CONCEITOS BASICOS DO CALCULO INTEGRAL_unifacs

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CONCEITOS BÁSICOS DO CÁLCULO INTEGRAL 
Professora Geciara da Mata e Jones Mata 
 
 
 
Definição: Uma função F(x) tal que F’(x) = f(x) é dita uma integral indefinida (ou 
antiderivada) da função f. 
 
Exemplo 1: A função F(x)=2x5/3+3x2/2+5x+10 é uma integral indefinida da 
função f(x)=2x2+3x+5, pois F’(x)=f(x). 
 
Exemplo 2: A função F(x)=2x5/3+3x2/2+5x+C, onde C é uma constante, é 
também uma integral indefinida da função f(x)=2x2+3x+5, pois F’(x)=f(x). 
 
 
Simbolicamente escrevemos a integral indefinida de f por ∫ += CxFdxxf )()( , 
onde C é uma constante e lemos a integral indefinida de f(x) dx é igual a F(x)+C. 
 
 
Exemplo 3: Calcular a integral ∫ ++ dxxx )532(
2
. 
Cxxxdxxx +++=++∫ 52
3
3
2)532(
23
2
. 
Temos que: 
∫∫ +=⇔=⇔+= CxFdxxFxfxFCxFdxxf )()(')()(')()( . 
 
 
• Regras de integração 
 
• Integração de funções potências 
 
Dada a função f(x)=xn, temos que f’(x)=n.xn-1, logo 
∫ ∫ +=++−=⇒+=
+−
− CxC
n
nxdxnxCxfdxxf n
n
n
11
)()('
11
1
. 
 
De modo geral dada a função f(x)=xn, onde n≠-1 temos que
∫ ∫ ++==
+
C
n
xdxxdxxf
n
n
1
)(
1
. 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Integre as seguintes funções: 
 
a) f(x)= x b) 
t
tf 1)( =
 c) 3 2)( ttf = d) f(x)=1 
 
 
• A integral da função f(x)=1/x 
 
Temos que f(x)=1/x=x-1, a integral de f(x) é dada por ∫ ∫ +== Cxdxxdxxf ln
1)( , 
pois notamos que a derivada de lnx+C é a função f(x)=1/x. Como na função lnx temos 
que x>0, tomamos então a integral da função f(x)=1/x sendo ln|x|+c, isto é 
∫ ∫ +== Cxdxxdxxf ||ln
1)( . 
 
• A integral da função f(x)=ex 
 
Cedxedxxf xx +==∫ ∫)( , pois a derivada de e
x+C é igual a ex. 
 
• A integral do produto de uma constante por uma função 
 
dxxfKdxxKf∫ ∫= )()( , onde K é uma constante. Como exemplo, temos que 
CxCxdxxdxx +=+==∫ ∫
3
3
22
3
333
. 
 
• A integral da soma é a soma das integrais 
Como exemplo vamos integrar a função 3 2
5243)(
xx
exxf x +++=
, logo temos 
que : 
2 5( ) ( 3 4 )3 2
21 1 323 4 2 5
3 32 4 2 l n 1 5 .
xf x d x x e d x
x x
x
x d x e d x d x x d x
x
x
x e x x C
= + + + =∫ ∫
−
+ + + =∫ ∫ ∫ ∫
+ + + +
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Integre a função 
6 5 25 2 3 7( ) 34
x x xf x
x
+ − +
=
. 
 
 
.
1
8
7||ln
4
3
6
1
16
5
4
71
4
3
2
1
4
5
4
7325)(
2
34323
3
256
C
x
xxxdxxdx
x
dxxdxx
dx
x
xxxdxxf
+−−+=+−+
=




 +−+
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
−
 
 
 
Exemplo 2: Qual a função cuja inclinação da reta tangente ao seu gráfico em x. é 
52
4
3 3 ++ xx
 e que passa pelo ponto (1,2). 
 
Temos que a derivada da função f(x) que queremos determinar é 
52
4
3)(' 3 ++= xxxf , logo para determinarmos f(x) nós integramos sua derivada f’(x), 
isto é, 
 
∫ ∫ ∫∫∫ +++=++=++== Cxxxdxxdxdxxdxxxdxxfxf 516
352
4
3)52
4
3()(')( 2433
Temos que f(1)=2, isto é, 
3 4 2(1) 1 1 5 .1 2
1 6
f C= + + + =
, 
Logo C=
16
67
− . Então temos que 
16
675
16
3)( 24 −++= xxxxf
. 
 
