Condução de Calor

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Equação de Condução de Calor
Objetivos
Quando termine de estudar este capítulo, se deve:
• Entender a dependência multidimensional e temporal da transferência 
de calor, e as condições sob as quais um problema de transferência de 
calor pode ser aproximado para um problema unidimensional,
• Obter a equação diferencial da condução de calor em vários sistemas 
coordenados, e simplificar eles para um caso unidimensional,
• Identificar as condições térmicas nas superfícies, e expressar as • Identificar as condições térmicas nas superfícies, e expressar as 
mesmas matematicamente como condições de contorno e iniciais,
• Resolver problemas de condução de calor unidimensionais e obter a 
distribuição de temperaturas dentro do meio e o fluxo de calor,
• Analisar a condução de calor unidimensional em sólidos que 
envolvem a geração de calor, e
• Avaliar a condução de calor em sólidos com condutividade térmica 
dependente da temperatura.
Introdução
• Embora a transferência de calor e a temperatura 
são bastante relacionados, eles são de natureza 
diferente.
• Temperatura apenas possui a magnitude
é uma quantidade escalar.
• A transferência de calor possui direção assim como 
magnitude 
é uma quantidade vetorial.
• Se trabalha com um sistema de coordenadas e se 
indica a direção com sinais + e -.
Introdução ─ Continuação
• A força motriz para qualquer forma de transferência 
de calor é a diferença de temperatura.
• Quando a diferença de temperatura é maior, maior é 
a taxa de transferência de calor.
• Três sistemas coordenados primários:• Três sistemas coordenados primários:
– cartesiano (T(x, y, z, t)) ,
– cilíndrico (T(r, φ, z, t)),
– esférico (T(r, φ, θ, t)).
Classificação dos problemas de transferência de 
calor por condução:
• transferência de calor estacionária versus 
Introdução ─ Continuação
• transferência de calor estacionária versus 
transiente,
• transferência de calor multidimensional,
• geração de calor.
Transferência de Calor Estacionária 
versus Transiente
• Estacionária implica a não variação com o tempo 
em qualquer ponto
dentro do meio
• Transiente implica a variação com o tempo ou a 
dependência temporal
Transferência de Calor 
Multidimensional
• Problemas de transferência de calor também se 
classificam como:
– unidimensionais,
– bidimensionais,
– tridimensionais.
• No caso mais geral, a transferência de calor através de 
um meio é tridimensional. Porem, alguns problemas 
podem ser classificados como bi- ou unidimensionais 
dependendo das magnitudes relativas das taxas de 
transferência de calor nas diferentes direções e do nível 
de exatidão desejado.
• A taxa de condução de calor através do meio 
numa direção determinada (e.g., na direção x) é 
expressa pela Lei de Fourier da condução de 
calor para a condução de calor unidimensional:
• O calor é conduzido na direção de 
 (W)cond
dTQ kA
dx
= −
& (2-1)
• O calor é conduzido na direção de 
diminuição da temperatura, e então 
o gradiente da temperatura é 
negativo quando o calor é conduzido na direção 
positiva de x.
Relação Geral da Lei de Fourier da 
Condução de Calor
• O fluxo de calor no ponto P na superfície da 
figura deve ser perpendicular à superfície, e deve 
apontar na direção de diminuição da temperatura
• Se n é a normal da superfície 
isotérmica no ponto P, a taxaisotérmica no ponto P, a taxa
de condução de calor no ponto
pode ser expressa pela lei de
Fourier como
 (W)n
dTQ kA
dn
= −
& (2-2)
Relação Geral da Lei de Fourier da 
Condução de Calor
• Em coordenadas cartesianas, o vetor da condução de 
calor pode ser expresso em termos de seus componentes 
como
• que pode ser determinado da lei de Fourier como
n x y zQ Q i Q j Q k= + +
r rr r
& & & & (2-3)
• que pode ser determinado da lei de Fourier como
 x x
y y
z z
TQ kA
x
TQ kA
y
TQ kA
z
 ∂
= − ∂
∂
= − ∂
 ∂
= − ∂
&
&
&
(2-4)
Geração de Calor
• Exemplos:
– energia elétrica se convertendo à calor na taxa I2R,
– elementos combustível de reatores nucleares,
– reações químicas exotérmicas.
• A geração de calor é um fenômeno volumétrico.
• As unidades da geração de calor: W/m3 ou Btu/h · ft3.• As unidades da geração de calor: W/m3 ou Btu/h · ft3.
• A taxa de geração de calor num meio pode variar com 
o tempo, assim como com a posição dentro do meio. 
• A taxa total de geração de calor num meio de volume 
V pode ser determinada de
 (W)gen gen
V
E e dV= ∫& & (2-5)
Equação de Condução de Calor 
Unidimensional – Parede Plana
Taxa de 
condução de 
calor em x
Taxa de 
condução de 
calor em
x+∆∆∆∆x
Taxa de geração 
de calor dentro 
do elemento
Taxa de variação 
do conteúdo de 
energia do 
elemento
- + =
E∆
xQ& ,gen elementE+ &x xQ +∆− & element
E
t
∆
=
∆
(2-6)
• A variação do conteúdo de energia e a taxa de 
geração de calor pode ser expressa como
( ) ( )
,
element t t t t t t t t t
gen element gen element gen
E E E mc T T cA x T T
E e V e A x
ρ+∆ +∆ +∆∆ = − = − = ∆ −

