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Resumo Cálculo Numérico P2

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Resumo - Cálculo Numérico - P2 
Representação na forma matricial 
(Ax=b) 
 
EX: 
Sistemas triangulares 
*superior 
Ex: 
Solução por substituição 
retroativa. 
 
*inferior Solução por substituição 
progressivas. 
Ex: 
 
 
 
 
Métodos Numéricos Diretos 
Calculam a solução do sistema com operações na 
forma matricial. 
 
1º– Método de Eliminação de Gauss(MEG) 
Transforma o sistema linear em outro sistema 
triangular equivalente (mesma solução) utilizando 
escalonamento. 
https://www.youtube.com/watch?v=TIs7FQKpXEw 
 
Vetor resíduo 
 
Para achar basta fazer onde é a 
solução aproximada. 
 
Estratégia de Pivotamento Parcial 
Utilizar MEG e escolher como elemento pivô o 
maior elemento em modulo da coluna para trocar 
as linhas que for preciso 
https://www.youtube.com/watch?v=JVfGLbiZl8w. 
 
2º– Método da Fatoração LU 
 A = LxU 
 
Sendo que L = 
 
 
 
 e 
U = 
 
 
 
 
Dada uma matriz A, é possível fatora-la em A=LxU 
e encontrar os elementos que faltam a partir 
dessa equação fazendo a igualdade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se detA ≠ 0 é possível fatorar em LU. 
 
3º – Método de Cholesky 
 
, sendo L uma matriz triangular. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inversão de Matrizes 
 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta resolver esse sistema para se obter a 
matriz inversa.(B) 
 
Sistemas mal-condicionados 
Sistema que com pequenas mudanças geram 
grandes alterações na solução. 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 , x= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , = 
 
 
 
 
Métodos Numéricos Iterativos 
Métodos nos quais a solução é obtida como 
limite de uma sequencia de aproximações. 
 
 = B + g 
 
Critérios de parada: 
I) 
 
 
 
II) K>ITERMAX, onde ITERMAX é o número 
máximo de interações desejadas. 
 
1º– Método de Jacobi-Pichardron 
1º) montar um sistema da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) através da aproximação inicial fazer as 
iterações e obter o resultado respeitando o 
critério de parada. 
 
Critérios de convergência 
*critérios das linhas 
Se ao fazer 
 
 
 
 , 
 
então o método de Jacobi gera uma sequencia 
convergente para a solução do sistema. 
*critério das colunas 
Mesmo modo que pelo critério das linhas, mas 
usando as colunas. 
 
2º - Método Iterativo de Gauss-Seidel 
Igual ao método de Jacobi, mas difere no cálculo 
das iterações. 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critérios de convergência(Criterio de 
Sassenfeld) 
Parecido com o critério de convergência do 
método de Jacobi. Porem, a cada linha calcula se 
multiplica os primeiros elementos pela ultima 
linha calculada. 
 
 
 
 , 
 
 
 
 ... 
 , então o método de Gauss-
Seidel gera uma sequencia convergente para a 
solução do sistema. 
3º - Método dos quadrados mínimos 
https://www.youtube.com/watch?v=gFnWDfdjRFQ 
Para encontrar uma função g(x) = 
(reta)basta utilizar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde n é o número de elementos fornecidos na 
tabela. 
Parábola:( g(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para outro tipo de função 
 (Ex:

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