Buscar

lista-exercicios3

Prévia do material em texto

Lista de Exerc´ıcios no3
1. O pivotamento parcial serve para:
a) minimizar o efeito dos erros de arredondamento na resoluc¸a˜o de sistemas lineares,
por eliminac¸a˜o;
b) testar a singularidade do sistema;
c) evitar a divisa˜o por zero.
(i) So´ a e´ correta (ii) a e c sa˜o corretas (iii) Todas as afirmativas sa˜o corretas.
2. Seja o sistema linear {
2x1 − 6αx2 = 3
3αx1 − x2 = 32
Usando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss (MEG):
a) Encontre valores de α para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o;
b) Encontre valores de α para os quais o sistema tem um nu´mero infinito de soluc¸o˜es;
c) Supondo que o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o para um dado α, encontre a soluc¸a˜o
(em func¸a˜o de α).
3. Me´todo de Gauss-Jordan: consiste em transformar o sistema dado Ax=b num sistema
equivalente diagonal atrave´s das operac¸o˜es elementares sobre os elementos da matriz A.
Desta forma, os elementos abaixo e acima da diagonal sa˜o eliminados em cada esta´gio.
Aplique este me´todo para resolver o sistema:
4x1 − x2 + x3 = 8
2x1 + 5x2 + 2x3 = 3
x1 + 2x2 + 4x3 = 11
A soluc¸a˜o exata do sistema acima e´ (1,−1, 3)t.
4. Calcule a inversa da matriz
A =
 2 0 10 3 2
1 −3 1

usando a fatorac¸a˜o LU e o me´todo de Gauss-Jordan.
5. Usando a fatorac¸a˜o LU :
a) resolva o sistema linear:  1 3 −12 2 4
2 1 2

 x1x2
x3
 =
 −20
1
 ;
b) calcule o determinante da matriz dos coeficientes.
1
6. Uma matriz tridiagonal e´ uma matriz da forma:
A =

a1 c1 0 . . . . . . 0
b2 a2 c2
. . .
...
0 b3 a3 c3
. . .
...
...
. . . . . . . . . . . . 0
...
. . . bn−1 an−1 cn−1
0 . . . . . . 0 bn an

a) Escreva um algoritmo para resolver o sistema Ax = b, pelo MEG, de modo que a
estrutura especial da matriz A seja explorada;
b) Teste seus resultados com o sistema:
2x1 − x2 = 1
−xi−1 + 2xi − xi+1 = 0,
−xn−1 + 2xn = 0
2 ≤ i ≤ (n− 1)
7. Considere o sistema linear: 2 3 43 2 −1
5 −4 3

 x1x2
x3
 =
 −24
8

a) Resolva-o pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss com pivotamento parcial, tra-
balhando com arredondamento para treˆs algarismos significativos em todas as
operac¸o˜es.
b) Refine uma vez a soluc¸a˜o obtida em a).
8. Resolver o sistema a seguir pelo me´todo da decomposic¸a˜o LU , com a estrate´gia de
pivotamento parcial:  1 2 3−5 −1 4
2 4 1

 x1x2
x3
 =
 17−2
24

9. a) Considere a matriz A, n× n, com todas as sub-matrizes principais na˜o singulares.
Exiba as fo´rmulas da decomposic¸a˜o LU , onde L e´ matriz triangular inferior e U
e´ matriz triangular superior com 1 na diagonal. (Este tipo de decomposic¸a˜o e´
conhecido como Me´todo de Crout).
b) Usando a decomposic¸a˜o do item a), resolva o sistema linear Ax = b, onde:
A =
 2 3 −11 0 2
0 3 −1
 , x =
 x1x2
x3
 e b =
 43
2
 .
10. Resolva o sistema Ax = b com fatorac¸a˜o de Cholesky, onde
A =
 1 1 01 2 −1
0 −1 3
 e b =
 21
5

2
11. A existeˆncia da fatorac¸a˜o de Cholesky de uma matriz e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e
suficiente para que essa matriz seja positiva definida. Verifique se a matriz abaixo e´
positiva definida:
A =
 3 −6 9−6 14 −20
9 −20 29

12. a) A matriz
A =

0 0 −1 1
1 1 −1 2
1 1 0 3
1 2 −1 3

na˜o pode ser fatorada no produto LU . Por queˆ?
b) Aplique a eliminac¸a˜o de Gauss, com pivotamento parcial, em A, para obter uma
matriz A¯ triangular superior.
c) Multiplique A pela matriz de permutac¸a˜o P , onde
P =

0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0

e verifique que a eliminac¸a˜o de Gauss pode ser executada sobre a matriz PA sem
troca de linhas.
c) Obtenha a fatorac¸a˜o LU da matriz PA e verifique que U = A¯.
13. Compare as soluc¸o˜es dos sistemas lineares abaixo:{
x1 + 2x2 = 3
1.0001x1 + 2x2 = 3.0001
e
{
x1 + 2x2 = 3
0.9999x1 + 2x2 = 3.0001
O que acontece e por queˆ?
3

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes