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i Sumário 1. PROGRAMA ........................................................................................................... 1 1.1 EMENTA .................................................................................................................. 1 1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL ......................................................................................... 1 1.3 OBJETIVOS .............................................................................................................. 1 1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ................................................................................... 2 1.5 METODOLOGIA ....................................................................................................... 2 1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ...................................................................................... 2 1.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ............................................................................... 2 1.8 CURRICULUM VITAE RESUMIDO DO PROFESSOR ....................................................... 3 2. CONCEITOS BÁSICOS ......................................................................................... 4 2.1 FLUXO DE CAIXA ..................................................................................................... 4 2.2 OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................ 4 2.3 FATORES DE PRODUÇÃO .......................................................................................... 4 2.4 JUROS ...................................................................................................................... 5 2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO.................................................................................. 5 2.6 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES ....................................................... 6 2.7 OPERAÇÕES DE DESCONTO .................................................................................... 13 2.7.1 DESCONTO SIMPLES “POR FORA” (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL) .......................... 13 2.7.2. DESCONTO “POR DENTRO”(OU RACIONAL) ........................................................... 16 2.8 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS ............................................... 17 2.8.1 UTILIZAÇÃO DE TABELAS ..................................................................................... 22 2.8.2 TECLAS FINANCEIRAS DA HP-12C ........................................................................ 22 2.9 TAXAS DE JUROS.................................................................................................... 25 2.10 SÉRIE UNIFORME - PRESTAÇÕES IGUAIS .............................................................. 29 2.10.1 ANUIDADES ....................................................................................................... 29 3- EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ...................................................... 37 4- SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ....................................................................... 40 4.1 DEFINIÇÕES ........................................................................................................... 40 4.2 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................... 40 4.3- TABELA “PRICE” ............................................................................................... 40 4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC ................................................... 41 ii 4.5 SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO ............................................................. 41 4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO ...................................................................... 41 5. INDICADORES DE ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS ......... 43 5.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ....................................................................... 43 5.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ...................................................................... 45 5.3 OUTROS INDICADORES UTILIZADOS ...................................................................... 46 5.4- VPL E OS PLANOS EQUIVALENTES DE PAGAMENTOS ............................................ 47 6. FORMULÁRIO BÁSICO ..................................................................................... 49 6.1 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO................................................................................ 49 6.2 INDICADORES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ..................................................... 49 6.3 TAXAS DE JUROS.................................................................................................... 50 6.3.1. TAXAS EFETIVAS................................................................................................. 50 6.3.2 TAXAS PROPORCIONAIS ........................................................................................ 50 6.3.2 TAXAS EQUIVALENTES ......................................................................................... 50 6.3.3 TAXA NOMINAL ................................................................................................... 50 6.4 DEDUÇÕES INTERESSANTES ................................................................................... 51 6.4.1 SÉRIE UNIFORME- PRESTAÇÕES IGUAIS ................................................................. 51 6.4.2 PERPETUIDADE .................................................................................................... 52 6.4.3 TAXAS DE JUROS REAIS ........................................................................................ 53 6.5 RENTABILIDADE DE JUROS SIMPLES VERSUS COMPOSTOS ..................................... 54 7. DICAS PARA A UTILIZAÇÃO DA HP-12 C ..................................................... 55 7.1 FLUXO DE CAIXA DA EMPRESA INTERLINKS INC. ................................................... 55 7.2 TROCANDO OS VALORES DO FLUXO DE CAIXA ....................................................... 58 7.3 CÁLCULO DA TAXA INTERNA DE RETORNO .......................................................... 60 7.4 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO............................................................. 60 7. 5 TABELA PRICE ...................................................................................................... 60 8. MANUAL DE UTILIZAÇÃO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS .................... 63 8.1 FUNÇÕES FINANCEIRAS BÁSICAS EM PLANILHAS ELETRÔNICAS ........................... 63 8.2 EXPRESSÕES DAS FUNÇÕES FINANCEIRAS BÁSICAS ................................................ 64 8.3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ...................................................................................... 65 8.3.1 CÁLCULO DA PRESTAÇÃO – FUNÇÃO PGTO (TAXA; NPER; VP; VF; TIPO) ............... 65 8.3.2 CÁLCULO DO VALOR ATUAL – FUNÇÃO VP(TAXA; NPER; PGTO; VF; TIPO) ............. 66 8.3.3 CÁLCULO DO VALOR FUTURO – FUNÇÃO VF(TAXA; NPER; PGTO; VP; TIPO) ........... 66 8.3.4 CÁLCULO DA TAXA DE JUROS – TAXA (NPER; PGTO; VP; VF; TIPO; ESTIMATIVA) ... 67 8.3.5 CÁLCULO DO PRAZO – FUNÇÃO NPER (TAXA; PGTO; VP; VF; TIPO) ........................ 67 8.3.6 SISTEMA PRICE – FUNÇÕES PPMT E IPMT .......................................................... 68 8.3.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES ........................................................... 68 8.3.8 FLUXOS DE CAIXA NÃO HOMOGÊNEOS ................................................................. 