= = ∆ & & &
,
element
x x x gen element
EQ Q E
t+∆
∆
− + =
∆
& & & (2-6)
(2-7)
(2-8)
• Substituindo na Eq. 2–6, se obtém
x x xQ Q +∆−& & (2-9)gene A x+ ∆& t t t
T T
cA x
t
ρ +∆ −= ∆
∆
1
gen
T TkA e c
A x x t
ρ∂ ∂ ∂  + = ∂ ∂ ∂ 
& (2-11)
• Dividindo por A∆x, tomando o limite de ∆x� 0 e ∆t� 0, 
e usando a lei de Fourier:
A área A de uma parede plana é constante � a equação de 
condução de calor 1D transiente numa parede plana é
gen
T Tk e c
x x t
ρ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ 
&Condutividade variável:
Condutividade constante:
2
2
1
 ; gen
eT T k
x k t c
α
α ρ
∂ ∂
+ = =
∂ ∂
&
A equação da condução unidimensional se pode reduzir as 
(2-13)
(2-14)
1) Estado estacionário:
2) Transiente, sem geração de calor:
3) Estacionário, sem geração de calor:
2
2 0
gened T
dx k
+ =
&
2
2
1T T
x tα
∂ ∂
=
∂ ∂
2
2 0
d T
dx
=
A equação da condução unidimensional se pode reduzir as 
seguintes formas sob condições especiais 
(2-15)
(2-16)
(2-17)
Equação de Condução de Calor 
Unidimensional – Cilindro Longo
Taxa de 
condução de 
calor em r
Taxa de 
condução de 
calor em
r+∆∆∆∆r
Taxa de geração 
de calor dentro 
do elemento
Taxa de variação 
do conteúdo de 
energia do 
elemento
- + =
rQ& ,gen elementE+ & element
E
t
∆
=
∆r rQ +∆−
&
(2-18)
• A variação do conteúdo de energia e a taxa de geração 
de calor se podem expressar como
( ) ( )
,
element t t t t t t t t t
gen element gen element gen
E E E mc T T cA r T T
E e V e A r
ρ+∆ +∆ +∆∆ = − = − = ∆ −

= = ∆ & & &
,
element
r r r gen element
EQ Q E
t+∆
∆
− + =
∆
& & & (2-18)
(2-19)
(2-20)
• Substituindo na Eq. 2–18, se obtém
r r r
Q Q +∆−& & (2-21)gene A r+ ∆& t t t
T T
cA r
t
ρ +∆ −= ∆
∆
1
gen
T TkA e c
A r r t
ρ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ 
& (2-23)
• Dividindo por A∆r, tomando o limite ∆r� 0 e ∆t� 0, 
e usando a lei de Fourier:
Notando que a área varia com a variável independente r de 
acordo com A=2pirL, a equação unidimensional transiente da 
condução de calor num cilindro longo se torna
1
gen
T T
rk e c
r r r t
ρ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ 
&
A equação da condução unidimensional se pode reduzir as 
1 1geneT T
r
r r r k tα
∂ ∂ ∂ 
+ = ∂ ∂ ∂ 
&
Condutividade variável:
Condutividade constante:
(2-25)
(2-26)
1 0gen
ed dT
r
r dr dr k
 
