Condução de Calor Estacionária

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Condução de Calor 
Estacionária
Objetivos
Quando termine de estudar este capítulo, se deve:
• Entender o conceito de resistência térmica e suas limitações, e 
desenvolver malhas de resistências térmicas para problemas 
práticos de condução de calor,
• Resolver problemas de condução estacionária que envolvam 
geometrias de multicamadas retangulares, cilíndricas e 
esféricas,
• Desenvolver uma compreensão intuitiva da resistência de • Desenvolver uma compreensão intuitiva da resistência de 
contato térmica, e as circunstâncias nas quais ela pode ser 
significativa,
• Identificar aplicações nas quais o isolamento possa 
incrementar a transferência de calor, e
• Analisar superfícies aletadas, e acessar como aletas eficientes e 
efetivas podem incrementar a transferência de calor.
Condução de calor estacionária em 
paredes planas
1) Diferença de temperatura considerá-
vel entre as superfícies interna e ex-
terna da parede (gradiente de tempe-
ratura significativo na direção x).
2) A superfície da parede é quase isotérmica.
A modelagem estacionária unidimensional se 
aproxima.
• Assumindo que a transferência de calor é a única 
interação, e que não hás geração de calor, o balanço 
de energia se pode expressar 
Taxa de TC 
para dentro da 
parede
Taxa de TC 
para fora da 
parede
Taxa de 
variação da 
energia da 
parede
- =
Nulo para regime 
estacionário
ou
A taxa de transferência de calor através da 
parede deve ser constante. 
}0
0wallin out
dEQ Q
dt
=
− = =
& &
parede
(3-1)
• A Lei de Fourier da condução de calor para a parede 
plana se pode expressar como
• Lembrando que a taxa de transferência de calor por 
condução e a área da parede A são constantes se obtém
dT/dx=constante
,
 (W)cond wall
dTQ kA
dx
= −
& (3-2)
dT/dx=constante
a temperatura através da parede varia linearmente com x.
• Integrando a equação anterior e rearranjando resulta 
(3-3)1 2
,
 (W)cond wall
T TQ kA
L
−
=
&
Conceito de resistência térmica-
Resistência à Condução
• A Eq. 3–3 para a condução de calor através da 
parede plana pode ser rearranjada como
(3-4)1 2
,
 (W)cond wall
T TQ
R
−
=
&
• onde Rwall é a resistência à condução
expressa como 
,cond wall
wallR
(3-5)
 ( C/W)wall
LR
kA
=
o
Analogia com um circuito elétrico
• Eq. 3-5 é análoga à relação de Ohm em termos da
intensidade I, expressa como
(3-6)1 2
eR
V VI −=
Transf. de Calor Circuito elétrico
Taxa de TC �������� Corrente elétrica
Resistência térmica �������� Resistência elétrica
Diferença de temp. �������� Diferença de potencial
Conceito de resistência térmica-
Resistência à Convecção
• A resistência térmica também pode ser aplicada à 
processos de convecção.
• A lei do resfriamento de Newton para a taxa de TC por 
convecção se pode rearranjar como( )conv s sQ hA T T∞= −&convecção se pode rearranjar como
• Rconv é a resistência à convecção
( )conv s s ∞
(3-7) (W)sconv
conv
T TQ
R
∞
−
=
&
(3-8)1 ( C/W)conv
s
R
hA
=
o
Conceito de resistência térmica-
Resistência à Radiação Térmica
• A taxa de transferência de calor por radiação térmica 
entre a superfície e o meio rface and the surrounding
( )4 4 ( ) (W)s surrrad s s surr rad s s surr T TQ A T T h A T T Rεσ
−
= − = − =
&
(3-9)
( )
radR
(3-10)1
 ( /W)
rad
rad s
R K
h A
=
( )( )2 2 2 (W/m K)( )radrad s surr s surrs s surr
Qh T T T T
A T T
εσ= = + + ⋅
−
&
(3-11)
Conceito de resistência térmica-
Resistência à Convecção e Radiação
• A superfície exposta ao meio circundante pode 
envolver a convecção e a radiação simultaneamente.
• As resistências à convecção e radiação são em paralelo 
entre si.
• Quando T ≈T , o efeito de • Quando Tsurr≈T∞, o efeito de 
radiação pode ser considerado
corretamente trocando h
na resistência à relação da 
convecção por
hcomb = hconv+hrad (W/m2K)
(3-12)
Malha de resistência térmica
• considere a transferência unidimensional de calor 
através de uma parede plana exposta à convecção dos 
dois lados.
• Sob condições estacionárias se cumpre
Taxa de 
convecção de 
Taxa de 
condução de 
Taxa de 
convecção de = =
ou
convecção de 
calor para a 
parede
condução de 
calor através da 
parede
convecção de 
calor da parede
= =
(3-13)
( )
( )
1 ,1 1
1 2
2 2 ,2
Q h A T T
T TkA h A T T
L
∞
∞
= − =
−
= −
&
Rearranjando e somando
1 2 wallT T Q R− = ⋅&
,1 ,2T T∞ ∞− = ,1 ,2( )conv wall convQ R R R+ + totalQ R= ⋅
,1 1 ,1convT T Q R∞ − = ⋅&
2 ,2 ,2convT T Q R∞