69 8.3.9 GRÁFICO DO VALOR ATUAL VERSUS TAXA DE DESCONTO .................................... 70 iii 9. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO .............................................................................. 71 10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS - SOLUÇÃO ....................................................... 79 10.1 REGIME DE CAPITALIZAÇÃOA JUROS SIMPLES ................................................... 79 10.2 OPERAÇÃO DE DESCONTO ................................................................................... 81 10.3 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTO ............................................... 83 10.4 TAXAS DE JUROS .................................................................................................. 86 10.5 SÉRIE UNIFORME – PRESTAÇÕES IGUAIS .............................................................. 90 10.6 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA .................................................................. 92 10.7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ............................................................................... 93 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .......................................................................... 96 Administração Financeira 1 1. Programa 1.1 Ementa Taxa de juros. Proporcionalidade e equivalência de taxas. Operações de desconto. Valor atual líquido e taxa interna de retorno. Equivalências de capitais; equação de valor. Amortização de dívidas. 1.2 Carga horária total - 16 horas 1.3 Objetivos - Sensibilizar os alunos sobre a importância dos conceitos básicos de matemática financeira, bem como da metodologia e utilização da taxa interna de retorno e do valor presente líquido, nas análises e avaliações de projetos de investimentos. - Permiti-los perceber, de forma imediata, a importância das aplicações da matemática financeira na área de logística, utilizando a calculadora eletrônica HP 12-C, bem como as Planilhas Eletrônicas Excel da Microsoft Corporation. Administração Financeira 2 1.4 Conteúdo programático Taxa de juros. Proporcionalidade e equivalência de taxas. Operações de desconto. Regime de capitalização a juros simples Regime de capitalização a juros compostos Taxas de juros Séries uniformes antecipadas e postecipadas e perpétuas Equivalências de capitais; Equivalência de fluxos de caixa Amortização de dívidas. Valor atual líquido e taxa interna de retorno. Sistemas de amortização Conceituação de taxa mínima de atratividade Valor Presente Líquido (VPL) Taxa Interna de Retorno (TIR) 1.5 Metodologia Exposição dialogada, discussão de estudo de casos de operações comerciais e financeiras, resolução de exercícios com incentivo à utilização da calculadora eletrônica, HP 12-C, e planilha eletrônica. 1.6 Critérios de avaliação Prova escrita (peso de 80%) e resolução da lista de exercícios (peso de 20%). 1.7 Bibliografia recomendada DE FARO, Clóvis: Princípios e Aplicações do Cálculo Financeiro; 2 a edição; LTC- Livro Técnico e Científico Editora Ltda.; 1995. HIRSCHFELD, Henrique: Engenharia Econômica e Análise de Custos; Editora Atlas; 1998. LAPPONI, Juan Carlos: Excel & Cálculos Financeiros; introdução à modelagem financeira; Lapponi Treinamentos & Editora; 1999. PUCCINI, Abelardo de Lima: Matemática Financeira: objetiva e aplicada; LTC- Livro Técnico e Científico Editora Ltda.; 5 a edição; 1993 (utilização da HP-12C e Planilha Eletrônica). Administração Financeira 3 1.8 Curriculum Vitae resumido do professor Paulo Pfeil é Doutor em Engenharia de Produção, Engenheiro Civil e Economista pela Universidade Federal Fluminense (UFF). Possui o Curso de Comercialização e Suprimento de Petróleo e Derivados (COSUP) da Petrobrás. Sua experiência profissional inclui o cargo de trader na comercialização externa de derivados de petróleo na Petrobrás, produtos e serviços na Interlinks (Flórida, USA); docência em diversas Instituições de Cursos de Pós-Graduação, Programas de Treinamento da Associação de Bancos no Estado do Rio de Janeiro (ABERJ) e Associação Nacional das Instituições do Mercado Aberto (ANDIMA), bem como consultoria em diversas instituições e empresas (FIRJAN, Petrobrás, White Martins, etc.). Professor Adjunto IV do Depto. de Engenharia de Produção da UFF, Setor de Finanças e Gestão de Investimentos, e Coordenador do Convênio de Cooperação Técnico-Científica UFF/Universidade de Ulm, Alemanha. É também o Coordenador Acadêmico dos Programas de Extensão Internacional do LATEC/UFF na Alemanha, nas Áreas de Gestão de Saúde; Meio Ambiente e Segurança Ocupacional; Business & Marketing e de Energias Alternativas. Administração Financeira 4 2. Conceitos básicos 2.1 Fluxo de caixa - Definição: conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. - Convenção: o fluxo de caixa pode ser representado pelo diagrama abaixo: 2.2 Objetivo da matemática financeira Estudar a evolução do dinheiro ao longo do tempo. 2.3 Fatores de produção Em relação à economia, os fatores de produção são constituídos de trabalho, capital, recursos naturais, tecnologia e capacidade empresarial. A cada fator de produção está associada uma remuneração que são: salário, juro, aluguel e lucro. 1 2 n Pagamento (-) Recebimento (+) Tempo Administração Financeira 5 2.4 Juros Remuneração atribuída ao fator de capital, isto é, se 100 unidades de moeda são trocadas hoje por 105 a serem recebidas daqui a um ano, o prêmio sobre a quantidade de moeda em termos de moeda futura são 5 unidades. 2.5 Regimes de capitalização É o processo de formação de juros e a maneira com que são incorporados ao capital. - Regime de Capitalização a Juros Simples: os juros são calculados sempre em função do capital inicial empregado. Exemplo: - Suponha que uma pessoa entregou R$100,00 a um banco que paga juros simples a razão de 10% ao período. Calcule o saldo credor no final de cada um dos quatro períodos. Período Saldo no início de cada período Juros acumulados no período Saldo no final de cada período - - - 100,00 1 o 100,00 0,1 x 100 = 10,00 110,00 2 o 110,00 0,1 x 100 = 10,00 120,00 3 o 120,00 0,1 x 100 = 10,00 130,00 4 o 130,00 0,1 x 100 = 10,00 140,00 - Regime de Capitalização a Juros Compostos: os juros são calculados sempre em função do saldo existente no início do período correspondente. Exemplo: - Suponha que para o problema anterior, os juros pagos sejam compostos. Calcule o saldo credor no final de cada um dos quatro períodos. Administração Financeira 6 Período Saldo no início de cada período Juros acumulados no período Saldo no final de cada período - - - 100,00 1 o 100,00 0,1 x 100 = 10,00 110,00 2 o 110,00 0,1 x 110 = 11,00 121,00 3 o 121,00 0,1 x 121 = 12,10 133,10 4 o 133,10 0,1 x 133,10 = 13,31 146,41 2.6 Regime de capitalização a juros simples O regime de juros simples é empregado em certas operações típicas de curto prazo, como as aplicações no chamado Open Market (Mercado Aberto). - Dedução da Fórmula P = Principal ou Capital Inicial n = número de períodos i = taxa de juros S = montante A partir do principal P, queremos obter o valor do montante S, sabendo que S = P + J, sendo J o total de juros, isto é, o principal P submetido a taxa de juros i, durante o prazo de n períodos. Assim, teremos: J = P.i.n, onde S = P + J S = P + P.i.n S = P(1+n.i) Outra maneira de se chegar a essa expressão é a partir do fato do montante crescer de acordo com uma progressão aritmética.De acordo com a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, temos: an = a1 + (n-1).r Sendo: an último termo a1 primeiro termo r razão Em nosso caso: a1 = S1 e an = Sn Administração Financeira 7 Sn= S1 + (n-1).r Lembrando: S1 = P(1+i) r = P.i Temos: Sn= P(1+i) + (n-1).P.i Sn= P + P.i + (n-1).P.i = P + P.i + n.P.i -P.i Sn= P.(1+n.i) Como, porém, n é um período qualquer, podemos supor que Sn= S = montante final. S = P.