+ = 
 
&
A equação da condução unidimensional se pode reduzir as 
seguintes formas baixo condições particulares 
1 1T T
r
r r r tα
∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 
0d dTr
dr dr
 
= 
 
1) Estado estacionário:
2) Transiente, sem ger. de calor:
3) Estacionário, sem ger. de calor:
(2-27)
(2-28)
(2-29)
Equação de Condução de Calor 
Unidimensional – Esfera
2
2
1
gen
T T
r k e c
r r r t
ρ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ 
&
2
2
1 1geneT T
r
r r r k tα
∂ ∂ ∂ 
+ = ∂ ∂ ∂ 
&
Condutividade variável:
Condutividade constante:
(2-30)
(2-31)
Equação Geral da Condução de Calor
x y zQ Q Q+ +& & &
Taxa de 
condução de 
calor em x, y, 
e z
Taxa de 
condução de 
calor em
x+∆∆∆∆x, y+∆∆∆∆y, e 
z+∆∆∆∆z 
Taxa de
geração de 
calor dentro
do elemento
Taxa de 
variação do 
conteúdo de 
energia do 
elemento
- + =
x x y y z zQ Q Q+∆ +∆ +∆− − −& & & ,gen elementE+ element
E
t
∆
=
∆
(2-36)
Repetindo o procedimento matemático usado para a 
condução de calor unidimensional a equação de condução 
de calor tridimensional se determina por 
2 2 2
2 2 2
1geneT T T T
x y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
&
Bidimensional
Condutividade constante: (2-39)
2 2 2
2 2 2 0
geneT T T
x y z k
∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
&
2 2 2
2 2 2
1T T T T
x y z tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2 0
T T T
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
Tridimensional
1) Estado estacionário:
2) Transiente, sem ger. de calor:
3) Estacionário, sem ger. de calor:
(2-40)
(2-41)
(2-42)
Coordenadas cilíndricas
2
1 1
gen
T T T T T
rk k k e c
r r r r z z t
ρφ φ
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
&
(2-43)
Coordenadas esféricas
2
2 2 2 2
1 1 1
sin
sin sin gen
T T T Tkr k k e c
r r r r r t
θ ρ
θ φ φ θ θ θ
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
&
(2-44)
Condições de Contorno e Iniciais
• Condição de temperatura especificada
• Fluxo de calor especificado
• Condição de convecção no contorno
• Condição de radiação no contorno
• Condições de contorno na interface
• Condições de contorno generalizadas
Condição de temperatura especificada
Para a transferência de calor 
unidimensional através de uma 
parede plana de espessura L, a 
condição de temperatura condição de temperatura 
especificada se pode expressar por
T(0, t) = T1
T(L, t) = T2
As temperaturas especificadas podem ser constantes, que é 
caso para a condução de calor estacionária, ou podem 
variar com o tempo.
(2-46)
Condição de fluxo de calor especificado
O fluxo de calor na direção positiva x
em qualquer lugar do meio, incluindo 
os contornos, se pode expressar pela 
Lei de Fourier da condução
dTq k
dx
= − =&
Fluxo de calor na 
direção positiva 
de x
O sinal do fluxo de calor se determina por inspeção: 
positivo se o fluxo de calor é na direção positiva do 
eixo de coordenadas, e negativo se é na direção 
oposta.
(2-47)
Dois casos especiais
Contorno isolado Simetria térmica
(0, ) (0, )0 or 0 T t T tk
x x
∂ ∂
= =
∂ ∂
( ),2 0LT t
x
∂
=
∂
(2-49) (2-50)
Condição de contorno de convecção
Condução de calor 
na superfície na 
direção selecionada
Convecção de calor 
na superfície na 
mesma direção=
[ ]1 1(0, ) (0, )T tk h T T t
x
∞
∂
− = −
∂
[ ]2 2( , ) ( , )T L tk h T L t T
x
∞
∂
− = −
∂
e
(2-51a)
(2-51b)
Condição de contorno de radiação
Condução de calor 
na superfície na 
direção selecionada
Troca por radiação 
na superfície na 
mesma direção
=
4 4
1 ,1
(0, ) (0, )surr
T tk T T t
x
ε σ
∂
 − = − ∂
4 4
2 ,2
( , ) ( , ) surr
T L tk T L t T
x
ε σ
∂
 − = − ∂
e
(2-52a)
(2-52b)