+

− = ⋅
&
,1 ,2
1 2
1 1
 ( C/W)total conv wall conv
LR R R R
h A kA h A
= + + = + + o
(3-15),1 ,2
 (W)
total
T TQ
R
∞ ∞
−
=
&
(3-16)
onde
• Muitas vezes é conveniente expressar a transferência 
de calor através de um meio de forma análoga à Lei 
do resfriamento de Newton como
 (W)Q UA T= ∆& (3-18)
• onde U é o coeficiente global de transferência de 
calor.
• Note que 1
 ( C/K)
total
UA
R
=
o (3-19)
Paredes planas de multicamadas
• Na prática se encontra comumente paredes planas 
formadas de várias camadas de diferentes materiais.
• A taxa de TC estacionária através desta parede 
composta de duas camadas se pode expressar através 
da Eq. 3-15 onde a da Eq. 3-15 onde a 
resistência térmica total é
,1 ,1 ,2 ,2
1 2
1 1 2 2
1 1
 
total conv wall wall convR R R R R
L L
h A k A k A h A
= + + +
= + + +
(3-22)
Resistência térmica de contato
• Na realidade as superfícies possuem alguma rugosidade.
• Quando duas superfícies são pressionadas entre si, os 
picos tem um bom contato material mas os vales formam 
vazios recheados de ar. 
• Como resultado, a interface contém 
numerosos espaços de ar de tamanhos numerosos espaços de ar de tamanhos 
diferentes que atuam como isolantes
devido à baixa condutividade térmica
do ar. 
• Dessa forma, a interface oferece uma 
resistência à TC, que se denomina 
de resistência térmica de contato, Rc.
• O valor da resistência térmica de contato 
depende da
– rugosidade da superfície, 
– propriedades do material, 
– temperatura e pressão na interface, 
– tipo de fluido presso na interface. 
• A resistência térmica de contato diminui com a • A resistência térmica de contato diminui com a 
diminuição da rugosidade da superfície e com o 
aumento da pressão da interface.
• A resistência térmica de contato pode ser 
minimizada aplicando um líquido térmico de 
condução denominado de graxa térmica.
Malha de resistência térmica 
generalizada
• O conceito de resistência térmica pode-se usar para 
resolver problemas de TC estacionários com camadas 
paralelas ou combinando arranjos em serie-paralelo.
• A TC total de duas camadas em paralelo resulta
( )1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
1 1T T T TQ Q Q T T
R R R R
 
