 
 
Administração Financeira14 
 
Exemplos: 
 
1) Qual o valor do desconto bancário simples de um título de R$2.000,00, com 
vencimento para 93 dias, a taxa de 10% a.m.? 
S = 2.000,00; id = 10% a.m. 
n = 93 dias 
D = 2000.0,1.(93/30) = R$620,00 
 
 
2) Qual a taxa mensal de desconto bancário simples utilizada numa operação de 112 
dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 550,00. 
 
S = 1000,00 
P = 550,00 
n = 112 dias 
D = S.id.n 
D = S - P 
D = 1000 - 550 = 450 
id = D/(S.n) = 450/(1000x(112/30)) = 0,1205 = 12,05% a.m. 
 
 
3) Uma duplicata no valor de R$6.800,00 no vencimento e descontado por um banco, 
gerando um crédito de R$5.100,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada 
pelo banco é de 6,50% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata. 
 
S = 6.800 
P = 5.100 
id = 6,5% a.m. 
D = S - P = 6.800 - 5.100 = 1.700 
D = S.id.n n = D/(S.id) = 1.700/(6800x0,065) = 3,8462 meses ou 115,38 dias 
 
 
4) Uma duplicata de R$100.000,00 foi resgatada 3 meses antes do vencimento, a taxa de 
9,90% ao mês. Qual o valor atual da operação ? 
 
S = 100.000 
n = 3 meses 
id = 9,90% a.m. 
D = S.id.n = 100.000x0,099 x 3 = 29.700 
P = S - D = 100.000 - 29.700 = R$70.300,00 
 
 
5) Um banco comercial realiza as suas operações de desconto de duplicatas com uma 
taxa de desconto de 2% a.m., porém exige saldo médio de 30% do valor da operação a 
título de reciprocidade bancária. Esse banco foi procurado por uma empresa para 
descontar R$1.000.000,00 de duplicatas, todas com vencimento dentro de 3 meses. 
Determinar o valor a ser creditado na conta da empresa e a taxa de rentabilidade mensal 
do banco, a juros simples, sem o saldo médio e com saldo médio. 
 
Administração Financeira 
15 
i) sem saldo médio 
S = 1.000.000 
D = S . id . n = 1.000.000 x 0,02 x 3 = 60.000 
P = 1.000.000 - 60.000 = R$940.000,00 
S = P(1+in) (1+3i) = 1.000.000/940.000 = 1,06383 i = (1,06383-1)/3 
i = 0,021277 i = 2,1277% a.m. 
 
ii) com saldo médio 
saldo médio = 0,3 x 1.000.000 = 300.000 
P = 1.000.000 - 60.000 - 300.000 = R$640.000 
 
Como já estão retidos R$300.000,00 a empresa só desembolsará apenas R$700.000,00. 
Logo a taxa de rentabilidade será: 
 
i = ((700.000/640.000)-1)/3 = 0,03125 = 3,125% a.m. 
Verifica-se então que a exigência de saldo médio de 30% elevou o custo da operação 
para a empresa, de 2,128% a.m. para 3,125% a.m., no regime de juros simples. 
 
 
Exercícios Propostos para Casa 
 
14- Uma empresa de Niterói deseja descontar duplicatas num banco comercial que lhe 
oferece uma taxa de desconto de 2% a.m., juros simples. Sabe-se que a 1
a
 duplicata é de 
R$10.000,00 e tem vencimento dentro de 90 dias, e que a 2
a
 duplicata é também de 
R$10.000,00, mas de vencimento em 180 dias. Considerando que os meses têm 30 dias, 
determinar o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa. Resposta: R$ 
18.200,00 
 
15- Um banco comercial de S. Gonçalo, RJ, empresta R$150.000,00 a um cliente, pelo 
prazo de 3 meses, à taxa de 3% a.m., juros simples, pagos antecipadamente. Além disso, 
o banco exige um saldo médio de R$45.000,00 ao longo de todo o período do 
empréstimo. Calcular o custo para o cliente, desta operação de desconto de duplicata, 
em juros simples e compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
16 
2.7.2. Desconto “por dentro”(ou racional) 
 
Obtido pela multiplicando-se o valor atual do título pela taxa de desconto e pelo prazo a 
decorrer até o vencimento do título. Diferentemente do desconto por fora (bancário ou 
comercial), não tem aplicação prática. 
 
O desconto “por dentro” corresponde ao juro simples, calculado sobre o valor atual do 
título. Será designado por DR. Então: 
DR = P.r.n 
Como P = S - DR 
P = S - P.r.n  P + P.r.n = S  P = S/(1+r.n) ( observe a semelhança calculo do 
principal no regime de juros simples) 
 
 
Exemplo: Um título de R$100.000,00 sofre desconto racional de 9,90% a.m. , 3 meses 
antes do seu vencimento. Calcule o valor atual e o desconto. 
 
P = 100.000/(1+0,099.3) = R$77.101,00 
D = S - P = 100.000 - 77.101 = R$22.899,00 
 
 
Observação entre os conceitos de Desconto Comercial e Desconto Racional 
 
O desconto comercial é sempre maior que o racional. Na prática, apenas o desconto 
comercial é empregado. Entretanto, seu uso limita-se às operações de curto prazo, pois, 
para prazos longos, seu cálculo se torna impraticável, podendo o valor do desconto 
ultrapassar o próprio valor nominal do título. 
 
Administração Financeira 
17 
2.8 Regime de capitalização a juros compostos 
 
 
Neste caso, os juros de cada período são calculados sempre em função do 
saldo existente no início do período correspondente. A remuneração é efetuada sobre 
bases variáveis, por acumulação da remuneração sobre as bases imediatamente 
anteriores. 
 
- Dedução da Fórmula 
 
S1 = P + iP = P (1+i) 
S2 = S1 + i S1 = S1 (1+i) = S1 (1+i)
2
 
. 
Sn = P (1+i)
n
 
 
Se quisermos uma expressão que nos dê o principal, dado o montante, a taxa 
e o prazo, faremos: 
Sn = P (1+i)
n
  P = Sn / (1+i)
n
 
 
O prazo n e a taxa i devem estar sempre na mesma unidade de tempo. 
 
Uma outra maneira de se chegar a essa expressão é a partir do fato do 
montante crescer de acordo com uma progressão geométrica. Lembrando a fórmula do 
termo geral de uma progressão geométrica, temos: 
 
an = a1 . q
n-1
 
Sendo: 
an  último termo 
q  razão 
Em nosso caso: an = Sn e a1 = S1 
Sn = S1 . q
(n-1)
 
Lembrando que: 
S1 = P(1+i), q = (1+i)  S = Sn = P (1+i) (1+i)
(n-1)
  S = P (1+i)n 
 
* Observações: 
i) Para n<1, o montante cresce mais rapidamente a juros simples do que a juros 
compostos, dada a mesma taxa de juros por período de capitalização; 
ii) Para n = 1, o montante do ponto de vista do regime de juros simples é idêntico ao de 
juros compostos, de vez que P(1+ni) = P(1+i)
n
 para n = 1, dada a mesma taxa de juros 
por período de capitalização; 
iii) Para n>1, o montante cresce mais rapidamente ao longo do tempo no regime de 
juros compostos do que no de simples, dada a mesma taxa de juros por período de 
capitalização; 
iv) A curva no regime de juros compostos é exponencial (progressão geométrica) 
enquanto no de juros simples é linear (progressão aritmética). 
 