(1+ n.i) - Aplicação Básica Calcular o montante obtido pela aplicação de um capital de R$ 100.000,00 pelo prazo de 1 ano, à taxa de 5% ao mês. P = R$ 100.000,00 n = 1 ano 12 meses i = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 Solução S = P.(1+ n.i) S = 100.000.(1 + 12 . 0,05) S = 100.000.(1 + 0,60) S = R$ 160.000,00 A partir desse enunciado padrão, podemos resolver uma série de exercícios de juros simples, em grupos, de acordo com a incógnita que queremos determinar. 1 o Grupo : Dados P, n, i, achar S 1) P = R$ 100.000,00 i = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 n = 12 meses S = P (1+ n.i) = 100.000(1+12.0,02) = R$ 124.000,00 2) P = R$ 300.000,00 i = 7,5% ao mês = 7,5/100 = 0,075 n = 1,5 ano 18 meses S = P (1+ n.i) = 300.000 (1+18*0,075) = R$ 705.000,00 Administração Financeira 8 3) P = R$ 700.000,00 i = 24,56% ao trimestre = 24,56/100 = 0,2456 n = 2 anos 2 . 4 = 8 trimestres S = P (1+ n.i) = 700.000 (1 + 8. 0,2456) = R$ 2.075.360,00 4) P = R$ 800.000,00 i = 84% ao ano = 84/100 = 0,84 n = 10 meses 10/12 ano S = 800.000 ( 1 + (10/12).0,84) = R$1.360.000,00 5) P = R$ 1.000.000,00 i = 40% ao semestre n = 2,5 anos 5 semestres S = 1.000.000 (1 + 5*0,40) = R$ 3.000.000,00 Exercícios Propostos para Casa 1- P = R$ 600.000,00 i = 10,38% ao mês n = 5 trimestres S = ? 2- P = R$ 900.000,00 i = 20% ao ano n = 5 anos S = ? 2 o Grupo : Dados S, n, i, achar P 1) S = R$ 150.000,00 i = 5% ao mês n = 12 meses P = ? P S ni x ( ) . ( , ) . ,1 150 000 1 12 0 05 150 000 1 6 , onde P = R$ 93.750,00 2) S = R$ 200.000,00 i = 25% ao trimestre n = 1 ano 4 trimestres P = ? Administração Financeira 9 P S ni x ( ) . ( , ) . 1 200 000 1 4 0 25 200 000 2 P = R$ 100.000,00 3) S = R$ 600.000,00 i = 6,25% ao mês n = 2 semestres 12 meses P = ? P S ni x ( ) . ( , ) . ,1 600 000 1 12 0 0625 600 000 1 75 P = R$ 342.857,14 4) S = R$ 450.000,00 i = 96% ao ano n = 10 meses 10/12 ano P = ? P S ni x ( ) . , . ,1 450 000 1 10 12 0 96 450 000 1 8 P = R$ 250.000,00 Exercícios Propostos para Casa: 3- S = R$ 400.000,00 i = 10% ao mês n = 30 meses P = ? 4- S = R$ 150.000,00 i = 9,36% ao mês n = 6 meses P = ? 5- S = R$ 1.546.000,00 i = 14,4% ao mês n = 3 anos P = ? Administração Financeira 10 6- S = R$900.000,00 i = 20% ao trimestre n = 2,5 anos P = ? 7- S = R$ 1.000.000 i = 40% ao semestre = 40/100 = 0,40 n = 2,5 anos 5 semestres 3 o Grupo: Dados S,P,n, achar i 1) S = R$ 366.000,00 P = R$ 150.000,00 n = 8 trimestres i = ? S P n i n i S P n i S P i S P n ( ) ( )1 1 1 1 i a t 366000 150000 8 018 18% 1. . , . . 2) S = R$760.000,00 P = R$ 400.000,00 n = 9 meses i = ? i a m 760000 400000 9 01 10% 1. . , . . 3) S = R$172.000,00 P = R$ 100.000,00 n = 12 meses i = ? i a m 172 000 100000 12 0 06 6% 1. . , . . Administração Financeira 11 4) S = R$ 249.600,00 P = R$ 120.000,00 n = 20 meses i = ? i a m 249 600 120000 20 0 054 5 4% 1. . , , . . Exercícios Propostos para Casa 8- S = R$ 885.000,00; P = R$ 300.000,00; n = 5 semestres; i = ? 9- S = R$ 930.000,00; P = R$ 170.000,00; n = 16 trimestres; i = ? 10- S = R$ 170.000,00; P = R$ 98.000,00; n = 3 anos; i = ? 11- S = R$ 386.000,00; P = R$ 136.000,00; n = 36 meses; i = ? 4 o Grupo: Dados S,P,i, achar n 1) S = R$ 1.070.000 P = R$ 500.000 i = 12% ao mês n = ? n meses 1070000 500000 1 012 9 5 . . . , , 2) S = R$ 400.000 P = R$ 250.000 i = 80% ao ano n = ? Administração Financeira 12 n ano mesesx 400000 250000 1 0 80 0 75 75 100 12 9 . . , , 3) S = R$ 368.000 P = R$ 200.000 i = 7% ao mês n = ? n meses 368000 200000 1 0 07 12 . . , 4) S = R$ 896.000 P = R$ 700.000 i = 8% ao ano n = ? n anos 896000 700000 1 0 08 35 . . , , Exercícios Propostos para Casa 12- S = R$ 154.000 P = R$ 100.000 i = 4,5% ao mês n = ? 13- S = R$ 660.000 P = R$ 300.000 i = 6,0% ao trimestre n = ? Administração Financeira 13 2.7 Operações de desconto Um título possui um valor chamado Nominal (ou Valor de Face) que vem declarado nele. É o que ele vale no dia do seu valor de vencimento. Entretanto, antes do vencimento, o título tem um valor menor do que o nominal. O valor do título em data que precede seu vencimento é chamado Valor Atual (Gutierrez, 1999). Tendo em vista os conceitos de valor nominal e de valor atual, concluímos, a priori, que o desconto D nada mais é do que a diferença entre o valor nominal do compromisso e o seu valor atual na data do desconto. Desta forma, o desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor futuro (valor na data de resgate) e o valor atual do título (valor na data de operação). D = S – P; sendo: D = Valor monetário do desconto; S = Valor futuro (na data de vencimento) e P = Valor atual ( na data de operação) São conhecidos dois tipos de descontos simples, desconto simples e o desconto racional, que serão vistos a seguir: 2.7.1 Desconto simples “por fora” (ou bancário ou comercial) Obtido multiplicando-se o valor do resgate do título pela taxa de desconto. Essa modalidade é amplamente usada nas operações bancárias. Portanto, teremos: D = S - P (1) D = S.n.i (2) Sendo: D desconto n prazo a decorrer até o vencimento id taxa de desconto É preciso lembrar que n e id devem ser expressos em unidades de tempo compatíveis. A incógnita na operação de desconto é o principal. De (1) podemos obter: P = S - D Substituindo D pela expressão obtida em (2): P = S - S.n.id = S (1 - n. id) (3) A fórmula do desconto simples “por fora” (D = S.id.n) é similar a dos juros, no sistema de capitalização simples ( J = P.i.n). A diferença fundamental é que, no desconto, a taxa de juros incide sobre o montante ou valor de resgate. Administração Financeira14 Exemplos: 1) Qual o valor do desconto bancário simples de um título de R$2.000,00, com vencimento para 93 dias, a taxa de 10% a.m.? S = 2.000,00; id = 10% a.m. n = 93 dias D = 2000.0,1.(93/30) = R$620,00 2) Qual a taxa mensal de desconto bancário simples utilizada numa operação de 112 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 550,00. S = 1000,00 P = 550,00 n = 112 dias D = S.id.n D = S - P D = 1000 - 550 = 450 id = D/(S.n) = 450/(1000x(112/30)) = 0,1205 = 12,05% a.m. 3) Uma duplicata no valor de R$6.800,00 no vencimento e descontado por um banco, gerando um crédito de R$5.100,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 6,50% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata. S = 6.800 P = 5.100 id = 6,5% a.m. D = S - P = 6.800 - 5.100 = 1.700 D = S.id.n n = D/(S.id) = 1.700/(6800x0,065) = 3,8462 meses ou 115,38 dias 4) Uma duplicata de R$100.000,00 foi resgatada 3 meses antes do vencimento, a taxa de 9,90% ao mês. Qual o valor atual da operação ? S = 100.000 n = 3 meses id = 9,90% a.m. D = S.id.n = 100.000x0,099 x 3 = 29.700 P = S - D = 100.000 - 29.700 = R$70.300,00 5) Um banco comercial realiza as suas operações de desconto de duplicatas com uma taxa de desconto de 2% a.m., porém exige saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade bancária. Esse banco foi procurado por uma empresa para descontar R$1.000.000,00 de duplicatas, todas com vencimento dentro de 3 meses. Determinar o valor a ser creditado na conta da empresa e a taxa de rentabilidade mensal do banco, a juros simples, sem o saldo médio e com saldo médio. Administração Financeira 15 i) sem saldo médio S = 1.000.000 D = S . id . n = 1.000.000 x 0,02 x 3 = 60.000 P = 1.000.000 - 60.000 = R$940.000,00 S = P(1+in) (1+3i) = 1.000.000/940.000 = 1,06383 i = (1,06383-1)/3 i = 0,021277 i = 2,1277% a.m. ii) com saldo médio saldo médio = 0,3 x 1.000.000 = 300.000 P = 1.000.000 - 60.000 - 300.000 = R$640.000 Como já estão retidos R$300.000,00 a empresa só desembolsará apenas R$700.000,00. Logo a taxa de rentabilidade será: i = ((700.000/640.000)-1)/3 = 0,03125 = 3,125% a.m. Verifica-se então que a exigência de saldo médio de 30% elevou o custo da operação para a empresa, de 2,128% a.m. para 3,125% a.m., no regime de juros simples. Exercícios Propostos para Casa 14- Uma empresa de Niterói deseja descontar duplicatas num banco comercial que lhe oferece uma taxa de desconto de 2% a.m., juros simples. Sabe-se que a 1 a duplicata é de R$10.000,00 e tem vencimento