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ÍNDICES DE MATERIAL Restrições determinam limites de propriedades. Objetos definem índices de material, para os quais procuramos valores extremos. Quando o objetivo não está ligado a uma restrição, o índice de material é uma simples propriedade de material. Mas, se os dois estão ligados, o índice torna-se um grupo de propriedades. Elementos estruturais são componentes que desempenham uma função física: suportam cargas, transmitem calor, armazenam energia, e assim por diante – cumprem requisitos funcionais. O desempenho de um elemento estrutural é determinado por três pontos: os requisitos funcionais, a geometria e as propriedades do material do qual é feito. O desempenho P do elemento é descrito pela equação: [( ) ( ) ( )] Ou P = f(F,G,M) Onde P, o desempenho métrico, descreve alguns aspectos do desempenho do componente: sua massa, volume ou vida útil, por exemplo; e f(F,G,M) significa função de. Projeto ótimo é a seleção do material e geometria que maximizam ou minimizam P, de acordo com sua conveniência ou qualquer outra coisa. Os três grupos de parâmetros são separáveis quando a equação pode ser escrita: P = f1(F).f2(G).f3(M) Onde f1, f2 e f3 são funções separadas que são simplesmente multiplicadas uma pela outra – fato que comumente acontece. Quando isso ocorre, a escolha ótima de material torna-se independente dos detalhes do projeto – é igual para todas as geometrias, G e para todos os valores do requisito da função, F. Assim, o subconjunto ótimo de materiais pode ser identificado sem resolver o problema de projeto inteiro, ou até sem conhecer todos os detalhes de F e G, permitindo enorme simplificação. O desempenho para todas F e G é maximizado, maximizando f3(M), que é denominado coeficiente de eficiência do material ou abreviamente, índice do material. A parte remanescente, f1(F).f2(G) está relacionada com o coeficiente de eficiência estrutural ,ou índice estrutural. Cada combinação de função, objetivo e restrição resulta em um índice de material. O índice é característico da combinação e, por consequência, da função que o componente executa. TABELA – EXEMPLOS DE ÍNDICES DE MATERIAL Tirante, peso mínimo, rigidez prescrita Viga, peso mínimo, rigidez prescrita Viga, peso mínimo, rigidez prescrita Viga, custo mínimo, rigidez prescrita Viga, custo mínimo, rigidez prescrita Coluna, custo mínimo, rigidez prescrita Mola, peso mínimo para armazenamento de energia dado Isolamento térmico, custo mínimo, fluxo de calor prescrito Eletromagneto, campo máximo, elevação de temperatura prescrita ρ = densidade; E = Módulo de Young; σγ = limite elástico; Cm = custo/kg; λ = condutividade térmica; ρe = resistividade elétrica; Cp = calor específico. EXEMPLO: UM PROJETO DE PESO MÍNIMO, COM ALGUMAS RESTRIÇÕES QUANTO A RIGIDEZ E RESISTÊNCIA. 1: MINIMIZAR MASSA: UM TIRANTE LEVE, FORTE. Um projeta precisa de um tirante que deva suportar uma força de tração F* sem falhar e ser o mais leve possível. - Especifica-se o comprimento, L, mas não a área de seção transversal, A. Neste caso, maximizar o desempenho significa minimizar a massa e, ao mesmo tempo, suportar carga F* com segurança. Traduzimos os requisitos de projeto na seguinte tabela: TABELA – Requisitos de projeto para o tirante leve, forte Função Tirante de união Restrições Comprimento L especificado (restrição geométrica) O tirante deve suportar a carga de tração axial F* sem falhar (restrição funcional) Objetivo Minimizar a massa m do tirante Variáveis livres Área da secção transversal A Escolha de material Em primeiro lugar, devemos procurar uma equação que descreva a quantidade a ser maximizada ou minimizada. Essa equação, denominada função objetivo é: m = A L ρ onde m indica a massa do tirante, massa mínima, A é a área da secção transversal e ρ é a densidade do material do qual ela é feita. O comprimento L e a força F são fixos (especificados) e a seção transversal A é livre. Neste caso, podemos diminuir a massa, reduzindo a seção transversal, com uma restrição: a área da secção transversal A, deve ser suficiente para suportar F*. Assim: Onde σf é a resistência à falha. Eliminando A, entre essas duas equações, temos: ( )( ) ( ) Podemos observar que o primeiro parêntese contém a carga especificada, F. O segundo contém a geometria especificada (comprimento L do tirante). O último parêntese contém as propriedades do material. O tirante mais leve que suportará F* com segurança é feito do material que tiver o menor valor de ρ/σf. Podemos definir isso como o índice de material do problema e procurar um mínimo. Mas, quando tratamos com propriedades específicas, é mais comum expressá-lo de uma forma na qual um máximo é procurado. Para tanto, invertemos as propriedades do material e definimos o índice de material Mt (t de tirante) como: O tirante de união mais leve que suportará F* sem falhar é aquele que tiver o maior valor para esse índice – a resistência específica. De maneira semelhante, o cálculo para um tirante leve, rígido (para o qual a rigidez S é especificada) resulta no índice: Onde E é o módulo específico. O índice é portanto a rigidez específica. Restrição funcional Restrição Geométrica Propriedades do Material Em ambos os casos, o grupo de material (e não apenas uma propriedade) aparece como o índice, pois minimizar a massa m (o objetivo) estava ligado às restrições de suportar a carga F sem falhar, nem sofrer deflexão excessiva. 