Administração Financeira 
18 
- Exercício Padrão 
 
Determinar o montante relativo a empréstimo de R$100.000,00 pelo prazo de 1 ano na 
taxa de 5% ao mês. 
 
Em juros compostos a compatibilização dos dados é obrigatoriamente feita em função 
da taxa de juros porque é ela que define o período de capitalização. Desta forma, a 
compatibilização será, no caso, passar o prazo de 1 ano para 12 meses. 
 
S = P(1+i)
n
 = 100.000(1+0,05)
12
 = R$179.585,63 
 
- Outros Exercícios 
 
1
o
 Grupo: Dados P, n e i achar S 
 
1) P = R$100.000,00 
i = 2% ao mês 
n = 12 meses 
S = ? 
S = 100.000(1+0,02)
12
 = R$126.824,18 
 
2) P = R$300.000,00 
i = 14,5% ao mês 
n = 4 semestres  24 meses 
S = 300.000(1 + 0,145)
24
 = R$7.734.868,50 
 
3) P = R$600.000,00 
i = 10,38% ao mês 
n = 5 trimestres  15 meses 
S = 600.000(1 + 0,1038)
15
 = R$2.639.411,50 
 
4) P = R$800.000,00 
i = 84% ao ano 
n = 10 meses 10/12 ano 
S = 800.000(1 + 0,84)
(10/12)
 = R$1.329.754,60 
 
5) P = R$700.000,00 
i = 24,56% ao trimestre 
n = 2 anos 8 trimestres 
S = 700.000(1 + 0,2456)
8
 = R$4.056.269,80Administração Financeira 
19 
2
o
 Grupo: Dados S, n,i achar P 
 
1) S = R$10.000,00 
i = 10% a.a 
n = 5 anos 
S = P(1+i)
n
  
 
P
S
i
n

1
  
 
P R 

10000
1 01
5
209 00.
,
$6. ,
 
 
 
2) S = R$1.000,00 
i = 12% a.m. 
n = 12 meses 
 
 
68,256$
12,01
1000
12
RP 

 
 
3) S = R$10.000,00 
i = 6% a.s. 
n = 3 anos  6 semestres 
 
 
31,066.5$
12,01
10000
6
RP 

 
 
 
4) S = R$14.000,00 
i = 15% a.a. 
n = 6 anos 
 
 
59,052.6$
15,01
14000
6
RP 

 
 
 
3
o
 Grupo: Dados S, P, n achar i 
 
1) S = R$ 172.000,00 
P = R$ 100.000,00 
n = 12 meses 
i = ? 
S = P(1+i)
n
  
1 1 12
1 1 0 462 4 62%
172 000
100000
/ /
.
.
, , . .
n
S
P
i a m











     
 
 
 
 
Administração Financeira 
20 
2) S = R$366.000,00 
P = R$ 150.000,00 
n = 8 trimestres 
i = ? 
 
1 8
366000
150000
1 0 1179 11 79%
/
.
.
, , . .





    a t
 
 
 
3) S = R$360.000,00 
P = R$ 180.000,00 
n = 4 anos 
i = ? 
 
14
360000
180000
1 0 1892 18 92%
.
.
, , . .





    a a
 
 
4) S = R$885.000,00 
P = R$ 300.000,00 
n = 5 semestres 
i = ? 
 
..%16,242416,01
000.300
000.885
5/1
sa




 
 
 
5) S = R$760.000,00 
P = R$400.000,00 
n = 9 meses 
i = ? 
 
.1 %39,7
000.400
000.760
9/1





 a.m. 
 
4
o
 Grupo: Dados S, P, i achar n 
 
1) S = R$368.000,00 
P = R$200.000,00 
i = 7% ao mês 
n = ? 
.S = (1+i)
n
  lnS = lnP + nln(1+i)  n = (lnS - lnP)/ln(1+i) = 
 
Administração Financeira 
21 
= (ln368.000-ln200.000)/ln(1+0,07) = 9,01 meses 
 
2) S = R$400.000,00 
P = R$250.000,00 
i = 80% ao ano 
n = ? 
n = 0,79 ano 
 
3) S = R$660.000,00 
P = R$300.000,00 
i = 6% ao trimestre 
n = ? 
n = 13,53 trimestres 
 
4) S = R$1.070.000,00 
P = R$500.000,00 
i = 12% ao mês 
n = ? 
n = 6,71 meses 
 
5) S = R$154.000,00 
P = R$100.000,00 
i = 4,5% ao mês 
n = ? 
n = 9,81 meses 
 
 
Exercícios Propostos para Casa 
 
 
16- Qual o montante acumulado em 6 anos, a uma taxa de 10% ao ano, no regime de 
juros compostos, a partir de um principal igual a R$100,00? (resp: R$177,16) 
 
17- Quanto se deveria pagar hoje para se ter direito de receber R$10.000,00 daqui a 5 
anos, a juros de 10% ao ano? (resp: R$6.209,00) 
 
18- Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser quitado por meio de um 
único pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% 
a.m.? (resp: 5 meses) 
 
19- Qual o valor da taxa de juros compostos aplicada a um capital de R$13.200,00, para 
que o mesmo se transforme em R$35.112,26, se o período de aplicação for de 7 meses? 
(resp:15% a.m.) 
 
20- Uma pessoa abre uma poupança depositando R$2.000,00. Daqui a 2 meses a pessoa 
deve fazer um depósito de R$2.500,00 e daqui a 4 meses pretende sacar a poupança 
R$1.300. Qual deverá ser o saldo da poupança ao final do 5o mês se a taxa de juros 
composta ganha for de 15% a.m.? (resp: R$6.329,90) 
 
Administração Financeira 
22 
2.8.1 Utilização de tabelas 
 
O instrumental utilizado a seguir foi muito utilizado antes do advento das calculadoras 
financeiras, e achamos oportuno apresentá-las aqui e nos outros capítulos a seguir. 
Primeiramente apresentaremos neste capítulo dois fatores, quais sejam: 
 
- Fator de Acumulação de Capital - Pagamento Simples (FPS) 
Este fator é utilizado quando dado P, achar S, temos então: 
 
S = P(1+i)n = P FPS(i,n) 
 
Exemplo: Qual o montante daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.000,00 a 2,5% a.m.? 
S = P FPS(2,5%,12) = 1000 . 1,34489 = R$1.344,89 
 
- Fator de Valor Atual - Pagamento Simples (FSP) 
 
Este fator é utilizado quando dado S, achar P, temos então: 
 
P
S
i
n

1
 
 
P = S . FSP(i,n) 
 
Exemplo: Um capital aplicado durante 6 anos à taxa de juros composta de 15% a.a. 
transformou-se em R$14.000,00. Encontrar o capital inicial aplicado. 
 