Exemplo 3: O custo marginal de uma industria é calculada pela expressão 5q2-
10q+100 reais por unidade, quando q unidades são produzidas. O custo de fabricação 
das três primeiras unidades é de 800 reais. Qual o custo de fabricação das 10 primeiras 
unidades? 
 
 Como o custo marginal é a derivada da função custo, então C’(q)=5q2-10q+100, 
logo ∫ ∫ ++−=+−== CqqqdqqqdqqCqC 10053
5)100105()(')( 232 , como C(3)=800, 
temos que C=500. Desta forma temos que 5001005
3
5)( 23 ++−= qqqqC . Logo 
67,266650010.10051010
3
5)10( 23 =++−=C
 reais. 
 
4 
 
 
 
 
Exemplo 4: Estima-se que uma população de uma determinada cidade esteja 
variando a uma taxa de 13 32 ++ tt pessoas por ano. A população atual é de 
11000 pessoas. Qual será a população daqui a 2 anos? 
 
Queremos determinar a função população P(t), onde t é o tempo. Sabemos que a taxa de 
variação de uma função é sua derivada, logo 
2 3
'( ) 3 1P t t t= + +
 
Desta forma temos que: 
CtttdtttdttPtP +++=++== ∫∫
3 4332
4
3)13()(')(
 
como, a população atual é de 11000 pessoas, isto é: 
1100000
4
30)0( 3 43 =+++= CP
 
logo, C=11000. Logo a população daqui a 2 anos será 
 
3 33 4(2) 2 2 2 11000 11011, 89
4
P pessoas= + + + =
 
 
• Integração por substituição 
 
 
Dada a função composta fog(x)=f(g(x)), temos que sua derivada é dada pela regra da 
cadeia, isto é, (fog(x))’=(f(g(x))’=f’(g(x)).g’(x), logo a integral da derivada da função 
composta será: Cxfogdxxgxgfdxxfog +== ∫∫ )()(').)(('))'(( . 
 
Exemplo 1: Dada a função 32 )325()( ++= xxxf , temos que sua derivada é 
2 2
'( ) 3(5 2 3) .(10 2)f x x x x= + + +
. 
 
 Logo a integral da derivada desta função será a função somada a uma constante, 
pois é uma integral indefinida, isto é: 
 
CxfCxxdxxxxdxxf +=+++=+++= ∫∫ )()325()210.()325(3)(' 3222 
Logo quando tivermos integrais de funções produto, nós podemos verificar se o 
integrando é proveniente da derivada de uma função composta. Para sabermos se o 
integrando é proveniente da derivada de uma função composta, nós devemos observar 
se a derivada de uma das funções do integrando pode ser escrita em função da outra 
função. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
Exemplo2:Integre a função 
3 2 3 2( ) 4.( 2 4 1) .(3 4 4)f x x x x x x= + + + + +
. 
 
∫∫ +++++= dxxxxxxdxxf )443.()142.(4)( 2323 
 Podemos notar que a derivada da função 323 )142( +++ xxx é igual à função 
443 2 ++ xx , logo esta integral pode ser resolvida pela técnica de integração por 
substituição. Chamando de 
3 22 4 1
2 2(3 4 4) (3 4 4)
u x x x
du
x x du x x d
dx
x
= + + + ⇒
= + + ⇒ = + + 
 
Logo, 
 
3 2 3 2( ) 4.( 2 4 1) .(3 4 4)
4
3 3 44 4 4.
4
3 2 4( 2 4 1) .
f x dx x x x x x dx
u
u du u du C u C
x x x C
= + + + + +∫ ∫
= = + = + =∫ ∫
= + + + +
 
 
Exemplo 3: Integre a função 
32( ) 45 1 1
xf x
x
=
−
. 
 
