P2_022005_B

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CCE-UFES
TERCEIRA PROVA DE CA´LCULO III
Nome: Data: 18/02/2005
Obs. Todas as respostas devera˜o ser justificadas mediante um ca´lculo
expl´ıcito.
1. Seja f : R2 → R uma func¸a˜o cont´ınua e seja Da = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ a2} o
disco de centro (0,0) e raio a > 0.
Definimos
∫ ∫
R2
f(x, y) dA = lim
a→+∞
∫ ∫
Da
f(x, y) dA.
Calcule
∫ ∫
R2
e−(x
2+y2) dA.
2. Deseja-se construir um silo (reservato´rio fechado) no formato do gra´fico do para-
bolo´ide z = h − x2 − y2, onde h > 0 e´ a altura do silo. Considerando-se que o silo
e´ fechado com a tampa inferior no formato de um disco. Calcule a a´rea total deste
reservato´rio.
3. Considere uma piraˆmide de base quadrada de lado a > 0 e altura b > 0. Determine:
(a) Uma fo´rmula integral tripla (com os devidos limites de integrac¸a˜o) para o
ca´lculo do volume V desta piraˆmide.
(b) Calcule V .
Sugesta˜o: Considere a base da piraˆmide com ve´rtices nos pontos (a, 0), (0, a), (−a, 0), (0,−a)
no plano-xy e o ve´rtice superior da piraˆmide no eixo-z. Utilize argumentos de sime-
tria.
4. Determine as coordenadas (x, y, z) do centro´ide do so´lido Q situado acima do cone
z =
√
x2 + y2 e abaixo do plano z = h, h > 0.
Valor das questo˜es: 2,5 cada.