dentro de 90 dias, e que a 2 a duplicata é também de R$10.000,00, mas de vencimento em 180 dias. Considerando que os meses têm 30 dias, determinar o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa. Resposta: R$ 18.200,00 15- Um banco comercial de S. Gonçalo, RJ, empresta R$150.000,00 a um cliente, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% a.m., juros simples, pagos antecipadamente. Além disso, o banco exige um saldo médio de R$45.000,00 ao longo de todo o período do empréstimo. Calcular o custo para o cliente, desta operação de desconto de duplicata, em juros simples e compostos. Administração Financeira 16 2.7.2. Desconto “por dentro”(ou racional) Obtido pela multiplicando-se o valor atual do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. Diferentemente do desconto por fora (bancário ou comercial), não tem aplicação prática. O desconto “por dentro” corresponde ao juro simples, calculado sobre o valor atual do título. Será designado por DR. Então: DR = P.r.n Como P = S - DR P = S - P.r.n P + P.r.n = S P = S/(1+r.n) ( observe a semelhança calculo do principal no regime de juros simples) Exemplo: Um título de R$100.000,00 sofre desconto racional de 9,90% a.m. , 3 meses antes do seu vencimento. Calcule o valor atual e o desconto. P = 100.000/(1+0,099.3) = R$77.101,00 D = S - P = 100.000 - 77.101 = R$22.899,00 Observação entre os conceitos de Desconto Comercial e Desconto Racional O desconto comercial é sempre maior que o racional. Na prática, apenas o desconto comercial é empregado. Entretanto, seu uso limita-se às operações de curto prazo, pois, para prazos longos, seu cálculo se torna impraticável, podendo o valor do desconto ultrapassar o próprio valor nominal do título. Administração Financeira 17 2.8 Regime de capitalização a juros compostos Neste caso, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no início do período correspondente. A remuneração é efetuada sobre bases variáveis, por acumulação da remuneração sobre as bases imediatamente anteriores. - Dedução da Fórmula S1 = P + iP = P (1+i) S2 = S1 + i S1 = S1 (1+i) = S1 (1+i) 2 . Sn = P (1+i) n Se quisermos uma expressão que nos dê o principal, dado o montante, a taxa e o prazo, faremos: Sn = P (1+i) n P = Sn / (1+i) n O prazo n e a taxa i devem estar sempre na mesma unidade de tempo. Uma outra maneira de se chegar a essa expressão é a partir do fato do montante crescer de acordo com uma progressão geométrica. Lembrando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos: an = a1 . q n-1 Sendo: an último termo q razão Em nosso caso: an = Sn e a1 = S1 Sn = S1 . q (n-1) Lembrando que: S1 = P(1+i), q = (1+i) S = Sn = P (1+i) (1+i) (n-1) S = P (1+i)n * Observações: i) Para n<1, o montante cresce mais rapidamente a juros simples do que a juros compostos, dada a mesma taxa de juros por período de capitalização; ii) Para n = 1, o montante do ponto de vista do regime de juros simples é idêntico ao de juros compostos, de vez que P(1+ni) = P(1+i) n para n = 1, dada a mesma taxa de juros por período de capitalização; iii) Para n>1, o montante cresce mais rapidamente ao longo do tempo no regime de juros compostos do que no de simples, dada a mesma taxa de juros por período de capitalização; iv) A curva no regime de juros compostos é exponencial (progressão geométrica) enquanto no de juros simples é linear (progressão aritmética). Administração Financeira 18 - Exercício Padrão Determinar o montante relativo a empréstimo de R$100.000,00 pelo prazo de 1 ano na taxa de 5% ao mês. Em juros compostos a compatibilização dos dados é obrigatoriamente feita em função da taxa de juros porque é ela que define o período de capitalização. Desta forma, a compatibilização será, no caso, passar o prazo de 1 ano para 12 meses. S = P(1+i) n = 100.000(1+0,05) 12 = R$179.585,63 - Outros Exercícios 1 o Grupo: Dados P, n e i achar S 1) P = R$100.000,00 i = 2% ao mês n = 12 meses S = ? S = 100.000(1+0,02) 12 = R$126.824,18 2) P = R$300.000,00 i = 14,5% ao mês n = 4 semestres 24 meses S = 300.000(1 + 0,145) 24 = R$7.734.868,50 3) P = R$600.000,00 i = 10,38% ao mês n = 5 trimestres 15 meses S = 600.000(1 + 0,1038) 15 = R$2.639.411,50 4) P = R$800.000,00 i = 84% ao ano n = 10 meses 10/12 ano S = 800.000(1 + 0,84) (10/12) = R$1.329.754,60 5) P = R$700.000,00 i = 24,56% ao trimestre n = 2 anos 8 trimestres S = 700.000(1 + 0,2456) 8 = R$4.056.269,80Administração Financeira 19 2 o Grupo: Dados S, n,i achar P 1) S = R$10.000,00 i = 10% a.a n = 5 anos S = P(1+i) n P S i n 1 P R 10000 1 01 5 209 00. , $6. , 2) S = R$1.000,00 i = 12% a.m. n = 12 meses 68,256$ 12,01 1000 12 RP 3) S = R$10.000,00 i = 6% a.s. n = 3 anos 6 semestres 31,066.5$ 12,01 10000 6 RP 4) S = R$14.000,00 i = 15% a.a. n = 6 anos 59,052.6$ 15,01 14000 6 RP 3 o Grupo: Dados S, P, n achar i 1) S = R$ 172.000,00 P = R$ 100.000,00 n = 12 meses i = ? S = P(1+i) n 1 1 12 1 1 0 462 4 62% 172 000 100000 / / . . , , . . n S P i a m Administração Financeira 20 2) S = R$366.000,00 P = R$ 150.000,00 n = 8 trimestres i = ? 1 8 366000 150000 1 0 1179 11 79% / . . , , . . a t 3) S = R$360.000,00 P = R$ 180.000,00 n = 4 anos i = ? 14 360000 180000 1 0 1892 18 92% . . , , . . a a 4) S = R$885.000,00 P = R$ 300.000,00 n = 5 semestres i = ? ..%16,242416,01 000.300 000.885 5/1 sa 5) S = R$760.000,00 P = R$400.000,00 n = 9 meses i = ? .1 %39,7 000.400 000.760 9/1 a.m. 4 o Grupo: Dados S, P, i achar n 1) S = R$368.000,00 P = R$200.000,00 i = 7% ao mês n = ? .S = (1+i) n lnS = lnP + nln(1+i) n = (lnS - lnP)/ln(1+i) = Administração Financeira 21 = (ln368.000-ln200.000)/ln(1+0,07) = 9,01 meses 2) S = R$400.000,00 P = R$250.000,00 i = 80% ao ano n = ? n = 0,79 ano 3) S = R$660.000,00 P = R$300.000,00 i = 6% ao trimestre n = ? n = 13,53 trimestres 4) S = R$1.070.000,00 P = R$500.000,00 i = 12% ao mês n = ? n = 6,71 meses 5) S = R$154.000,00 P = R$100.000,00 i = 4,5% ao mês n = ? n = 9,81 meses Exercícios Propostos para Casa 16- Qual o montante acumulado em 6 anos, a uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos, a partir de um principal igual a R$100,00? (resp: R$177,16) 17- Quanto se deveria pagar hoje para se ter direito de receber R$10.000,00 daqui a 5 anos, a juros de 10% ao ano? (resp: R$6.209,00) 18- Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.? (resp: 5 meses) 19- Qual o valor da taxa de juros compostos aplicada a um capital de R$13.200,00, para que o mesmo se transforme em R$35.112,26, se o período de aplicação for de 7 meses? (resp:15% a.m.) 20- Uma pessoa abre uma poupança depositando R$2.000,00. Daqui a 2 meses a pessoa deve fazer um depósito de R$2.500,00 e daqui a 4 meses pretende sacar a poupança R$1.300. Qual deverá ser o saldo da poupança ao final do 5o mês se a taxa de juros composta ganha for de 15% a.m.? (resp: R$6.329,90) Administração Financeira 22 2.8.1 Utilização de tabelas O instrumental utilizado a seguir foi muito utilizado antes do advento das calculadoras financeiras, e achamos oportuno apresentá-las aqui e nos outros capítulos a seguir. Primeiramente apresentaremos neste capítulo dois fatores, quais sejam: - Fator de Acumulação de Capital - Pagamento Simples (FPS) Este fator é utilizado quando dado P, achar S, temos então: S = P(1+i)n = P FPS(i,n) Exemplo: Qual o montante daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.000,00 a 2,5% a.m.? S = P FPS(2,5%,12) = 1000 . 1,34489 = R$1.344,89 - Fator de Valor Atual - Pagamento Simples (FSP) Este fator é utilizado quando dado S, achar P, temos então: P S i n 1 P = S . FSP(i,n) Exemplo: Um capital aplicado durante 6 anos à taxa de juros composta de 15% a.a. transformou-se em R$14.000,00. Encontrar o capital inicial aplicado. P = S. FSP( 15%,6) = 14000 . 