32( ) 45 11
xf x dx
x
=∫ ∫
−
 
 Seja 4 3 35 11 20 2
10
du
u x du x dx x dx= − ⇒ = ⇒ =
 
 
Logo temos que: 
 
32 1 110( ) ln | |4 10 105 11
1 4ln | 5 11 | .
10
du
x duf x dx dx u C
u ux
x C
= = = = + =∫ ∫ ∫ ∫
−
− +
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos de preparação para prova: 
 
1) Integre: 
a) 
Cxxxdxxdxxdxdxxxdxx +++=++=++=+ ∫ ∫∫∫∫ 53
22)21()1(
53
424222
 
b) 1(1 )x dx
x
+∫ 
 
1
1 2
21 1 1(1 ) ln 2 ln1
2
x
x dx xdx dx x dx dx x C x x C
x x x
+ = + = + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
c) 
3
2
2 1x dx
x
+
=∫ 
 
( ) CxxC
xxdxxdxxdx
x
dx
x
x
+−=+
−
+=+⇒+
−
−
∫∫∫∫
1
12
2212 2
12
2
22
3
 
 
d) 
4
3 cos 2
2
x
x dx + 
 
∫ = 
( ) ( ) Cxsenduu
x
du
ux
dosubstituin
dxxdu
x
u
dxxx
+





+==
=
+=






+
∫ ∫
∫
2
22
1
cos
2
1
2
cos
2
2
2
2
2
cos
4
3
3
3
4
4
3
 
e) 
22cot 3gx sen x
senx
−
∫ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
⇒−=−⋅
=−=





−
=












−
=












−
=
−
∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
senxdxdx
xsen
xdx
xsen
xsendx
xsen
x
dx
xsen
xsendx
xsen
xdx
xsen
xsenx
dx
senx
senx
xsenx
dx
senx
xsen
senx
x
senx
xsengx
Faremos
3cos23cos2
3cos23cos2
3cos23cos23cot2
22
32
2
3
22
3
3
2
2
�����
ãosubstituiç da método pelo 
 
 
C
senx
CuCuduu
u
du
xsen
xdxdx
xsen
x
+=++=+
+−
−=−=
−
==
−
+−
−
∫ ∫∫∫
1
12
coscos 1
12
2
222
 
 
 O método é por substituição: 
cos cos
u senx
du xdx du xdx
=

= − ⇒ − =
 
 
 Dando continuidade: ` 
 
.cos3123cos23cot2 2
2
Cx
senx
senxdxdx
xsen
x
senx
xsengx
+−=−=
−
∫∫∫
 
 
2) Determine uma função f(x) tal que f ´ (x) + 6 sen(3x) = 0 e f (0) = 5 . 
 
 
 
( ) ( )
( ) dxxsendxxf
xsenxfxsenxf
)3(6
)3(60)3(6`
∫ ∫−=′
−=′⇒=+′
 
 
 
O método é por substituição: 
3
3
3
dudxdxdu
xu
=⇒=
=
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
6 (3 ) 6 ( ) 2 ( ) 2 cos
3
cos 2 cos 3
duf x f x dx sen x dx sen u sen u du u C
f x u C f x x C
′= = − = − ⋅ = − = +
= − + ⇒ = +
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
Como f(0)=5 
 
( ) ( )( )0 2 cos 3 5 2 cos(0) 5 2 1 5 3f x C C C C= + = ⇒ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒ = 
( ) ( )2cos 3 3f x x= + 
 
8 
 
Esta é a função procurada! 
 
 
3) Calcule as integrais abaixo: 
 
a) 22sec 3x tgxdx∫ 
b) ( )82 4 1x x dx+∫ 
 
 
 
Observação: Extraído de notas de aula do professor Paulo Nascimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
• INTEGRAL POR PARTES 
 
É a técnica de integração proveniente da derivada da função produto, isto é, se 
tivermos a derivada seguinte: (u(x).v(x))’=u’(x).v(x)+u(x).v’(x), logo temos que a 
integral. 
.)(').()().()(')(
)(').()().(')().(
)(').()().('))'().((
∫∫
∫∫
∫∫ ∫
−=
⇒+=
+=
dxxvxuxvxudxxuxv
dxxvxudxxvxuxvxu
dxxvxudxxvxudxxvxu
 
Logo temos que:
 
∫∫ −= dxxvxuxvxudxxuxv )(').()().()(')( 
 
 
Exemplo 1: ∫ dxxe
x2
 
 
Seja xxveexu x == )()(' 2 , logo ∫ ∫ === xx edxedxxuxu 22 2
1)(')(
 e 1)(' =xv . 
Então temos que: 
 
( ) '( ) ( ). ( ) ( ). '( )v x u x dx u x v x u x v x dx= − ⇒∫ ∫
Cexedxexedxxe xx
x
xx +−=−=∫ ∫
22
2
22
4
1
.
2
11.
2
.
2
1
 
 
Mais exercícios resolvidos! 
 