− −
= + = + = − + 
 
& & &
(3-29)
1
totalR
1 2
1 2 1 2
1 1 1
 = total
total
R RR
R R R R R
 
= + → 
+ 
(3-31)
Arranjos combinados em serie-paralelo
A taxa total de TC através de um 
sistema composto
(3-32)1T TQ
R
∞
−
=
&
onde
31 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3 3
1
 ; ; ; conv
LL LR R R R
k A k A k A hA
= = = =
totalR
1 2
12 3 3
1 2
 total conv conv
R RR R R R R R
R R
= + + = + +
+ (3-33)
(3-34)
Condução de calor em cilindros
Considere uma camada cilíndrica longa
Considerações:
– as duas superfícies da camada cilíndrica 
estão mantidas a temperaturas 
constantes T1 e T2,
– sem geração de calor,
– condutividadetérmica constante,
– condução de calor unidimensional.
Lei de Fourier da condução de calor
,
 (W)cond cyl
dTQ kA
dr
= −
& (3-35)
Separando as variáveis e integrando de r=r1, onde 
T(r1)=T1, até r=r2, onde T(r2)=T2
Substituindo A =2pirL e realizando as integrações resulta
,
 (W)cond cyl
dTQ kA
dr
= −
& (3-35)
2 2
1 1
,
r T
cond cyl
r r T T
Q
dr kdT
A
= =
= −∫ ∫
&
(3-36)
Substituindo A =2pirL e realizando as integrações resulta
Já que a taxa de TC é constante
( )
1 2
,
2 1
2
ln /cond cyl
T TQ Lk
r r
pi
−
=
& (3-37)
1 2
,cond cyl
cyl
T TQ
R
−
=
& (3-38)
Resistência térmica com convecção
A TC estacionária unidimensional através de uma 
camada cilíndrica ou esférica, que é exposta à convecção 
dos dois lados resulta em
(3-32),1 ,2
T TQ ∞ ∞−=&
onde
(3-32),1 ,2
total
Q
R
∞ ∞
=
&
( )
( )
( )
,1 ,2
2 1
1 1 2 2
ln /1 1
 
