P2_112005

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CCE-UFES
SEGUNDA PROVA DE CA´LCULO III
Nome: Data: 24/11/2005
Todas as respostas devera˜o ser rigorosamente justificadas com ca´lculo expl´ıcito.
1. O gra´fico da func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = a − c√x2 + y2, a > 0, c > 0 e´ um cone. Seja S
a parte do gra´fico de f acima do plano z = 0. Determine uma fo´rmula integral dupla para o
ca´lculo da a´rea A da superf´ıcie S, em seguida calcule esta integral.
2. Determine o valor de a ∈ R que maximiza a integral
I =
∫ a
−a
∫ √a2−x2
−√a2−x2
(9− x2 − y2) dy dx.
3. Seja D ⊂ R3 o so´lido delimitado superiormente pelo plano z = a2 e inferiormente pelo para-
bolo´ide z = x2 + y2. Se a densidade deste so´lido e´ dada por δ(x, y, z) = 1 + 3z2 kg/m3.
Calcule a massa total M deste so´lido.
4. Calcule a integral ∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
∫ √18−x2−y2
√
x2+y2
(x2 + y2 + z2) dz dy dx.
Valor das Questo˜es: 2,5 cada.