Potências trigonométricas_Cálculo de integrais

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UNIFACS - Cálculo II
Métodos de Integração 3
Texto elaborado pelos professores Adelmo R. de Jesus/Ilka R. Freire/Ma Amélia Barbosa
Integrais de Funções Trigonométricas
 
 Já sabemos calcular as integrais de senx, cosx, tgx, secx, sec2x, etc. Resta-nos calcular integrais que têm potencias de seno e cosseno , como 
 , 
, 
 etc. Vamos dividir o estudo em dois casos.
Integrais envolvendo potências de seno e cosseno: 
1o Caso: Uma das potências é ímpar e positiva
A idéia é escrever o termo que tem a potência ímpar como produto de duas potências, sendo uma delas igual a 1 e manter o outro termo fixo, ou seja, se m é ímpar então 
, onde 
 é escrito em termos de cos(x) mediante a identidade trigonométrica 
, uma vez que m (1 é par ; se n é ímpar então 
 , onde 
 é escrito em termos de sen(x) mediante a identidade trigonométrica 
, uma vez que n (1 é par . 
Exemplos: 
; 
Exemplo 1 : 
Faça 
. Escreva agora 
 para fazer a substituição u = cos x
Temos assim: u = cos x e du = (sen x dx. Substituindo na integral:
Exemplo 2: 
 Faça 
. Escreva agora 
 para fazer a substituição u = cos x 
Temos assim: u = cos x e du = (sen x dx. Substituindo na integral: 
�� EMBED Equation.3 = 
Exemplo 3: 
Faça 
 (Observe que no caso de duas potências ímpares, escolhemos a menor delas para facilitar os cálculos). Escreva 
 para fazer a substituição u = sen(x) e du = cos(x) dx. Substituindo na integral:
2o Caso: As duas potências são pares e não negativas
Neste caso usamos as identidades trigonométricas 
 e 
Exemplo 4: 
Neste exemplo vamos precisar também escrever cos2 (2x) como 
 (veja fórmula acima)
 = 
 = 
 = 
Exemplo 5: 
Observe que é preciso usar novamente a identidade trigonométrica supra citada para escrever 
 = 
Daí, ( * ) =
Referências Bibliográficas e Internet:
Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1)
Cálculo A – Diva Fleming /Miriam Buss
Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1)
Exercícios:
1) 
2) 
Exemplo 3: 
Faça 
 (Observe que no caso de duas potências ímpares, escolhemos a menor delas para facilitar os cálculos). Escreva 
 para fazer a substituição u = sen(x) e du = cos(x) dx. Substituindo na integral:
2o Caso: As duas potências são pares e não negativas
Neste caso usamos as identidades trigonométricas 
 e 
Exemplo 4: 
Neste exemplo vamos precisar também escrever cos2 (2x) como 
 (veja fórmula acima)
 = 
 = 
 = 
Exemplo 5: 
Observe que é preciso usar novamente a identidade trigonométrica supra citada para escrever 
 = 
Daí, ( * ) =
Referências Bibliográficas e Internet:
Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1)
Cálculo A – Diva Fleming /Miriam Buss
Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1)
Exercícios:
1) 
2) 
Exemplo 3: 
Faça 
 (Observe que no caso de duas potências ímpares, escolhemos a menor delas para facilitar os cálculos). Escreva 
 para fazer a substituição u = sen(x) e du = cos(x) dx. Substituindo na integral:
2o Caso: As duas potências são pares e não negativas
Neste caso usamos as identidades trigonométricas 
 e 
Exemplo 4: 
Neste exemplo vamos precisar também escrever cos2 (2x) como 
 (veja fórmula acima)
 = 
 = 
 = 
Exemplo 5: 
Observe que é preciso usar novamente a identidade trigonométrica supra citada para escrever 
 = 
Daí, ( * ) =
Referências Bibliográficas e Internet:
Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1)
Cálculo A – Diva Fleming /Miriam Buss
Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1)
Exercícios:
1) 
2) 
_1126904292.unknown
_1184700169.unknown
_1184700690.unknown
_1235386464.unknown
_1184700594.unknown
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