P = S. FSP( 15%,6) = 14000 . 0,43233 = R$6052,62 
 
2.8.2 Teclas financeiras da HP-12C 
 
TECLAS DESCRIÇÃO 
n armazena ou calcula o número de períodos 
i armazena ou calcula a taxa de juros por 
 período composto (é expressa em percentagem) 
PV armazena ou calcula o valor presente (principal) 
CF0 
 
Para cálculos no regime de juros simples é preferível não utilizar as teclas financeiras, 
pois elas irão complicar o elementar caminho algébrico. Um cuidado que se deve ter, 
quando estiver sendo usada a capitalização composta, é que esteja aceso o anúncio “c” 
na parte inferior direita do visor. Este anúncio faz com que seja adotado, na parte 
fracionária do período, o regime de capitalização composta Se ele não estiver aceso, a 
máquina usa a chamada “convenção linear”, em que juros são calculados de acordo com 
o regime de capitalização simples para períodos fracionários. Para colocar o anúncio 
 
Administração Financeira 
23 
“c” no visor basta pressionar STO EEX. Para que desapareça, só é preciso pressionar 
novamente STO EEX. 
 
- Seja calcular o montante produzido pela aplicação de R$1.000,00 durante 75 dias a 
uma taxa de 17% ao mês no regime de capitalização composta. 
 
TECLAS FINANCEIRAS - HP12C 
STO EEX 
f CLEAR FIN 
75 ENTER 
30 : 
n 
17 i 
1000 CHS PV 
FV 1.480,69 
 
. Máquina sem o anúncio “c” do visor ( como a máquina possui memória contínua, não 
precisamos introduzir novamente os dados) 
 
STO EEX 
FV 1.485,26 
 
Vamos reconstituir o que a máquina fez: 
75 dias são 75/30 = 2,5 meses 
No período inteiro, dois meses, a máquina usou capitalização composta. 
 
S = P(1+i)
n 
  S = 1000(1,17)2 = R$1368,90 
 
No período fracionário de quinze dias, usará capitalização simples. 
Lembrando que S = P(1+in)  S = 1368,9[1+0,17(15/30)] = R$1485,26 
Face ao exposto, deve-se sempre trabalhar com o anúncio “c” no visor. 
- Cálculo do período com a rotina financeira 
 
O cuidado que se deve ter ao usar a rotina financeira para calcular o período é lembrar 
que a HP-12C arredonda para o inteiro seguinte, se número é fracionário, o que pode 
distorcer os resultados. 
 
Exemplo: Em que período uma aplicação de R$1.000,00 produz um montante de 
R$1.480,69 a uma taxa de juros compostos de 17,00% ao mês? 
 
Primeiro, vamos determinar o período usando a fórmula para obter o valor exato. 
 
 
 n
S P
i



ln ln
ln 1
   
 n




ln ln
ln ,
,
1.480,69 1000
1 0 17
2 5
meses 
 
 
 
 
Administração Financeira 
24 
HP 12-C 
1480.69 g LN 
1000 g LN 
- 
1,17 ENTER 
g LN 
/ 
2,5 
 
 
Usando a rotina financeira, temos: 
 
HP – 12C 
f CLEAR FIN 
17 i 
1000 CHS PV 
1480,69 
n = 3 meses 
 
 
Supondo que não tivéssemos alternativa para encontrar o período a não ser a rotina 
financeira, indicaríamos um processo iterativo para obter o período correto, no qual 
usamos a vantagem da máquina ter memória contínua. 
 
i) Pressionando a tecla FV para ver qual o montante produzido com n = 3, teríamos 
1601,61, valor diferente do verdadeiro(1480,69), de onde concluímos que n = 3 não é o 
período correto. 
 
ii) Como o montante obtido com n = 3 é maior, introduzir um período menor, por 
exemplo, n = 2: 
 
2 nFV  1368.9 < 1480.69, de 
onde concluímos que n = 2 é o período correto 
 
iii) Como o montante obtido é menor, deve-se, então, partir o intervalo ao meio, ou seja, 
n = 2,5, e introduzir: 
 
2.5 n 
FV  1480,69=1480.69, de 
onde concluímos que n = 2 é o período correto 
 
 
Administração Financeira 
25 
2.9 Taxas de juros 
 
- Taxa Efetiva: a unidade de referência de tempo coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. Neste caso, não se menciona o período de capitalização, pois 
está implícito que é o mesmo. 
 
Exemplo: 18% ao ano capitalizado anualmente = 18% ao ano. 
 
- Taxa Nominal: é aquela na qual a unidade de referência temporal (ano) não coincide 
com a unidade de tempo dos períodos de captação (mês). 
 
Exemplo: 18,0% ao ano capitalizado mensalmente. 
 
- Taxas Equivalentes: São aquelas que, com períodos de capitalização diferentes, 
transformam um mesmo capital P num mesmo montante S durante um mesmo prazo. 
 
Para comprovarmos a teoria que está por trás das taxas equivalentes, vamos 
ver na prática como acontece. Suponhamos um mesmo capital de 100 aplicados pelo 
prazo de um ano na taxa de 36% ao ano e calculemos o montante, desprezando as casa 
decimais. 
 
1
a
 Situação 
P = 100 
n = 1 ano 
i = 36% a.a 
S = 100(1+0,36) = 136 
 
2
a
 Situação 
P = 100 
n = 12 meses 
i = 2,6% a.m. 
S = 100(1+0,026)
12
 = 136 
 
3
a
 Situação 
P = 100 
n = 4 trimestres 
i = 8% a.t. 
S = 100(1+0,08)
4
 = 136 
 
4
a
 Situação 
P = 100 
n = 2 semestres 
i = 16,62% a.s. 
S = 100(1+0,1662)
2
 = 136 
 
 
 
Administração Financeira 
26 
Podemos observar que apenas mudando a taxa e os períodos de capitalização, dentro do 
mesmo prazo de 1 ano, partimos sempre do mesmo principal, P = 100, e chegamos ao 
mesmo montante, S = 136, isto é, saímos do valor presente 100 e chegamos ao valor 
futuro 136, utilizando taxas equivalentes. Dessa forma podemos afirmar que: 
 
i) 2,6% a.m. é a taxa mensal que capitalizada 12 vezes no ano é equivalente a 36% a.a. ; 
ii) 8% a.t. é a taxa trimestral que capitalizada 4 vezes ao ano é equivalente a 36% a.a.; 
iii) 16,62% a.s. é a taxa semestral que capitalizada 2 vezes ao ano é equivalente a 
36%a.a. . 
 