Calcule as integrais abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
Observação: Extraído de notas de aula do professor Paulo Nascimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
• ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA 
 
 Seja f(x)= )(')( xF
dx
xdF
= , a taxa de variação da função F(x). Queremos saber 
qual de a variação de F(x) entre x=a e x=b. 
 
)()()(')( aFbF
b
a
dxxF
b
a
dxxf −∫ ==∫ , 
 
 
onde F é uma antiderivada (ou integral indefinida) de f. O símbolo ∫
b
a
dxxf )( é lido com 
“a integral (definida) de f de a até b”. Os números a e b são denominados limites de 
integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é comum usar o símbolo 
b
a
xF )(
 para a diferença )()( aFbF − . 
 
Exemplo 1: Uma população de uma cidade está crescendo a uma taxa de 5
1033 2 ++ tt
 pessoas por mês, onde t é o tempo dado em meses. Qual o crescimento da 
população nos próximos 6 meses? 
 
3 2
'( ) 5 3 10P t t t= + + ⇒ P(6)-P(0)== ∫
6
0
(5 1033 2 ++ tt )dt= ∫
6
0
(5 1033
2
++ tt
)dt= |60
2
3
5
]10
2
3
3
55[ t
tt
++ = |6023
5
]10
2
33[ ttt ++ = |6023 5 ]10233[ ttt ++ =
]0.100.
2
303[6.106
2
363 3 523 5 ++−++ = 173,43 pessoas. 
 
Exemplo 2: O custo marginal de uma fábrica é de 6(q2+2q+3)2.(q+1) reais por 
unidade. De quanto o custo aumentará se a produção aumentar de 5 para 8 unidades? 
 
C’(q) = 6(q2+2q+3)2.(q+1) ⇒ 
C(8) – C(5) = dqqqqdqqC )1).(32(6)('
8
5
2
8
5
+++= ∫∫ 
14 
 
X 
 
Seja u= q2+2q+3 ⇒ du = (2q+2)dq ⇒ du = 2(q+1)dq ⇒ 
2
du
= (q+1)dq. Logo C(8) -
C(5=
8 8 2 2
'( ) 6 ( 2 3) .( 1)
5 5
C q dq q q q dq= + + +∫ ∫
 
 
38 8 82 26 . 3 3 | 52 35 5
d u u
u u d u= =∫ ∫
 
 
reais
qqu
915.516
)³35.2²5()³8.2²8()32( || 8532853
=
++−++=++=
 
 
 
• ÁREA COM INTEGRAL DEFINIDA 
 
Suponha que f é uma função não negativa definida no intervalo a ≤ x ≤ b. Então, a 
região R limitado pelo gráfico de f, pelo eixo OX e pelas retas x = a e x = b tem uma 
área de 
 
 
 
Área de R = ∫
b
a
dxxf )( . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Encontre a área da região limitada pela reta y = 2x, o eixo de x e a 
reta vertical x = 2. 
 
 Área=
4022 22
2
0
2
0
2
=−==∫ xxdx 
 
 
 
 
 
 
 
y = 2x 
2 x 
y 
4 
15 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre a área da região limitada pela curva y = -x2 + 4x – 3 e pelo 
eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área = ( )∫ =−+−
3
1
2 34 dxxx
 
 
3
432
3
191893
2
4
3
3
1
23
=





−+−−−+−=





−+−= x
xx
 
Exemplo 3: Encontre a área da região R no primeiro quadrante que se situa sob a 
curva 
x
y 1=
 e é limitada por esta curva e pelas retas y = x, y = 0 (eixo x) e x = 2. 
 
Área de R1= 
2
1
2
1
0
21
0
==∫
x
xdx
 
 
Área de R2 = 
2
2
1
1
l n d x x
x
= =∫ 
 
 
 
 = ln 2 ln1 ln 2− = 
Área = 19,12ln2
1
≅+
 
 
x 
y 
1 3 
2 x 
y = x 
R1 R2 
1 
y = 1/x 
y