2: MINIMIZAR MASSA: PAINEL LEVE, RÍGIDO. Um painel é uma placa plana, como o tampo de uma mesa. Seu comprimento L e largura b são especificados, mas sua espessura é livre. É carregado sob flexão por uma carga central F A restrição de rigidez requer que não sofra deflexão maior do que δ. O objetivo é conseguir isso com massa mínima m. Traduzimos os requisitos de projeto na seguinte tabela: TABELA – Requisitos de projeto para um painel leve, rigido Função Painel Restrições Rigidez a flexão S* especificada (restrição funcional Comprimento L e largura b especificados (restrições geométricas) Objetivo Minimizar a massa m do painel Variáveis livres Espessura do painel h Escolha de material A função objetivo para a massa do painel é a mesma que para o tirante: m = A L ρ = b h L ρ Sua rigidez à flexão S deve ser no mínimo S*: Onde C1 é uma constante que depende somente da distribuição das cargas (tabelada). O momento de segunda ordem de área I, para uma seção retangular é: Podemos diminuir a massa reduzindo a espessura, h, porém somente até o ponto em que a restrição de rigidez ainda é atendida. Usando as últimas duas equações para eliminar h na função objetivo temos: ( ) ( ) ( ) As quantidades S*, L, b e C são especificadas; a única liberdade de escolha que resta é a do material. O índice é o grupo de propriedades de materiais que invertemos de modo a procurar um máximo: os melhores materiais para um paínel leve, rígido são os que têm os maiores valores de : Restrição funcional Restrição Geométrica Propriedades do Material Repetindo o cálculo com uma restrição de resistência em vez de rigidez, obtemos oíndice: Esses índices são diferentes dos anteriores, E/ρ e σf/ρ, resultando em escolhas distintas de material. 3 – MINIMIZAR MASSA: UMA VIGA LEVE, RIGIDA. Existem muitas formas de vigas, algumas têm um número demasiadamente grande de variáveis geométricas livres para que possamos aplicar diretamente o método que estamos utilizando. Porém, se restringirmos forma a ser autossemelhante, ou seja, de modo que todas as dimensões da seção transversal mudem na mesma proporção em que variamos o tamanho global, podemos enfim utilizar o método. Para tanto, consideramos vigas em dois estágios: no primeiro, identificamos os materiais ótimos para uma viga leve, rigida, de forma simples (uma seção quadrada); no segundo, exploramos como ela poderia ficar muito mais leve, para a mesma rigidez, usando uma forma mais eficiente. Considere uma viga de seção quadrada A = b x b que pode variar de tamanho, porém mantendo a forma quadrada. Ela é carregada sob flexão em um vão de comprimento fixo L, com uma carga central F. A restrição de rigidez é que ela não deve sofrer deflexão maior do que δ sob a carga F. O objetivo é que a viga seja o mais leve possível. TABELA – Requisitos de projeto para umaviga leve, rígida Função Viga Restrições Comprimento L é especificado (restrição geométrica) Forma da seção quadrada (Restição geométrica) A viga deve suportar carregamento sob flexão F sem sofrer demasiada deflexão, ou seja, a rigidez a flexão S é especificada como S* (Restrição funcional) Objetivo Minimizar a massa m da viga Variáveis livres Area A da seção transversaç Escolha de material A função objetivo para a massa é: m = A L ρ = b2 L ρ A rigidez à flexão S da viga deve ser no mínimo S*: Onde C2 é uma constante. O Momento de segunda ordem de área I, para uma viga de seção quadrada é: Para um determinado comprimento L, S* é ajustada alterando-se o tamanho da seção quadrada. Eliminando b (ou A) na função objetivo para a massa, temos: ( ) ( ) ( ) As quantidades S*, L e C2 são todas especificadas ou constantes. Os melhores materiais para uma viga leve, rígida são os que tem os maiores valores do índice Mb: Repetindo o cálculo com uma restrição de resistência em vez de rigidez: Essa análise foi para uma viga quadrada, porém na verdade o resultado vale para qualquer forma, desde que a forma seja constante – para uma forma dada, o momento de segunda ordem de área I sempre pode ser expresso como uma constante vezes A2, portanto mudar a forma apenas muda a constante C2, e não o índice resultante. Vigas reais tem formas de seção que melhoram sua eficiencia sob flexão, exigindo menos material para obter a mesma rigidez. Conformando a seção transversal é possivel aumentar I sem mudar A. esse processo é conseguido localizando o material da viga o mais longe possível do eixo neutro, como em tubos de parede fina ou vigas de abas duplas (I) Alguns materiais se prestam mais que outros à conformação em formas eficientes. Portanto comparar materiais tendo como base o índice em Mb exige cautela – materiais com índices de valores mais baixos podem alcançar outros se forem transformados em formas mais eficientes.
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