- Expressões relacionadas à taxa anual com as taxas equivalentes semestral, mensal e 
diária. 
 
anual (ia): Sa = P (1+ia) 
semestral (is) : Ss = P (1+is)
2
 
trimestral (it) : St = P (1+it)
4
 
mensal (im) : Sm = P (1+im)
12
 
diária (id) : Sd = P (1+id)
360
 
 
Da definição, para as taxas serem equivalentes: 
Sa = Ss = St = Sm = Sd 
Logo, 
P (1+ia) = P (1+is)
2
 = P (1+it)
4
 = P (1+im)
12
 = P (1+id)
360
 
ou 
(1+ia) = (1+is)
2
 = (1+it)
4
 = (1+im)
12
 = (1+id)
360
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Quais as taxas trimestral e anual equivalente a taxa de 10,50% a.m. ? 
(1+ia) = (1+it)
4
 = (1+im)
12
 
(1+it) = (1+im)
3
 
(1+it) = (1+0,1050)
3
 = 1,3492  it = 0,3492  it = 34,92% a.t. 
(1+ia) = (1+0,150)
12
 = 3,3140  ia = 2,3140  ia = 231,40% a.a 
2) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 150% a.a. ? 
 
(1+ia) = (1+im)
12
  1+im = (1+ia)
1/12
 = (1+1,50)
1/12
 = 1,0793  im = 0,0793 = 7,93% 
a.m. 
 
Vamos deduzir uma fórmula genérica que permite calcular diretamente a taxa 
equivalente a partir de uma taxa dada. Sejam: 
ic = taxa conhecida 
nc = período em dias de taxa conhecida 
id = taxa a determinar 
nd = período em dias de taxa a determinar 
Estamos trabalhando com o período em dias, pois é comum, no mercado financeiro, a 
utilização de períodos quebrados, como, por exemplo, 61 dias, 32 dias, etc. 
Vamos supor que ic e id são equivalentes por hipótese. 
 
O montante Sc produzido por ic a partir de um principal P, ao final de nd dias, será 
 
Administração Financeira 
27 
Sc = P (1+ic)
nd/nc 
Lembrando que taxa e período devem estar expressos em unidades de tempo 
compatíveis, temos que nd dias possuem nd/nc períodos de capitalização. Por sua vez, a 
taxa a determinar, id, a partir do mesmo principal, P, produzirá um montante Sd ao final 
de nd dias. 
 
Sd = P (1+id)
nd/nd
 = P (1+id) 
Como as taxas são equivalentes, os montantes obtidos a partir do mesmo principal, P, 
serão iguais no final de nd dias. 
Sd = Sc 
 
P (1+id) = P (1+ic)
nd/nc
  id = (1+ic)
(nd/nc) 
-1  fórmula genérica para cálculo de taxas 
equivalente. 
 
Exemplos: 
 
1) Um banco está oferecendo a um aplicador uma taxa de 6.000% ao ano para uma 
aplicação pelo prazo de 31 dias. Qual a taxa bruta do período? 
id = (1+60)
(31/360) 
- 1 = 0,4247 para 31 dias ou 42,47% 
 
2) Com os dados do exemplo anterior, determinar a taxa semestral equivalente. 
id = (1+0,4247)
(180/31) 
-1 = 6,8087% ao semestre ou 680,87%. 
 
Vamos, mediante um exemplo, ilustrar por que não podemos comparar taxas nominais, 
sendo somente possível fazê-lo com taxas efetivas ou compostas referente ao mesmo 
período. 
 
3) Um investidor tem duas opções para aplicar seu dinheiro, a saber: 
 
A - 300% a.a. capitalizado semestralmente 
B - 210% a.a. capitalizados mensalmente 
Trata-se de duas taxas nominais. Uma pessoa menos avisada escolherá a primeira, pois 
300% a.a. é maior do que 210% a.a. . Vamos determinar as taxas efetivas contidas em 
cada taxa nominal. 
 
A - 300/2 = 150% ao semestre capitalizados semestralmente ou 150% a.s. 
B - 210/12 = 17,50% ao mês capitalizados mensalmente ou 17,5%a.m. 
 
Uma vez determinadas as taxas efetivas, devemos levar uma delas ao período da outra 
para compará-las. Vamos determinar a taxa mensal equivalente. 
 
id = (1+1,5)
(30/180) 
-1 = 16,5% a.m. 
 
Portanto a opção B é melhor que a A. 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
28 
Exercícios Propostos para Casa 
 
21- Um cliente possui 3 opções de aplicação e quer saber qual é a melhor opção. 
- poupança que rende 17,0% a.m. 
- fundo de curto prazo que rende 72,8% ao trimestre 
- CDB que rende 700% a.a. 
 
22- Quais as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 750% a.a.? 
 
23- Obter as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 240% a.a. com os 
seguintes períodos de capitalização. 
a) mensal 
b) trimestral 
c) semestral 
 
24- Um executivo tem duas opções de aplicação a seguir. Qual é a melhor? 
a) 150% a.a. capitalizados mensalmente 
b) 200% aa. capitalizados semestralmente 
 
25- Quanto terá daqui a dois anos um empresário que aplicou a R$1.000,00 à taxa de 
220% ao ano capitalizado mensalmente? ( tente fazer este problema utilizando todos os 
procedimentos ensinados no capítulo III) 
 
26- Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 200% a.a. 
capitalizados mensalmente? (resp: 58,80% a.t.) 
 
27- Uma pessoa possui três opções de taxa para tomar um empréstimo: a,b ou ,c. Qual 
delas ele deverá escolher ? 
a - 24% para 35 dias 
b - 229% para 178 dias 
c - 884% para 345 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
29 
2.10 Série uniforme - prestações iguais 
 
2.10.1 Anuidades 
 
Anuidade, renda certa ou série, a uma sucessão de pagamentos ou 
recebimentos, exigíveis em épocas preestabelecidas, destinada a liquidar uma dívida ou 
formar um capital. Para entendimento da sistemática de cálculo de diversos títulos que 
transacionam no mercado aberto, iremos abordar apenas o caso particular das anuidades 
inteiras, constantes, periódicas e postecipadas.- Anuidade Inteira: é aquela em que a época de pagamento coincide com os períodos de 
capitalização de juros considerada; 
 
- Anuidade Constante: é aquela em que todos os pagamentos(ou recebimentos), que 
compõem uma série, são iguais; 
 
- Anuidade Periódica: é aquela em que os pagamentos(ou recebimentos) são exigidos 
em épocas cujos os intervalos de tempo são iguais. Anuidade Postecipada: é aquela 
série periódica cujos pagamentos(ou recebimentos) são efetuados no fim de cada 
intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada. 
 
- Fator de Valor Atual (FRP) - Série Uniforme ( dado R, achar P) 
Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa abaixo, que 
representa um investimento: 
 
 R R R R ............R 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 n Tempo (meses, anos, etc) 
 
 
 
 
P 
 
         
P
R
i
R
i
R
i
R
i
R
i
n
     
    1 1 1 1 1
2 3 4

 
         
P R
i i i i i
n
     
    
[ ]1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 3 4

 
 
Administração Financeira 
30 
O fator em colchetes corresponde aos termos de uma PG, cuja soma é: 
 
 
 n
n
S
a q a
q



1
1
 
 
onde: 
a1  1
o
 termo 
an  último termo 
q  razão 
 
No nosso caso : 
     
1
1
1
1
1
1
1
a
i
q
i
a
i
n n
  
  
, ,
 
      
 
 
 
n
n n
nS
i i i
i
i
i i

 






















  



1 1 1
1
1 1 1
1
1
1 1
1 
 
 
 
P R
i
i i
R FRP i n
n
n





[ ] ( , )
1 1
1
 
 
O fator FRP aparece na quarta coluna da tabela financeira. 
 
