P2_062009

Prévia do material em texto

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CCE-UFES
SEGUNDA PROVA DE CÁLCULO III (DEP)
Nome: Data: 25/06/2009
1. Seja a > 0 constante. Determine a ÁREA A do parabolóide z = a2 − x2 − y2
acima do plano-xy (z = 0).
2. Determine o valor de a ∈ R que maximiza a integral
I =
∫ a
−a
∫ √a2−x2
−√a2−x2
(9− x2 − y2) dy dx.
3. Considere a integral
I =
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ √8−x2−y2
√
x2+y2
√
x2 + y2 + z2 dz dy dx.
(a) Escreva I em coordenadas cilíndricas.
(b) Escreva I em coordenadas esféricas.
(c) Calcule o valor de I usando (a) ou (b) (à sua escolha).
4. Determine as coordenadas (x, y, z) do centróide do sólido Q situado acima do cone
z =
√
x2 + y2 e abaixo do plano z = h, h > 0.
Observação: f denota o valor médio de uma função f sobre uma região Q ⊂ R3
f =
1
vol(Q)
∫∫
Q
∫
f(x, y, z) dV
Valor das questões:
1) e 2) 2,0 cada.
3) e 4) 3,0 cada.