2 2 2
total conv cyl convR R R R
r r
r L h Lk r L hpi pi pi
= + + =
= + + (3-43)
Cilindros com 
multicamadas 
• A TC estacionária através
de cascas de multicamadas
cilíndricas ou esféricas podem ser tratadas como as planas.
• A TC estacionária através de um cilindro composto de três • A TC estacionária através de um cilindro composto de três 
camadas de comprimento L com convecção em ambos os 
lados se pode expressar pela Eq. 3-32 onde: 
( )
( ) ( ) ( )
( )
,1 ,1 ,3 ,3 ,2
2 1 3 2 4 3
1 1 1 2 3 2 2
ln / ln / ln /1 1
2 2 2 2 2
total conv cyl cyl cyl convR R R R R R
r r r r r r
r L h Lk Lk Lk r L hpi pi pi pi pi
= + + + + =
= + + + +
(3-46)
Raio crítico de isolamento térmico
• A adição de mais isolamento à paredes planas sempre 
diminui a transferência de calor.
• Porém, a adição de isolamento à um tubo cilíndrico 
ou uma casca esférica, é um assunto diferente.ou uma casca esférica, é um assunto diferente.
• A adição de isolamento aumenta a resistência à 
condução da camada de isolamento mas diminui a 
resistência à convecção da superfície devido ao 
aumento da área externa superficial para convecção.
• A transferência de calor de um tubo pode aumentar
ou diminuir, dependendo de qual efeito domina.
• Um tubo cilíndrico de raio externo r1
com uma temperatura superficial 
externa igual a T1 constante.
• O tubo é coberto com um isolamento
de (k e r2).
• A TC por convecção acontece a T
∞
e h.• A TC por convecção acontece a T
∞
e h.
• A taxa de TC do tubo isolado para o ar do meio externo se 
pode expressar por
( )
( )
1 1
2 1
2
ln / 1
2 2
ins conv
T T T TQ
r rR R
Lk h r Lpi pi
∞ ∞
− −
= =
+
+
&
(3-37)
0dQ
dr
=
&
• A variação da taxa de TC com o raio externo do 
isolamento r2 se mostra na
figura.
• O valor de r2 no qual 
atinge o máximo se 
determina por
Q&
2
0
dr
=
,
 (m)cr cylinder
k
r
h
=
• Realizando a diferenciação 
e resolvendo para r2 resulta
• Assim, o isolamento do tubo pode na verdade 
aumentar a taxa de TC em vez de diminuir a mesma.
(3-50)
Transferência de calor de superfícies 
estendidas 
• Lei do resfriamento de Newton
( )conv s sQ hA T T∞= −&
• Duas formas de aumentar a taxa de TC:
– aumentando o coeficiente de transferência de calor,
– aumentando a superfície de transferência de calor �aletas
• O uso de aletas será tratado a seguir.
Equação da TC condutiva com aletas
Sob condições estacionárias, o balanço de energia no 
elemento de volume se pode expressar 
Taxa de 
condução de 
calor para o 
elemento em x
Taxa de condução de 
calor do elemento em 
x+∆∆∆∆x
Taxa de 
convecção desde 
o elemento= +
ou
onde
Substituindo e dividindo por ∆x, se obtém
, ,cond x cond x x convQ Q Q+∆= +& & &
( )( )convQ h p x T T∞= ∆ −&
( ), , 0cond x x cond xQ Q hp T T
x
+∆
∞
−
+ − =
∆
& &
(3-52)
Determinando o limite quando ∆x→ 0 resulta
Da Lei de Fourier da condução de calor se obtém
( ) 0conddQ hp T T
dx ∞
+ − =
&
(3-53)
dT
Substituindo a Eq. 3-54 na Eq. 3–53 resulta
cond c
dTQ kA
dx
= −
& (3-54)
( ) 0cd dTkA hp T Tdx dx ∞
 