Utilizando a HP-12C as prestações constantes R é representado pela tecla PMT 
(Periodic Payment). 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Um investidor se dispõe a comprar uma dívida garantida, constituída por 12 títulos de 
R$10.000,00, vencíveis a cada 30 dias. Desejando uma rentabilidade de 9,0% a.m., por 
quanto se deve adquirir estes títulos? 
 
 R R R R ............R = R$10.000,00 
P= ? 
 
 0 1 2 3 4 5 12 meses 
 
 
Administração Financeira 
31 
 
 
25,607.71$)12%,9(000.10]
09,0109,0
109,01
[000.10 12
12
RFRPP 




 
Resolvendo pela HP-12C, temos que: 
 
12 n 
10000 PMT 
9,0 i 
PV 71.607,25 
 
2) Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá 
US$100.000,00, por ano, nos próximos 10 anos. Qual valor do investimento, sabendo-se 
que o empresário trabalha com taxas de 6% a.a.? 
 
 R R R R ............R = R$100.000,00 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 10 Ano 
 
 
 
 
 
P 
 
 
- Fator de Recuperação de Capital (FPR) - série Uniforme ( dado P, achar R) 
 
 R R R R ............R=? 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 n Tempo 
 
 
 
 
 
P 
 
 
 
Administração Financeira 
32 
Sabemos que: 
 
 
P R
i
i i
R FRP i n
n
n





[ ] ( , )
1 1
1

 
 
R P
i i
i
P FPR i n
n
n
 

 
[ ] ( , )
1
1 1
 
 
Exercício Resolvido: 
 
3) Seja um financiamento com as seguintes características: 
 
Principal: R$ 750.000,00 
Taxa efetiva: 7% a.m. 
Quantidade de pagamentos: 6 
Modalidade de pagamento: mensais iguais 
 
Pede-se o valor das prestações nos casos de: 
 
a) pagamento da 1
a
 prestação um mês após a assinatura do contrato (série postecipada) 
 
 R R R R R=? 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 mês 
 
 
 
 
 
 P= R$750.000 
 
 
 
R FPR R  

 
750000
0 07 1 0 07
1 0 07 1
750000 6 350 00
6
6
[
, ,
,
] (7%, ) $157. ,
Utilizando a HP-12C obtemos: 
 
6 n 
750000 CHS PV 
7,0 i 
PMT 157346,85 
 
 
 
Administração Financeira 
33 
b) pagamento da 1
a
 prestação no ato da assinatura do contrato (série antecipada) 
 
Neste caso torna-se necessário trabalhar no fluxo de caixa para podermos utilizar a 
expressão desenvolvida para séries postecipadas. 
 
 R R R R ............R=? 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 mês 
 
 
 
 P= R$750.000 - R 
 
Assim: 750.000 - R = R FRP(7%,5) R = 750.000/(1+FRP(7%,5)) = R$147.053,13 
 
Utilizando a HP-12C obtemos: 
 
g BEG 
6 n (a máquina se encarrega de 
colocar o período 1 no instante 0) 
750000 CHS PV 
7,0 i 
PMT 147.053,13 
 
Não é prática comum de mercado aberto operações em séries antecipadas, 
porém este exercício fica como exemplo da importância do entendimento dos fluxos de 
caixa para resolução de problemas diversos. 
 
- Fator de Acumulação de Capital (FRS) - Série Uniforme ( dado R, achar S) 
 
Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa 
abaixo, que representa um investimento: 
 
 R R R R ............R 
 
 
0 1 2 3 4 n Tempo 
 
 
 S=? 
 
Verificamos que o primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos; no 
instante n seu valor será R(1+i)
n-1
 . O segundo pagamento rende juros durante n-2 
períodos; no instante n vale, portanto, R(1+i)
n-2
. Fato semelhante ocorre com os demais 
pagamentos, observando-se que o penúltimo período e o último não chega sequer a 
produzir juros. O montante S será composto, portanto, de diversas parcelas, cada uma 
decorrente de um dos pagamentos efetuados: 
 
Administração Financeira 
34 
S = R(1+i)
n-1
+ R(1+i)
n-2
+...+R(1+i)+R = R[(1+i)
n-1
+(1+i)
n-2
+...+(1+i)+1]=R[1+(1+i)+ 
+...(1+i)
n-2
+(1+i)
n-1
]  
S R
i
i
R FRS i n
n










( )
( , )
1 1 
 
Exercício Resolvido: 
 
4) O D
r.
 Mário Reis deposita anualmente US$3.000,00 na conta particular que mantém 
na Suíça. Qual será o saldo daqui a 5 anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao 
ano para este tipo de conta? 
S FRS R








 

3000
1 0 08 1
0 08
3000 8%,5 599 80
5
( , )
,
( ) $17. ,
 
 
 
Utilizando a HP-12C obtemos: 
 
 
G END 
5 N 
3000 CHS PMT 
8,0 i 
FV 17599,80 
 
 
- Fator de Formação de Capital (FSR) - Série Uniforme ( dado S, achar R) 
 
Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa abaixo, que 
representa um investimento: 
 
 
 R R R R ............R=? 
 
 
0 1 2 3 4 n Tempo 
 
 
 S 
 
S = R FRS (i, n) 
 
 
Portanto, R = S = S FSR (i, n) 
 R FRS (i, n) 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
35 
Exercício Resolvido: 
 
4) Quanto devemos depositar semestralmente, a uma taxa de juros de 24% a.a., 
capitalizado semestralmente, para termos R$50.000,00 daqui a 7 anos 
 
i = 24% a.a. capitalizado semestralmente = 12% a.s. e n = 7 anos = 14 semestres logo: 
 
 
 R R R R ............R=? 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 14 semestre 
 
 
 
 
 S =R$50.000,00 
 
 
R FSR R









 

50000
012
1 012 1
50000 12%,12 5014.
,
( , )
( ) $1543,
 
 
 
Utilizando a HP-12C obtemos: 
 
 
14 n 
50000 CHS FV 
12,0 i 
PMT 1543,56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
36 
Problemas Propostos para Casa 
 
 
28- Determinar o valor dos depósitos trimestrais, durante um ano de um fluxo de caixa 
capaz de produzir o montante de R$10.000,00, com uma taxa de 6% ao trimestre. 
 