0,43233 = R$6052,62 2.8.2 Teclas financeiras da HP-12C TECLAS DESCRIÇÃO n armazena ou calcula o número de períodos i armazena ou calcula a taxa de juros por período composto (é expressa em percentagem) PV armazena ou calcula o valor presente (principal) CF0 Para cálculos no regime de juros simples é preferível não utilizar as teclas financeiras, pois elas irão complicar o elementar caminho algébrico. Um cuidado que se deve ter, quando estiver sendo usada a capitalização composta, é que esteja aceso o anúncio “c” na parte inferior direita do visor. Este anúncio faz com que seja adotado, na parte fracionária do período, o regime de capitalização composta Se ele não estiver aceso, a máquina usa a chamada “convenção linear”, em que juros são calculados de acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários. Para colocar o anúncio Administração Financeira 23 “c” no visor basta pressionar STO EEX. Para que desapareça, só é preciso pressionar novamente STO EEX. - Seja calcular o montante produzido pela aplicação de R$1.000,00 durante 75 dias a uma taxa de 17% ao mês no regime de capitalização composta. TECLAS FINANCEIRAS - HP12C STO EEX f CLEAR FIN 75 ENTER 30 : n 17 i 1000 CHS PV FV 1.480,69 . Máquina sem o anúncio “c” do visor ( como a máquina possui memória contínua, não precisamos introduzir novamente os dados) STO EEX FV 1.485,26 Vamos reconstituir o que a máquina fez: 75 dias são 75/30 = 2,5 meses No período inteiro, dois meses, a máquina usou capitalização composta. S = P(1+i) n S = 1000(1,17)2 = R$1368,90 No período fracionário de quinze dias, usará capitalização simples. Lembrando que S = P(1+in) S = 1368,9[1+0,17(15/30)] = R$1485,26 Face ao exposto, deve-se sempre trabalhar com o anúncio “c” no visor. - Cálculo do período com a rotina financeira O cuidado que se deve ter ao usar a rotina financeira para calcular o período é lembrar que a HP-12C arredonda para o inteiro seguinte, se número é fracionário, o que pode distorcer os resultados. Exemplo: Em que período uma aplicação de R$1.000,00 produz um montante de R$1.480,69 a uma taxa de juros compostos de 17,00% ao mês? Primeiro, vamos determinar o período usando a fórmula para obter o valor exato. n S P i ln ln ln 1 n ln ln ln , , 1.480,69 1000 1 0 17 2 5 meses Administração Financeira 24 HP 12-C 1480.69 g LN 1000 g LN - 1,17 ENTER g LN / 2,5 Usando a rotina financeira, temos: HP – 12C f CLEAR FIN 17 i 1000 CHS PV 1480,69 n = 3 meses Supondo que não tivéssemos alternativa para encontrar o período a não ser a rotina financeira, indicaríamos um processo iterativo para obter o período correto, no qual usamos a vantagem da máquina ter memória contínua. i) Pressionando a tecla FV para ver qual o montante produzido com n = 3, teríamos 1601,61, valor diferente do verdadeiro(1480,69), de onde concluímos que n = 3 não é o período correto. ii) Como o montante obtido com n = 3 é maior, introduzir um período menor, por exemplo, n = 2: 2 nFV 1368.9 < 1480.69, de onde concluímos que n = 2 é o período correto iii) Como o montante obtido é menor, deve-se, então, partir o intervalo ao meio, ou seja, n = 2,5, e introduzir: 2.5 n FV 1480,69=1480.69, de onde concluímos que n = 2 é o período correto Administração Financeira 25 2.9 Taxas de juros - Taxa Efetiva: a unidade de referência de tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Neste caso, não se menciona o período de capitalização, pois está implícito que é o mesmo. Exemplo: 18% ao ano capitalizado anualmente = 18% ao ano. - Taxa Nominal: é aquela na qual a unidade de referência temporal (ano) não coincide com a unidade de tempo dos períodos de captação (mês). Exemplo: 18,0% ao ano capitalizado mensalmente. - Taxas Equivalentes: São aquelas que, com períodos de capitalização diferentes, transformam um mesmo capital P num mesmo montante S durante um mesmo prazo. Para comprovarmos a teoria que está por trás das taxas equivalentes, vamos ver na prática como acontece. Suponhamos um mesmo capital de 100 aplicados pelo prazo de um ano na taxa de 36% ao ano e calculemos o montante, desprezando as casa decimais. 1 a Situação P = 100 n = 1 ano i = 36% a.a S = 100(1+0,36) = 136 2 a Situação P = 100 n = 12 meses i = 2,6% a.m. S = 100(1+0,026) 12 = 136 3 a Situação P = 100 n = 4 trimestres i = 8% a.t. S = 100(1+0,08) 4 = 136 4 a Situação P = 100 n = 2 semestres i = 16,62% a.s. S = 100(1+0,1662) 2 = 136 Administração Financeira 26 Podemos observar que apenas mudando a taxa e os períodos de capitalização, dentro do mesmo prazo de 1 ano, partimos sempre do mesmo principal, P = 100, e chegamos ao mesmo montante, S = 136, isto é, saímos do valor presente 100 e chegamos ao valor futuro 136, utilizando taxas equivalentes. Dessa forma podemos afirmar que: i) 2,6% a.m. é a taxa mensal que capitalizada 12 vezes no ano é equivalente a 36% a.a. ; ii) 8% a.t. é a taxa trimestral que capitalizada 4 vezes ao ano é equivalente a 36% a.a.; iii) 16,62% a.s. é a taxa semestral que capitalizada 2 vezes ao ano é equivalente a 36%a.a. . - Expressões relacionadas à taxa anual com as taxas equivalentes semestral, mensal e diária. anual (ia): Sa = P (1+ia) semestral (is) : Ss = P (1+is) 2 trimestral (it) : St = P (1+it) 4 mensal (im) : Sm = P (1+im) 12 diária (id) : Sd = P (1+id) 360 Da definição, para as taxas serem equivalentes: Sa = Ss = St = Sm = Sd Logo, P (1+ia) = P (1+is) 2 = P (1+it) 4 = P (1+im) 12 = P (1+id) 360 ou (1+ia) = (1+is) 2 = (1+it) 4 = (1+im) 12 = (1+id) 360 Exercícios Resolvidos: 1) Quais as taxas trimestral e anual equivalente a taxa de 10,50% a.m. ? (1+ia) = (1+it) 4 = (1+im) 12 (1+it) = (1+im) 3 (1+it) = (1+0,1050) 3 = 1,3492 it = 0,3492 it = 34,92% a.t. (1+ia) = (1+0,150) 12 = 3,3140 ia = 2,3140 ia = 231,40% a.a 2) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 150% a.a. ? (1+ia) = (1+im) 12 1+im = (1+ia) 1/12 = (1+1,50) 1/12 = 1,0793 im = 0,0793 = 7,93% a.m. Vamos deduzir uma fórmula genérica que permite calcular diretamente a taxa equivalente a partir de uma taxa dada. Sejam: ic = taxa conhecida nc = período em dias de taxa conhecida id = taxa a determinar nd = período em dias de taxa a determinar Estamos trabalhando com o período em dias, pois é comum, no mercado financeiro, a utilização de períodos quebrados, como, por exemplo, 61 dias, 32 dias, etc. Vamos supor que ic e id são equivalentes por hipótese. O montante Sc produzido por ic a partir de um principal P, ao final de nd dias, será Administração Financeira 27 Sc = P (1+ic) nd/nc Lembrando que taxa e período devem estar expressos em unidades de tempo compatíveis, temos que nd dias possuem nd/nc períodos de capitalização. Por sua vez, a taxa a determinar, id, a partir do mesmo principal, P, produzirá um montante Sd ao final de nd dias. Sd = P (1+id) nd/nd = P (1+id) Como as taxas são equivalentes, os montantes obtidos a partir do mesmo principal, P, serão iguais no final de nd dias. Sd = Sc P (1+id) = P (1+ic) nd/nc id = (1+ic) (nd/nc) -1 fórmula genérica para cálculo de taxas equivalente. Exemplos: 1) Um banco está oferecendo a um aplicador uma taxa de 6.000% ao ano para uma aplicação pelo prazo de 31 dias. Qual a taxa bruta do período? id = (1+60) (31/360) - 1 = 0,4247 para 31 dias ou 42,47% 2) Com os dados do exemplo anterior, determinar a taxa semestral equivalente. id = (1+0,4247) (180/31) -1 = 6,8087% ao semestre ou 680,87%. Vamos, mediante um exemplo, ilustrar por que não podemos comparar taxas nominais, sendo somente possível fazê-lo com taxas efetivas ou compostas referente ao mesmo período. 