− − = 
 
(3-55)
Para a seção transversal e condutividade térmica constantes
onde
• A Eq. 3–56 é uma equação diferencial linear, homogênea, 
de segunda ordem com coeficientes constantes.
2
2
2 0
d
m
dx
θ θ− = (3-56)
 ; 
c
hpT T m
kA
θ
∞
= − =
de segunda ordem com coeficientes constantes.
• A solução geral da Eq. 3–56 é
• C1 e C2 são constantes cujos valores devem ser 
determinados das condições de contorno na base e na 
ponta da aleta.
1 2( ) mx mxx C e C eθ −= + (3-58)
Condições de contorno
Diversas condições de contorno são comumente usadas:
• Na base da aleta
– Temperatura especificada, expressa como:
θ(0)= θb= Tb-T∞
• Na ponta da aleta• Na ponta da aleta
1. Temp. especificada
2. Aleta infinita
3. Ponta adiabática
4. Convecção (e 
convecção e radiação 
combinadas).
Aleta infinitamente longa (Tponta=T∞)
• Para uma aleta suficientemente longa a temperatura na 
ponta da aleta se aproxima da temperatura ambiente
CC: θ(L→∞)=T(L)-T
∞
=0
• quando x→∞ assim faz emx→∞
C1=0
• em x=0: emx=1 C = θ• em x=0: emx=1 C2= θb
• A distribuição da temperatura fica:
• TC desde a aleta completa
/( ) cx hp kAmx
b
T x T
e e
T T
−
−∞
∞
−
= =
−
(3-60)
( )
0
c c b
x
dTQ kA hpkA T T
dx ∞
=
= − = −
& (3-61)
Borda adiabática
• A CC na ponta da aleta:
• Após algumas manipulações, a distribuição de 
temperatura resulta:
0
x L
d
dx
θ
=
= (3-63)
temperatura resulta:
• TC desde toda a aleta
( )cosh( )
coshb
m L xT x T
T T mL
∞
∞
−
−
=
−
(3-64)
( )
0
tanhc c b
x
dTQ kA hpkA T T mL
dx ∞
=
= − = −
& (3-65)
Convecção (ou convecção e radiação 
combinadas) desde a ponta da aleta
• Uma forma prática de considerar as perdas de calor a 
partir da ponta da aleta é substituir o comprimento da 
aleta L na relação para o caso de ponta isolada por um 
comprimento corrigido definido
Lc=L+Ac/p (3-66)
• Para aletas retangulares e
cilíndricas Lc é
• Lc,retangular=L+t/2
• Lc,cilíndrica =L+D/4
Eficiência das aletas
• Para maximizar a TC desde a aleta a temperatura da 
aleta deve ser uniforme (maximizada) no valor da 
temperatura da base, Tb
• Na realidade, a temperatura cai ao longo da alera, e a 
TC da aleta é menor
• Para considerar o efeito se define a• Para considerar o efeito se define a
eficiência da aleta
ou
(3-69)
,max
fin
fin
fin
Q
Qη = =
&
&
Taxa de TC real da aleta
Taxa de TC ideal da aleta
se a aleta toda estiver à temperatura da base
,max ( )fin fin fin fin fin bQ Q hA T Tη η ∞= = −& &
Eficiência das aletas
• Para aletas muito longas de seção transversal constante:
( )
( ),
,max
1 1fin c b c
long fin
fin fin b
Q hpkA T T kA
Q hA T T L hp mLη
∞
∞
−
= = = =
−
&
&
(3-70)
• Para aletas de seção transversal constante de ponta 
adiabática: ( )
( ),
,max
tanh
tanh
 
fin c b
adiabatic fin
fin fin b
Q hpkA T T aL
Q hA T T
mL
mL
η ∞
∞
−
= =
−
=
&
&
(3-71)
Efetividade das aletas
• O desempenho das aletas se julga também com base no 
incremento na TC em relação ao caso sem aletas.
• O desempenho das aletas se expressa 
em termos da efetividade da aleta εfin
definida como Taxa de TC desde a definida como
( )
 
fin fin
fin
no fin b b
Q Q
Q hA T Tε
∞
= = =
−
& &
& Taxa de TC desde 
a superfície de 
área Ab
Taxa de TC desde a 
base da aleta de área 
Ab(3-72)
Observações relacionadas com a 
efetividade da aleta
• A condutividade térmica k do material da aleta deve 
ser a maior possível. Não é uma coincidência que a 
maioria das aletas são feitas de metais.
• A razão entre o perímetro e a área da seção 
transversal da aleta p/Ac deve ser a maior possível. transversal da aleta p/Ac deve ser a maior possível. 
• O uso de aletas é mais efetivo em aplicações que 
envolvem um coeficiente de convecção pequeno. 
O uso de aletas se justifica mais facilmente quando o 
meio é um gás em vez de um líquido e a TC é por 
convecção natural em vez de forçada. 
Efetividade global
• A efetividade global para uma 
superfície aletada se define pela 
razão entre a TC total desde a 
superfície aletada e a TC desde 
a mesma superfície sem aletas.a mesma superfície sem aletas.
( )
,
 
 
fin
fin overall
no fin
unfin fin fin
no fin
Q
Q
h A A
hA
ε
η
=
+
=
&
&
(3-76)
Comprimento apropriado de uma 
aleta
• Um passo importante no projeto de uma aleta e a 
determinação do comprimento apropriado da aleta uma 
vez que o material e a seção transversal da aleta são 
especificados.
• A temperatura cai ao longo 
da aleta exponencialmente e 
se aproxima assintoticamente 
da temperatura ambiente num 
determinado comprimento.