 
29- Uma empresa financia a venda de suas máquinas e equipamentos por um prazo de 
24 meses a uma taxa efetiva de 3,0% a.m. Qual o valor da prestação mensal para uma 
máquina que custa à vista R$50.000,00? (resp: R$2952,37) 
 
 
30- Uma loja de eletrodoméstico financia compras cobrando uma taxa efetiva de 10% 
a.m. Pra um valor financiado de R$ 250.000,00, determine o valor da prestação para as 
seguintes alternativas de pagamento: 
 
i) pagamento em 12 prestações mensais iguais; 
ii) pagamento em 4 prestações quadrimestrais iguais. 
 
 
31- A quantia de R$50.000,00 foi financiada em 12 prestações mensais iguais 
antecipadas. Se o credor cobra juros de 8% a.m., calcular o valor das prestações. 
(resp: R$6.143,29) 
 
32- No exercício anterior, calcular o valor das prestações caso haja um período de 
carência de 3 meses até o pagamento da primeira prestação. 
 
33- Um cidadão deposita anualmente a quantia de R$1.000,00 no final de cada ano 
civil, num banco que paga juros compostos de 10% a.a. Qual será o saldo credor deste 
investidor, imediatamente antes da efetivação do seu quarto depósito anual? 
 
34- Um cidadão efetuou numa Caderneta de Poupança quatro depósitos de R$5000 ao 
final de cada trimestre civil. O saldo acumulado, imediatamente após o depósito do 
último trimestre, era de R$22.500,00. Utilizando a máquina HP 12-C, qual a 
rentabilidade trimestral efetiva dessa Caderneta de Poupança? 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
37 
3- Equivalência de fluxos de caixa 
 
 
Dois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de 
juros e em determinada data, se os respectivos valores atuais naquela data, calculados 
com essa mesma taxa, forem iguais. 
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Dados quatro planos de financiamento de R$1.000,00, apresentado pela tabela 
abaixo, verificar se os mesmos são equivalentes, supondo uma taxa de 8% a.a. 
 
 
Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 
0 
1 80,00 301,92 330,00 
2 80,00 301,92 310,00 
3 80,00 301,92 290,00 
4 1360,49 1080,00 301,92 270,00 
Total R$1360,49 R$1320,00 R$1207,68 R$1200,00 
 
 
 
Vamos trazer todos os valores para data zero. Com isto, têm-se que 
 
PA = 1360,49 FSP(8%,4) = 1360,49 . 0,73503 = R$1000,00 
 
PB = 80,00 FRP(8%,4) + 1080 FSP(8%,4) = R$ 1000,00 
 
PC = 301,92 FRP(8%,4) = R$1000,00 
 
PD = 330 FSP(8%,1) + 310 FSP(8%,2) + 290 FSP(8%,3) + 270 FSP(8%,4) = 
R$1000,00 
 
 
 
Conclusão: Verifica-se então que os quatro planos são equivalentes. 
 
 
 
 
Administração Financeira 
38 
2) Verificar se os fluxos de caixa abaixo são equivalentes a uma taxa de 2% a.m. 
 
 
 R$ 1.126,16 
 
 0 6 meses 
 
 
 R = R$178,53 
 
 meses 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
 R = R$262,62 
 
 
 
 0 1 2 3 4 meses 
 
 R$1.000,00 
 
 
 meses 
 0 
 
 
Calculando o valor atual de cada fluxo de caixa temos: 
 
PA = 1126,16 FSP(2%,6) = R$1000,00 
PB = 178,53 FRP(2%,6) = R$1000,00 
PC = 262,62 FRP(2%,4) = R$1000,00 
PD = R$1000,00 
 
 
 
Conclusão: Verifica-se então que os quatro planos acima são equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
39 
3) Calcular o valor de Z para que os fluxos seguintes sejam equivalentes a 3% a.m. 
 
 
 RA = R$1000,00 
 
 
 meses 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
 Z 
 
 meses 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
 
Igualando os montantes dos dois fluxos temos que: 
 
SA = 1000 FRS(3%,4) = 1000 x 4,18363 = R$4183,63 
SB = Z FPS(3%,2) = Z x 1,0609  4183,63 = Z x 1,0609 
Z = R$3.943,47 
 
 
Exercício Proposto para Casa 
 
35- Verificar se os fluxos de caixa A e B, da tabela a seguir, são equivalentes para uma 
taxa de 2% a.m., em regime de juros compostos. 
 
 
Mês Fluxo A (em R$) Fluxo B (em R$) 
0 - - 
1 - - 
2 270,16 300,00 
3 270,16 - 
4 270,16 350,00 
5 270,16 439,10 
Total 1.080,64 1.089,10 
 
 
 
 
Administração Financeira 
40 
4- Sistemas de amortização 
 
4.1 Definições 
 
i) Amortizações: devolução do principal emprestado; 
 
ii) Juros do período: calculados sobre o saldo do empréstimo não reembolsado (serviço 
da dívida). 
 
iii) Prestação: soma da amortização e juros; 
 
iv) Carência: período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em 
que será paga a primeira prestação. 
 
v) Principais sistemas de amortização: Sistema Francês de Amortização, Tabela 
“Price”, Sistema de Amortização Constante, Sistema Americano de Amortização e 
Sistema Misto. Estes sistemas de amortização serão vistos a seguir: 
 
 
4.2 Sistema Francês de amortização 
 
Mutuário devolve o principal mais os juros em prestações iguais e periódicas. 
 
4.3- Tabela “PRICE” 
 
É um caso especial do Sistema de Amortização Francês, onde a taxa de 
juros é dada em termos nominais (na maioria das vezes anuais) e as prestações tem 
período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (amortizações são feitas em 
base mensal). 
 
 
 
Administração Financeira 
41 
4.4 Sistema de Amortização Constante- SAC 
 
As amortizações são constantes e iguais ao valor do empréstimo dividido pelo 
número de períodos de pagamento. 
 
4.5 Sistema Americano de Amortização 
 
O principal é devolvido numa parcela após o prazo de carência negociado. 
Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e pagos juntamente com o 
principal. 
 
 
4.6 Sistema de Amortização Misto 
 
As prestações correspondem a média aritmética das prestações dos sistemas 
Francês e SAC. Portanto tem-se a seguinte expressão genérica: 
 
 t t tR R RSAM ice SAC( ) (Pr ) ( )  
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
42 
Complete a tabela abaixo com os diferentes planos de pagamentos, relativo a 
um financiamento de 1000 unidades monetárias, a juros de 8% ao ano, em quatro anos. 
 