3) Um investidor tem duas opções para aplicar seu dinheiro, a saber: A - 300% a.a. capitalizado semestralmente B - 210% a.a. capitalizados mensalmente Trata-se de duas taxas nominais. Uma pessoa menos avisada escolherá a primeira, pois 300% a.a. é maior do que 210% a.a. . Vamos determinar as taxas efetivas contidas em cada taxa nominal. A - 300/2 = 150% ao semestre capitalizados semestralmente ou 150% a.s. B - 210/12 = 17,50% ao mês capitalizados mensalmente ou 17,5%a.m. Uma vez determinadas as taxas efetivas, devemos levar uma delas ao período da outra para compará-las. Vamos determinar a taxa mensal equivalente. id = (1+1,5) (30/180) -1 = 16,5% a.m. Portanto a opção B é melhor que a A. Administração Financeira 28 Exercícios Propostos para Casa 21- Um cliente possui 3 opções de aplicação e quer saber qual é a melhor opção. - poupança que rende 17,0% a.m. - fundo de curto prazo que rende 72,8% ao trimestre - CDB que rende 700% a.a. 22- Quais as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 750% a.a.? 23- Obter as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 240% a.a. com os seguintes períodos de capitalização. a) mensal b) trimestral c) semestral 24- Um executivo tem duas opções de aplicação a seguir. Qual é a melhor? a) 150% a.a. capitalizados mensalmente b) 200% aa. capitalizados semestralmente 25- Quanto terá daqui a dois anos um empresário que aplicou a R$1.000,00 à taxa de 220% ao ano capitalizado mensalmente? ( tente fazer este problema utilizando todos os procedimentos ensinados no capítulo III) 26- Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 200% a.a. capitalizados mensalmente? (resp: 58,80% a.t.) 27- Uma pessoa possui três opções de taxa para tomar um empréstimo: a,b ou ,c. Qual delas ele deverá escolher ? a - 24% para 35 dias b - 229% para 178 dias c - 884% para 345 dias Administração Financeira 29 2.10 Série uniforme - prestações iguais 2.10.1 Anuidades Anuidade, renda certa ou série, a uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em épocas preestabelecidas, destinada a liquidar uma dívida ou formar um capital. Para entendimento da sistemática de cálculo de diversos títulos que transacionam no mercado aberto, iremos abordar apenas o caso particular das anuidades inteiras, constantes, periódicas e postecipadas.- Anuidade Inteira: é aquela em que a época de pagamento coincide com os períodos de capitalização de juros considerada; - Anuidade Constante: é aquela em que todos os pagamentos(ou recebimentos), que compõem uma série, são iguais; - Anuidade Periódica: é aquela em que os pagamentos(ou recebimentos) são exigidos em épocas cujos os intervalos de tempo são iguais. Anuidade Postecipada: é aquela série periódica cujos pagamentos(ou recebimentos) são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada. - Fator de Valor Atual (FRP) - Série Uniforme ( dado R, achar P) Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa abaixo, que representa um investimento: R R R R ............R 0 1 2 3 4 n Tempo (meses, anos, etc) P P R i R i R i R i R i n 1 1 1 1 1 2 3 4 P R i i i i i n [ ]1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 Administração Financeira 30 O fator em colchetes corresponde aos termos de uma PG, cuja soma é: n n S a q a q 1 1 onde: a1 1 o termo an último termo q razão No nosso caso : 1 1 1 1 1 1 1 a i q i a i n n , , n n n nS i i i i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P R i i i R FRP i n n n [ ] ( , ) 1 1 1 O fator FRP aparece na quarta coluna da tabela financeira. Utilizando a HP-12C as prestações constantes R é representado pela tecla PMT (Periodic Payment). Exercícios Resolvidos: 1) Um investidor se dispõe a comprar uma dívida garantida, constituída por 12 títulos de R$10.000,00, vencíveis a cada 30 dias. Desejando uma rentabilidade de 9,0% a.m., por quanto se deve adquirir estes títulos? R R R R ............R = R$10.000,00 P= ? 0 1 2 3 4 5 12 meses Administração Financeira 31 25,607.71$)12%,9(000.10] 09,0109,0 109,01 [000.10 12 12 RFRPP Resolvendo pela HP-12C, temos que: 12 n 10000 PMT 9,0 i PV 71.607,25 2) Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$100.000,00, por ano, nos próximos 10 anos. Qual valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxas de 6% a.a.? R R R R ............R = R$100.000,00 0 1 2 3 4 10 Ano P - Fator de Recuperação de Capital (FPR) - série Uniforme ( dado P, achar R) R R R R ............R=? 0 1 2 3 4 n Tempo P Administração Financeira 32 Sabemos que: P R i i i R FRP i n n n [ ] ( , ) 1 1 1 R P i i i P FPR i n n n [ ] ( , ) 1 1 1 Exercício Resolvido: 3) Seja um financiamento com as seguintes características: Principal: R$ 750.000,00 Taxa efetiva: 7% a.m. Quantidade de pagamentos: 6 Modalidade de pagamento: mensais iguais Pede-se o valor das prestações nos casos de: a) pagamento da 1 a prestação um mês após a assinatura do contrato (série postecipada) R R R R R=? 0 1 2 3 4 5 mês P= R$750.000 R FPR R 750000 0 07 1 0 07 1 0 07 1 750000 6 350 00 6 6 [ , , , ] (7%, ) $157. , Utilizando a HP-12C obtemos: 6 n 750000 CHS PV 7,0 i PMT 157346,85 Administração Financeira 33 b) pagamento da 1 a prestação no ato da assinatura do contrato (série antecipada) Neste caso torna-se necessário trabalhar no fluxo de caixa para podermos utilizar a expressão desenvolvida para séries postecipadas. R R R R ............R=? 0 1 2 3 4 5 mês P= R$750.000 - R Assim: 750.000 - R = R FRP(7%,5) R = 750.000/(1+FRP(7%,5)) = R$147.053,13 Utilizando a HP-12C obtemos: g BEG 6 n (a máquina se encarrega de colocar o período 1 no instante 0) 750000 CHS PV 7,0 i PMT 147.053,13 Não é prática comum de mercado aberto operações em séries antecipadas, porém este exercício fica como exemplo da importância do entendimento dos fluxos de caixa para resolução de problemas diversos. - Fator de Acumulação de Capital (FRS) - Série Uniforme ( dado R, achar S) Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa abaixo, que representa um investimento: R R R R ............R 0 1 2 3 4 n Tempo S=? Verificamos que o primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos; no instante n seu valor será R(1+i) n-1 . O segundo pagamento rende juros durante n-2 períodos; no instante n vale, portanto, R(1+i) n-2 . Fato semelhante ocorre com os demais pagamentos, observando-se que o penúltimo período e o último não chega sequer a produzir juros. O montante S será composto, portanto, de diversas parcelas, cada uma decorrente de um dos pagamentos efetuados: Administração Financeira 34 S = R(1+i) n-1 + R(1+i) n-2 +...+R(1+i)+R = R[(1+i) n-1 +(1+i) n-2 +...+(1+i)+1]=R[1+(1+i)+ +...(1+i) n-2 +(1+i) n-1 ] S R i i R FRS i n n ( ) ( , ) 1 1 Exercício Resolvido: 4) O D r. Mário Reis deposita anualmente US$3.000,00 na conta particular que mantém na Suíça. Qual será o saldo daqui a 5 anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para este tipo de conta? S FRS R 3000 1 0 08 1 0 08 3000 8%,5 599 80 5 ( , ) , ( ) $17. , Utilizando a HP-12C obtemos: G END 5 N 3000 CHS PMT 8,0 i FV 17599,80 - Fator de Formação de Capital (FSR) - Série Uniforme ( dado S, achar R) Este problema pode ser visualizado por meio do diagrama de fluxo de caixa abaixo, que representa um investimento: R R R R ............R=? 0 1 2 3 4 n Tempo S S = R FRS (i, n) Portanto, R = S = S FSR (i, n) R FRS (i, n) Administração Financeira 35 Exercício Resolvido: 4) Quanto devemos depositar semestralmente, a uma taxa de juros de 24% a.a., capitalizado semestralmente, para termos R$50.000,00 daqui a 7 anos i = 24% a.a. capitalizado semestralmente = 12% a.s. e n = 7 anos = 14 semestres logo: R R R R ............R=? 0 1 2 3 4 14 semestre S =R$50.000,00 R FSR R 50000 012 1 012 1 50000 12%,12 5014. , ( , ) ( ) $1543, Utilizando a HP-12C obtemos: 14 n 50000 CHS FV 12,0 i PMT 1543,56 Administração Financeira 36 Problemas Propostos para Casa 28- Determinar o valor dos depósitos trimestrais, durante um ano de um fluxo de caixa capaz de produzir o montante de R$10.000,00, com uma taxa de 6% ao trimestre. 29- Uma empresa financia a venda de suas máquinas e equipamentos por um prazo de 24 meses a uma taxa efetiva de 3,0% a.m. Qual o valor da prestação mensal para uma máquina que custa à vista R$50.000,00? (resp: R$2952,37) 30- Uma loja de eletrodoméstico financia compras cobrando uma taxa efetiva de 10% a.m. Pra um valor financiado de R$ 250.000,00, determine o valor da prestação para as seguintes alternativas de pagamento: i) pagamento em 12 prestações mensais iguais; ii) pagamento em 4 prestações quadrimestrais iguais. 31- A quantia de R$50.000,00 foi financiada em 12 prestações mensais iguais antecipadas. Se o credor cobra juros de 8% a.m., calcular o valor das prestações. (resp: R$6.143,29) 32- No exercício anterior, calcular o valor das prestações caso haja um período de carência de 3 meses até o pagamento da primeira prestação. 