Condições de contorno na interface
Na interface os requerimentos são:
(1) dois corpos em contato devem ter a mesma 
temperatura na área de contato,
(2) a interface (que é uma superfície)
não pode armazenar qualquer
0 0( , ) ( , )A B
A B
T x t T x tk k
x x
∂ ∂
− = −
∂ ∂
não pode armazenar qualquer
tipo de energia, e dessa forma
o fluxo de calor em ambos os
lados deve ser o mesmo.
TA(x0, t) = TB(x0, t)
e
(2-53)
(2-54)
Condições de contorno generalizadas
Em geral uma superfície pode englobar processos de 
convecção, radiação, e fluxo de calor especificado 
simultaneamente. As condições de contorno nesses casos 
se obtém de um balanço de energia na superfície, como
Transferência de 
calor para a 
Transferência de 
calor da superfície =
calor para a 
superfície em 
todos os modos
calor da superfície 
em todos os modos
=
Geração de calor nos sólidos
As quantidades de maior interesse num meio com 
geração de calor são a temperatura da superfície Ts e a 
temperatura máxima Tmax que ocorre no meio numa 
operação estacionária.
Taxa de 
transferência de 
calor do sólido
Taxa de geração de 
energia dentro do 
sólido
=
Para uma geração de calor uniforme dentro do meio
 (W)genQ e V=& &
Geração de calor em sólidos – A 
temperatura da superfície
(2-64)
(2-63)
A taxa de transferência de calor por convecção pode 
ser expressa da lei de Newton do resfriamento como
( ) (W)s sQ hA T T∞= −&
gen
s
s
e V
T T
hA∞
= +
&
 (W)genQ e V=& &
-
(2-64)
(2-65)
(2-66)
Geração de calor em sólidos – A 
temperatura da superfície
Para uma parede plana grande de espessura 2L 
(As=2Awall e V=2LAwall)
, 
gen
s plane wall
e L
T T
h∞
= +
&
Para um cilindro sólido longo de raio r (A =2pir L e 
(2-67)
Para um cilindro sólido longo de raio r0 (As=2pir0L e 
V=pir02L) 0
, 2
gen
s cylinder
e r
T T
h∞
= +
&
Para uma esfera sólida de raio r0 (As=4pir02 e V=4/3pir03)
0
, 3
gen
s sphere
e r
T T
h∞
= +
&
(2-68)
(2-69)
Geração de calor em sólidos – A 
temperatura máxima num Cilindro
O calor gerado dentro de um cilindro 
interno deve ser igual ao calor conduzido 
através de sua superfície externa. 
r gen r
dTkA e V
dr
− = & (2-70)r gen rdr
Substituindo essas expressões na equação acima e 
separando as variáveis, se obtém
( ) ( )22 2gengen
edTk rL e r L dT rdr
dr k
pi pi− = → = −
&
&
Integrando de r =0 onde T(0) =T0 até r=ro
2
0
max, 0 4
gen
cylinder s
e r
T T T
k
∆ = − =
&
(2-71)
(2-70)
Condutividade térmica variável, k(T)
• A condutividade térmica de um 
material, em geral, varia com a 
temperatura.
• Um valor médio para a 
condutividade térmica se usa condutividade térmica se usa 
comumente quando a variação é 
pequena.
• Isso também é uma prática 
comum para outras 
propriedades que dependem da 
temperatura tais como a 
densidade e o calor específico.
Condutividade térmica variável para 
casos unidimensionais
2 ( )T k T dT∫
Quando a variação da condutividade térmica com a 
temperatura k(T) é conhecida, o valor médio da 
condutividade térmica no intervalo de temperaturas entre T1
e T2 se pode determinar de
(2-75)1
2 1
( )
T
ave
k T dT
k
T T
=
−
∫
A variação da condutividade térmica do material pode 
ser comumente aproximada por uma função linear, 
sendo expressa por
0( ) (1 )k T k Tβ= +
ββββ é coeficiente de temperatura da condutividade térmica.
(2-75)
(2-79)
Condutividade térmica variável
• Para uma parede plana a 
temperatura varia linearmente
durante a condução 
unidimensional quando a 
condutividade térmica é condutividade térmica é 
constante. 
• Esse não é o caso quando a 
condutividade térmica varia 
com a temperatura (mesmo 
que seja linearmente).