 
Plano Ano Débito 
no Início 
do Ano 
Juros 
do Ano 
Débito Final 
do Ano 
Antes 
do 
Pagamento 
Pagamentos 
no Final do Ano 
Débito no 
Final do Ano 
depois do 
Pagamento 
 Total Juros Amortização 
P A G A M E N T O A O F I N A L D O S 4 A N O S 
 0 - - - - - - 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00 
A 2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40 
 3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71 
 4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00 
SOMA 1.360,49 360,49 1.000,00 
 
P A G A M E N T O P E R Í Ó D I C O D E J U R O S ( 8 % ) 
 0 - - - - - - 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 
B 2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 
 3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 
 4 1.000,00 80,00 1.080,00 1080,00 80,00 1000,00 0,00 
SOMA 1.320,00 320,00 1.000,00 
 
P R E S T A Ç Õ E S I G U A I S ( S I S T E M A P R I C E ) 
 0 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08 
C 2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,41 
 3 538,41 43,07 581,48 301,92 43,07 258,67 279,56 
 4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00 
SOMA 1.000,00 
 
A M O R T I Z A Ç Õ E S C O N S T A N T E S 
 0 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00 
D 2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00 
 3 500,00 40,00 540.00 290,00 40,00 250,00 250,00 
 4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00 
SOMA 1.200,00 1.000,00 
Fonte: Puccini, 1993 
 
Administração Financeira 
43 
5. Indicadores de análise de projetos 
de investimentos 
 
 
5.1 Valor Presente Líquido (VPL) 
 
O critério do valor presente líquido desconta o fluxo de um investimento a 
um instante prefixado, convencionando-se adotar a data presente. Assim, o valor 
presente de um projeto, a taxa de juros i, é denotado por: 
 P i c ij
j
n j
( ) 


 
1
1
 , onde n é a duração do projeto e (1+i)
j
 é o fator do valor 
presente (FSP(i,n)). 
 
Caso Cj, j=1,2,...,n seja constante e positivo, teremos uma série uniforme, e o valor 
presente poderá ser obtido, como sendo igual a: 
 
P(i) = C0 + Cj FRP(i,n) 
 
Em qualquer dos casos, se P(r)  0, o projeto deverá ser aceito; caso 
contrário, deverá ser recusado. Caso dê igual a zero, é indiferente. Em outra palavras, o 
valor que se atribui, hoje, aos recebimentos futuros supera o valor do investimento 
inicial necessário à implantação do projeto. 
 
Exemplos: 
 
1) Uma companhia estuda a instalação de uma turbina para produção de energia elétrica. 
Atualmente, a energia é comprada por R$280.000,00. A turbina exigiria uma 
investimento inicial de R$1.400.000,00, consumindo anualmente R$58.000,00 de 
manutenção e R$21.000,00 de mão de obra. Sua vida útil seria de 10 anos e os impostos 
de seguro seriam de 3% do investimento inicial. Considerando nulo o valor residual e 
sendo de 12% a taxa de desconto mínima, que decisão deve ser tomada? 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
44 
 
Ano Despesa Receita Fluxo de Caixa 
0 1.442.000 - -1.442.000 
1 79.000 280.000 201.000 
2 79.000 280.000 201.000 
3 79.000 280.000 201.000 
4 79.000 280.000 201.000 
5 79.000 280.000 201.000 
6 79.000 280.000 201.000 
7 79.000 280.000 201.000 
8 79.000 280.000 201.000 
9 79.000 280.000 201.000 
10 79.000 280.000 201.000 
 
P(i) = -1442.000 + 201.000 FRP(12%,10) = -1442.000 + 201.000 . 5.65022 = 
P (i) = 306.305,78. 
 
Conclusão: o projeto não deve ser aceito !! 
 
Resolvendo-se pela HP12-C : neste problema existem duas maneiras de resolvê-la: 
 
i) Utilizando as teclas tradicionais 
 
Dado Tecla Resultado 
10 n 10,00 
12 i 12,00 
201.000 CHS PMT -201.000,00 
 PV 1.135.694,83 
 Enter 1.135.694,83 
1.442.000 CHS -1.442.000,00 
 + -306.305,17 
 
ii) Utilizando a tecla NPV (Net Present Value) 
 
Dado Tecla Resultado Observações 
12 i 12,00 taxa de atratividade 
1.442.000 CHS g 
CFo 
-1.442.000,00 investimento inicial 
201.000 g CFj 201.000,00 fluxo de caixa 
10 Nj 10,00 repetições sucessivas do Fluxo de Caixa 
 f NPV -306.305,17 Valor Presente Líquido 
 
 
 
 
Administração Financeira 
45 
5.2 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que iguala o valor presente 
das receitas ao valor presente do investimento. A TIR é a taxa de desconto máxima que 
garante a viabilidade do projeto. A TIR é a taxa que permite igualar a zero a expressão 
P(i) : 
 
 P i c ij
j
n j
( )  


 
1
1 0
 
 
Normalmente adota-se uma taxa de desconto mínima, chamada de taxa de 
atratividade, para julgar a viabilidade do projeto, da seguinte maneira: se a TIR for 
superior à taxa de atratividade, o projeto é viável. Caso contrário, é inviável. Se igual, é 
indiferente. 
 
A resolução manual deste problema seria através de um método iterativo e 
muito trabalhoso que foge a finalidade do curso. Apresentaremos a resolução pela 
HP12-C, através da resolução do exemplo a seguir: 
 
 
 
 
2) Resolva o exemplo 1, visto anteriormente (pág. 48), utilizando a TIR: 
 
 
Dado Tecla Resultado Observações 
1.442.000 CHS g CFo -1.442.000,00 investimento inicial 
201.000 g CFj 201.000,00 fluxo de caixa 
10 Nj 10,00 repetições sucessivas do Fluxo de Caixa 
 f IRR 6,54 Taxa Interna de Retorno 
 
 
Verifica-se que também pelo critério da TIR o projeto é inviável. 
 
Exercícios Propostos 
 
36- Suponha que um empréstimo de R$6.000.000,00 deva ser pago mensalmente da 
seguinte forma: 
 
Do 1
0
 ao 10
0 
 mês, 10 prestações de R$426.143,00 
Do 11
0
 ao 13
0
 mês, 3 prestações de R$3.621.378,00 
 
Qual a taxa de juros mensal embutida neste plano? (resp: 10,19%) 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
46 
37- É proposta a compra de determinada máquina, no valor de R$92.087,08, para fins 
rentáveis, sendo que o comprador, em perspectiva, tem uma taxa mínima de 
atratividade de 10% a.a..A máquina proporcionará uma receita líquida de R$20.000,00 
no primeiro ano, diminuindo em seguida a base de R$1000,00. O valor estimado de 
revenda daqui a 12 anos é de R$26.000,00. 
 
Pede-se: 
a) Valor Atual 
b) TIR 
c) Compra deve ser efetuada? Por que? 
 
5.3 Outros indicadores utilizados 
 
Além dos indicadores correntes acima citados, Valor Presente Líquido 
(Atual) e Taxa Interna de Retorno, utilizam-se também os indicadores de Tempo de 
Retorno (Pay-Back) e da Taxa de Ganho Global (TGG), que entretanto não pertencem 
ao programa central deste módulo. Contudo, uma indicaçãode literatura a respeito, 
encontra-se na respectiva bibliografia deste material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
47 
5.4- VPL e os planos equivalentes de pagamentos 
 
Considere os seguintes planos equivalentes de pagamentos de um financiamento 
de 1000 unidades monetárias, a juros de 8% ao ano, em quatro anos, do capítulo 
anterior. 
 