33- Um cidadão deposita anualmente a quantia de R$1.000,00 no final de cada ano civil, num banco que paga juros compostos de 10% a.a. Qual será o saldo credor deste investidor, imediatamente antes da efetivação do seu quarto depósito anual? 34- Um cidadão efetuou numa Caderneta de Poupança quatro depósitos de R$5000 ao final de cada trimestre civil. O saldo acumulado, imediatamente após o depósito do último trimestre, era de R$22.500,00. Utilizando a máquina HP 12-C, qual a rentabilidade trimestral efetiva dessa Caderneta de Poupança? Administração Financeira 37 3- Equivalência de fluxos de caixa Dois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros e em determinada data, se os respectivos valores atuais naquela data, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. Exercícios Resolvidos: 1) Dados quatro planos de financiamento de R$1.000,00, apresentado pela tabela abaixo, verificar se os mesmos são equivalentes, supondo uma taxa de 8% a.a. Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 0 1 80,00 301,92 330,00 2 80,00 301,92 310,00 3 80,00 301,92 290,00 4 1360,49 1080,00 301,92 270,00 Total R$1360,49 R$1320,00 R$1207,68 R$1200,00 Vamos trazer todos os valores para data zero. Com isto, têm-se que PA = 1360,49 FSP(8%,4) = 1360,49 . 0,73503 = R$1000,00 PB = 80,00 FRP(8%,4) + 1080 FSP(8%,4) = R$ 1000,00 PC = 301,92 FRP(8%,4) = R$1000,00 PD = 330 FSP(8%,1) + 310 FSP(8%,2) + 290 FSP(8%,3) + 270 FSP(8%,4) = R$1000,00 Conclusão: Verifica-se então que os quatro planos são equivalentes. Administração Financeira 38 2) Verificar se os fluxos de caixa abaixo são equivalentes a uma taxa de 2% a.m. R$ 1.126,16 0 6 meses R = R$178,53 meses 0 1 2 3 4 5 6 R = R$262,62 0 1 2 3 4 meses R$1.000,00 meses 0 Calculando o valor atual de cada fluxo de caixa temos: PA = 1126,16 FSP(2%,6) = R$1000,00 PB = 178,53 FRP(2%,6) = R$1000,00 PC = 262,62 FRP(2%,4) = R$1000,00 PD = R$1000,00 Conclusão: Verifica-se então que os quatro planos acima são equivalentes. Administração Financeira 39 3) Calcular o valor de Z para que os fluxos seguintes sejam equivalentes a 3% a.m. RA = R$1000,00 meses 0 1 2 3 4 5 6 Z meses 0 1 2 3 4 5 6 Igualando os montantes dos dois fluxos temos que: SA = 1000 FRS(3%,4) = 1000 x 4,18363 = R$4183,63 SB = Z FPS(3%,2) = Z x 1,0609 4183,63 = Z x 1,0609 Z = R$3.943,47 Exercício Proposto para Casa 35- Verificar se os fluxos de caixa A e B, da tabela a seguir, são equivalentes para uma taxa de 2% a.m., em regime de juros compostos. Mês Fluxo A (em R$) Fluxo B (em R$) 0 - - 1 - - 2 270,16 300,00 3 270,16 - 4 270,16 350,00 5 270,16 439,10 Total 1.080,64 1.089,10 Administração Financeira 40 4- Sistemas de amortização 4.1 Definições i) Amortizações: devolução do principal emprestado; ii) Juros do período: calculados sobre o saldo do empréstimo não reembolsado (serviço da dívida). iii) Prestação: soma da amortização e juros; iv) Carência: período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação. v) Principais sistemas de amortização: Sistema Francês de Amortização, Tabela “Price”, Sistema de Amortização Constante, Sistema Americano de Amortização e Sistema Misto. Estes sistemas de amortização serão vistos a seguir: 4.2 Sistema Francês de amortização Mutuário devolve o principal mais os juros em prestações iguais e periódicas. 4.3- Tabela “PRICE” É um caso especial do Sistema de Amortização Francês, onde a taxa de juros é dada em termos nominais (na maioria das vezes anuais) e as prestações tem período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (amortizações são feitas em base mensal). Administração Financeira 41 4.4 Sistema de Amortização Constante- SAC As amortizações são constantes e iguais ao valor do empréstimo dividido pelo número de períodos de pagamento. 4.5 Sistema Americano de Amortização O principal é devolvido numa parcela após o prazo de carência negociado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e pagos juntamente com o principal. 4.6 Sistema de Amortização Misto As prestações correspondem a média aritmética das prestações dos sistemas Francês e SAC. Portanto tem-se a seguinte expressão genérica: t t tR R RSAM ice SAC( ) (Pr ) ( ) 1 2 Administração Financeira 42 Complete a tabela abaixo com os diferentes planos de pagamentos, relativo a um financiamento de 1000 unidades monetárias, a juros de 8% ao ano, em quatro anos. Plano Ano Débito no Início do Ano Juros do Ano Débito Final do Ano Antes do Pagamento Pagamentos no Final do Ano Débito no Final do Ano depois do Pagamento Total Juros Amortização P A G A M E N T O A O F I N A L D O S 4 A N O S 0 - - - - - - 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00 A 2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40 3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71 4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00 SOMA 1.360,49 360,49 1.000,00 P A G A M E N T O P E R Í Ó D I C O D E J U R O S ( 8 % ) 0 - - - - - - 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 B 2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 4 1.000,00 80,00 1.080,00 1080,00 80,00 1000,00 0,00 SOMA 1.320,00 320,00 1.000,00 P R E S T A Ç Õ E S I G U A I S ( S I S T E M A P R I C E ) 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08 C 2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,41 3 538,41 43,07 581,48 301,92 43,07 258,67 279,56 4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00 SOMA 1.000,00 A M O R T I Z A Ç Õ E S C O N S T A N T E S 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00 D 2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00 3 500,00 40,00 540.00 290,00 40,00 250,00 250,00 4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00 SOMA 1.200,00 1.000,00 Fonte: Puccini, 1993 Administração Financeira 43 5. Indicadores de análise de projetos de investimentos 5.1 Valor Presente Líquido (VPL) O critério do valor presente líquido desconta o fluxo de um investimento a um instante prefixado, convencionando-se adotar a data presente. Assim, o valor presente de um projeto, a taxa de juros i, é denotado por: P i c ij j n j ( ) 1 1 , onde n é a duração do projeto e (1+i) j é o fator do valor presente (FSP(i,n)). Caso Cj, j=1,2,...,n seja constante e positivo, teremos uma série uniforme, e o valor presente poderá ser obtido, como sendo igual a: P(i) = C0 + Cj FRP(i,n) Em qualquer dos casos, se P(r) 0, o projeto deverá ser aceito; caso contrário, deverá ser recusado. Caso dê igual a zero, é indiferente. Em outra palavras, o valor que se atribui, hoje, aos recebimentos futuros supera o valor do investimento inicial necessário à implantação do projeto. Exemplos: 1) Uma companhia estuda a instalação de uma turbina para produção de energia elétrica. Atualmente, a energia é comprada por R$280.000,00. A turbina exigiria uma investimento inicial de R$1.400.000,00, consumindo anualmente R$58.000,00 de manutenção e R$21.000,00 de mão de obra. Sua vida útil seria de 10 anos e os impostos de seguro seriam de 3% do investimento inicial. Considerando nulo o valor residual e sendo de 12% a taxa de desconto mínima, que decisão deve ser tomada? Administração Financeira 44 Ano Despesa Receita Fluxo de Caixa 0 1.442.000 - -1.442.000 1 79.000 280.000 201.000 2 79.000 280.000 201.000 3 79.000 280.000 201.000 4 79.000 280.000 201.000 5 79.000 280.000 201.000 6 79.000 280.000 201.000 7 79.000 280.000 201.000 8 79.000 280.000 201.000 9 79.000 280.000 201.000 10 79.000 280.000 201.000 P(i) = -1442.000 + 201.000 FRP(12%,10) = -1442.000 + 201.000 . 