Plano Ano Débito 
no Início 
do Ano 
Juros 
do Ano 
Débito Final 
do Ano 
Antes 
do 
Pagamento 
Pagamentos 
no Final do Ano 
Débito no 
Final do Ano 
depois do 
Pagamento 
 Total Juros Amortização 
P A G A M E N T O A O F I N A L D O S 4 A N O S 
 0 - - - - - - 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00 
A 2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40 
 3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71 
 4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00 
SOMA 1.360,49 360,49 1.000,00 
 
P A G A M E N T O P E R Í Ó D I C O D E J U R O S ( 8 % ) 
 0 - - - - - - 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 
B 2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 
 3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 
 4 1.000,00 80,00 1.080,00 1080,00 80,00 1000,00 0,00 
SOMA 1.320,00 320,00 1.000,00 
 
P R E S T A Ç Õ E S I G U A I S ( S I S T E M A P R I C E ) 
 0 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08 
C 2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,41 
 3 538,41 43,07 581,48 301,92 43,07 258,67 279,56 
 4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00 
SOMA 1.000,00 
 
A M O R T I Z A Ç Õ E S C O N S T A N T E S 
 0 1.000,00 
 1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00 
D 2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00 
 3 500,00 40,00 540.00 290,00 40,00 250,00 250,00 
 4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00 
SOMA 1.200,00 1.000,00 
Fonte: Puccini, 1993 
 
Como os planos de pagamentos são equivalentes, o devedor poderia supor que 
estas alternativas são indiferentes entre si. Entretanto, isto só é verdadeiro se a Taxa 
Mínima de Atratividade (TMA) de mercado for de 8%, para o exemplo em questão. 
Apenas para exemplificar, vamos determinar os Valores Presentes Líquidos relativos às 
diferentes taxas mínimas de atratividades de 4%, 8%, 12% e 16%, conforme o quadro 
da página seguinte: 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
48 
 
 
Planos Determinação do Valor Presente Líquido (VPL) – Ponto de Vista do Devedor 
 VPL (4%) VPL (8%) VPL (12%) VPL (16%) 
A (162,95) 0,00 +135,38 +248,61 
B (145,20) 0,00 +121,49 +223,85 
C (95,94) 0,00 + 82,96 + 155,17 
D (92,53) 0,00 +80,22 +150,23 
 
 
VPL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: Apesar dos Planos de Financiamentos A e B serem equivalentes, para uma 
taxa de juros de 8%, se a taxa mínima de atratividade for de 12%, o Plano de 
Financiamento A, do ponto de vista do devedor, é mais interessante do que o do C. Por 
outro lado, caso a taxa de atratividade se modifique, por exemplo, para 4%, a situação 
se inverte, ou seja, o financiamento C, do ponto de vista do devedor, é mais 
interessante do que o do A (Pfeil, 1999). 
C A 
C 
A 
8 12 4 (%) 
VP
L 
 
Administração Financeira 
49 
6. Formulário básico 
 
6.1 Regimes de capitalização 
 
- Regime de Capitalização a Juros Simples: Sn = P (1+i. n) 
 
- Desconto Bancário (D): D = S – P; D = S.n.id 
 
- Juros Compostos: Sn = P (1+i)
n
 
 
 
6.2 Indicadores de análise de investimentos 
 
 
- Taxa Interna de Retorno: 
 
 P i c ij
j
n j
( )  


 
1
1 0
 
 
 
- Valor Presente Líquido (VPL) 
 
 P i c ij
j
n j
( ) 


 
1
1
 
 
 
 
 
 
Administração Financeira 
50 
6.3 Taxas de juros 
6.3.1. Taxas efetivas 
 
a) 3% ao mês, capitalizados mensalmente 
b) 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente 
c) 6% ao semestre, capitalizados semestralmente 
d) 10% ao ano, capitalizados anualmente 
 
 
6.3.2 Taxas proporcionais 
 
 
 
 
 
 
6.3.2 Taxas equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
6.3.3 Taxa nominal 
 
É aquela onde a unidade de referência de seu tempo não coincide com a 
unidade de tempo dos períodos de capitalização. Utilizada comumente nas operações 
entre instituiões financeiras (Zentigraf, 1999), a taxa over é uma taxa nominal mensal 
capitalizada por dia útil (taxa over = taxa ao dia x 30). Para efeito de cálculos o que 
interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal. Exemplos de taxas nominais: 12% 
ao ano capitalizados mensalmente; 24% ao ano capitalizados semestralmente, etc. 
 
 
Taxa Nominal Taxas Efetivas Anuais Equivalentes quando a Capitalização for 
Anual (%) Anual Semestral Trimestral Mensal 
12,0 12,0 12,36 12,55 12,68 
24,0 24,0 25,44 26,25 26,82 
36,0 36,0 39,24 41,16 42,58 
id x 360 = im x 12 = it x 4 = is x 2 = ia 
( 1+id )
360
 = ( 1+im )
12
 = ( 1+it )
4
 = ( 1+is )
2
 = ( 1+ia ) 
 
Administração Financeira 
51 
6.4 Deduções interessantes 
6.4.1 Série uniforme- Prestações iguais 
 
 
 R R R R R 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 n 
 
 
 
 
 
 
         
P
R
i
R
i
R
i
R
i
R
i
n
     
    1 1 1 1 1
2 3 4

 
         
P R
i i i i i
n
     
    
[ ]1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 3 4

 
 
 
O fator em colchetes corresponde aos termos de uma PG, cuja soma é: 
 
 
 n
n
S
a q a
q



1
1
 
 
onde: 
a1  1
o
 termo 
an  último termo 
q  razão 
 
No caso : 
     
1
1
1
1
1
1
1
a
i
q
i
a
i
n n
  
  
, ,
 
 
 
Administração Financeira 
52 
     
 
 
 
n
n n
nS
i i i
i
i
i i

 






















  



1 1 1
1
1 1 1
1
1
1 1
1 
 
 
 
P R
i
i i
R FRP i n
n
n





[ ] ( , )
1 1
1
 
 
Outra forma mais simples: 
 
1 10 1  11  
 = menos 
 
 
P= R/i – {R/[i(1 + i )10] } = R{ 1/i – [1/(i(1 + i )10)] } 
 
6.4.2 Perpetuidade 
 
 
 R R R R .R 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 n 
 
 
 
 
 
 
         
P
R
i
R
i
R
i
R
i
R
i
n
     
    1 1 1 1 1
2 3 4

 
 
 
 
 
Seja a = R/(1 + i); e x= 1/(1 + i) 
 
P= a + ax + ax
2
 + ax
3
 + ax
4
+ ax
5
 + ax
6
+ ax
7
 + ax
8
.......+ ax
n 
(Eq.1) 
 
Administração Financeira 
53 
x P= ax + ax
2
 + ax
3
 + ax
4
+ ax
5
 + ax
6
+ ax
7
 + ax
8
.+ ax
9
......+ ax
n 
(Eq.2) 
 
(Eq.1) menos (Eq.2): 
 
P (1 – x) = a  P = a/(1 - x) 
 
Voltando com os valores de a e x