5.65022 = P (i) = 306.305,78. Conclusão: o projeto não deve ser aceito !! Resolvendo-se pela HP12-C : neste problema existem duas maneiras de resolvê-la: i) Utilizando as teclas tradicionais Dado Tecla Resultado 10 n 10,00 12 i 12,00 201.000 CHS PMT -201.000,00 PV 1.135.694,83 Enter 1.135.694,83 1.442.000 CHS -1.442.000,00 + -306.305,17 ii) Utilizando a tecla NPV (Net Present Value) Dado Tecla Resultado Observações 12 i 12,00 taxa de atratividade 1.442.000 CHS g CFo -1.442.000,00 investimento inicial 201.000 g CFj 201.000,00 fluxo de caixa 10 Nj 10,00 repetições sucessivas do Fluxo de Caixa f NPV -306.305,17 Valor Presente Líquido Administração Financeira 45 5.2 Taxa Interna de Retorno (TIR) A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que iguala o valor presente das receitas ao valor presente do investimento. A TIR é a taxa de desconto máxima que garante a viabilidade do projeto. A TIR é a taxa que permite igualar a zero a expressão P(i) : P i c ij j n j ( ) 1 1 0 Normalmente adota-se uma taxa de desconto mínima, chamada de taxa de atratividade, para julgar a viabilidade do projeto, da seguinte maneira: se a TIR for superior à taxa de atratividade, o projeto é viável. Caso contrário, é inviável. Se igual, é indiferente. A resolução manual deste problema seria através de um método iterativo e muito trabalhoso que foge a finalidade do curso. Apresentaremos a resolução pela HP12-C, através da resolução do exemplo a seguir: 2) Resolva o exemplo 1, visto anteriormente (pág. 48), utilizando a TIR: Dado Tecla Resultado Observações 1.442.000 CHS g CFo -1.442.000,00 investimento inicial 201.000 g CFj 201.000,00 fluxo de caixa 10 Nj 10,00 repetições sucessivas do Fluxo de Caixa f IRR 6,54 Taxa Interna de Retorno Verifica-se que também pelo critério da TIR o projeto é inviável. Exercícios Propostos 36- Suponha que um empréstimo de R$6.000.000,00 deva ser pago mensalmente da seguinte forma: Do 1 0 ao 10 0 mês, 10 prestações de R$426.143,00 Do 11 0 ao 13 0 mês, 3 prestações de R$3.621.378,00 Qual a taxa de juros mensal embutida neste plano? (resp: 10,19%) Administração Financeira 46 37- É proposta a compra de determinada máquina, no valor de R$92.087,08, para fins rentáveis, sendo que o comprador, em perspectiva, tem uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a..A máquina proporcionará uma receita líquida de R$20.000,00 no primeiro ano, diminuindo em seguida a base de R$1000,00. O valor estimado de revenda daqui a 12 anos é de R$26.000,00. Pede-se: a) Valor Atual b) TIR c) Compra deve ser efetuada? Por que? 5.3 Outros indicadores utilizados Além dos indicadores correntes acima citados, Valor Presente Líquido (Atual) e Taxa Interna de Retorno, utilizam-se também os indicadores de Tempo de Retorno (Pay-Back) e da Taxa de Ganho Global (TGG), que entretanto não pertencem ao programa central deste módulo. Contudo, uma indicaçãode literatura a respeito, encontra-se na respectiva bibliografia deste material. Administração Financeira 47 5.4- VPL e os planos equivalentes de pagamentos Considere os seguintes planos equivalentes de pagamentos de um financiamento de 1000 unidades monetárias, a juros de 8% ao ano, em quatro anos, do capítulo anterior. Plano Ano Débito no Início do Ano Juros do Ano Débito Final do Ano Antes do Pagamento Pagamentos no Final do Ano Débito no Final do Ano depois do Pagamento Total Juros Amortização P A G A M E N T O A O F I N A L D O S 4 A N O S 0 - - - - - - 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00 A 2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40 3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71 4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00 SOMA 1.360,49 360,49 1.000,00 P A G A M E N T O P E R Í Ó D I C O D E J U R O S ( 8 % ) 0 - - - - - - 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 B 2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 4 1.000,00 80,00 1.080,00 1080,00 80,00 1000,00 0,00 SOMA 1.320,00 320,00 1.000,00 P R E S T A Ç Õ E S I G U A I S ( S I S T E M A P R I C E ) 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08 C 2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,41 3 538,41 43,07 581,48 301,92 43,07 258,67 279,56 4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00 SOMA 1.000,00 A M O R T I Z A Ç Õ E S C O N S T A N T E S 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00 D 2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00 3 500,00 40,00 540.00 290,00 40,00 250,00 250,00 4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00 SOMA 1.200,00 1.000,00 Fonte: Puccini, 1993 Como os planos de pagamentos são equivalentes, o devedor poderia supor que estas alternativas são indiferentes entre si. Entretanto, isto só é verdadeiro se a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) de mercado for de 8%, para o exemplo em questão. Apenas para exemplificar, vamos determinar os Valores Presentes Líquidos relativos às diferentes taxas mínimas de atratividades de 4%, 8%, 12% e 16%, conforme o quadro da página seguinte: Administração Financeira 48 Planos Determinação do Valor Presente Líquido (VPL) – Ponto de Vista do Devedor VPL (4%) VPL (8%) VPL (12%) VPL (16%) A (162,95) 0,00 +135,38 +248,61 B (145,20) 0,00 +121,49 +223,85 C (95,94) 0,00 + 82,96 + 155,17 D (92,53) 0,00 +80,22 +150,23 VPL Conclusão: Apesar dos Planos de Financiamentos A e B serem equivalentes, para uma taxa de juros de 8%, se a taxa mínima de atratividade for de 12%, o Plano de Financiamento A, do ponto de vista do devedor, é mais interessante do que o do C. Por outro lado, caso a taxa de atratividade se modifique, por exemplo, para 4%, a situação se inverte, ou seja, o financiamento C, do ponto de vista do devedor, é mais interessante do que o do A (Pfeil, 1999). C A C A 8 12 4 (%) VP L Administração Financeira 49 6. Formulário básico 6.1 Regimes de capitalização - Regime de Capitalização a Juros Simples: Sn = P (1+i. n) - Desconto Bancário (D): D = S – P; D = S.n.id - Juros Compostos: Sn = P (1+i) n 6.2 Indicadores de análise de investimentos - Taxa Interna de Retorno: P i c ij j n j ( ) 1 1 0 - Valor Presente Líquido (VPL) P i c ij j n j ( ) 1 1 Administração Financeira 50 6.3 Taxas de juros 6.3.1. Taxas efetivas a) 3% ao mês, capitalizados mensalmente b) 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente c) 6% ao semestre, capitalizados semestralmente d) 10% ao ano, capitalizados anualmente 6.3.2 Taxas proporcionais 6.3.2 Taxas equivalentes 6.3.3 Taxa nominal É aquela onde a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Utilizada comumente nas operações entre instituiões financeiras (Zentigraf, 1999), a taxa over é uma taxa nominal mensal capitalizada por dia útil (taxa over = taxa ao dia x 30). Para efeito de cálculos o que interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal. Exemplos de taxas nominais: 12% ao ano capitalizados mensalmente; 24% ao ano capitalizados semestralmente, etc. Taxa Nominal Taxas Efetivas Anuais Equivalentes quando a Capitalização for Anual (%) Anual Semestral Trimestral Mensal 12,0 12,0 12,36 12,55 12,68 24,0 24,0 25,44 26,25 26,82 36,0 36,0 39,24 41,16 42,58 id x 360 = im x 12 = it x 4 = is x 2 = ia ( 1+id ) 360 = ( 1+im ) 12 = ( 1+it ) 4 = ( 1+is ) 2 = ( 1+ia ) Administração Financeira 51 6.4 Deduções interessantes 6.4.1 Série uniforme- Prestações iguais R R R R R 0 1 2 3 4 n P R i R i R i R i R i n 1 1 1 1 1 2 3 4 P R i i i i i n [ ]1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 O fator em colchetes corresponde aos termos de uma PG, cuja soma é: n n S a q a q 1 1 onde: a1 1 o termo an último termo q razão No caso : 1 1 1 1 1 1 1 a i q i a i n n , , Administração Financeira 52 n n n nS i i i i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P R i i i R FRP i n n n [ ] ( , ) 1 1 1 Outra forma mais simples: 1 10 1 11 = menos P= R/i – {R/[i(1 + i )10] } = R{ 1/i – [1/(i(1 + i )10)] } 6.4.2 Perpetuidade R R R R .R 0 1 2 3 4 n P R i R i R i R i R i n 1 1 1 1 1 2 3 4 Seja a = R/(1 + i); e x= 1/(1 + i) P= a + ax + ax 2 + ax 3 + ax 4 + ax 5 + ax 6 + ax 7 + ax 8 .......+ ax n (Eq.1) Administração Financeira 53 x P= ax + ax 2 + ax 3 + ax 4 + ax 5 + ax 6 + ax 7 + ax 8 .+ ax 9 ......+ ax n (Eq.2) (Eq.1) menos (Eq.2): P (1 – x) = a P = a/(1 - x) Voltando com os valores de a e x
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