Geometria espacial

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Prof. Manoel Amaurício 
 
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Matemática – Geometria Espacial – 2/2006
Matemática 
GEOMETRIA ESPACIAL
Nome: GALOIS
Turma: 
Nome: GALOIS
Novembro de 2006
 
POLIEDROS CONVEXOS 
 
( )
( )facesV
i
dACd
VS
AFV
 
360 
 
2,=
⋅=
=
D 
 
poliedros de Platão 
 
PRISMAS 
 
HAV
AAA
B
LBT
 
 
=
=
 
 
 
 
 
Paralelepípedo retângulo (ortoedro) ( )
( ) Adcba
cbad
cbaV
bcacabA
 
 
 
 
++
=
=
=
 
 
Cubo (hexaedro regular) 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDE 
 
HAV
AAA
B
LBT
 
 
=
=
 
 
 
 
 
 
Tetraedro regular 
 
 
 
 
aA
aV
RrH
aH
=
=
==
=
 
 
Octaedro regular 
 
 
 
d a
aV
aA
=
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
CILINDRO 
 
 
 
 
 
HAV
AAA
B
LBT
 
 
=
=
 
 
 
 
 
 
H 
 
RA
RA
L
B
=
= 
 
 
 
 
CONE 
 
HAV
AAA
B
LBT
 
 
=
=
 
 
 
 
hrA
rA
L
B
 
 
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RV
RA
cunha
fuso
 
 
=
=
 
 
TRONCOS E SÓLIDOS SEMELHANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
bBbBTtronco
menor
maior
CVB
VBC
b
B
t
T
AAAAhV
k
v
V
k
S
S
A
A
A
A
k
BC
BC
VA
VA
h
H
 
 
 
 
`
 
`
 
)(
)(
)(
``
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B
D C
E F
GH
H G
E F
A B
CD
 
 
 
 
A a
f a
d a
V a
=
=
=
=
V
A D
EF
B C
h
g
r
 
 
A R
RV
=
=
 R r d
V V V
B` B` 
 hh
H
Hh (tronco)
 
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Matemática – Geometria Espacial – 2/2006
PARTES DA ESFERA 
 
 
( )
( )
2 2
2 2 2
3
6
3
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( calota )
( zona esférica )
( seg .esf .uma base )
( seg .esf .duas base )
A Rh
A Rh
V
V
=
=
π= +
π ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. Um poliedro convexo de onze faces tem 
seis faces triangulares e cinco faces quadrangu-
lares. Calcule o número de arestas e de vértices 
do poliedro. 
2. Calcule a área total e o volume dos parale-
lepípedos, cujas medidas estão indicadas abai-
xo. 
3,5cm
2cm
1,5cm
2cm
 
3. Calcule a área total e o volume dos prismas, 
cujas medidas estão indicadas nas figuras abai-
xo. 
4cm
1cm
3cm
 
 
4. Calcule a área total e o volume das pirâmi-
des regulares, cujas medidas estão indicadas nas 
figuras abaixo. 
 
5 cm
4 cm
5 cm
5 cm 10cm
 
5. Calcule a altura e o volume de um tetraedro 
regular de área total 2312 cm . 
6. Calcule a área total e o volume de um 
octaedro regular de 2 cm de aresta. 
7. Calcule a área lateral, a área total e o 
volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas 
nas figuras a seguir. 
1cm
8mm
15mm
1cm
2,5cm
2cm
 
8. Calcule a área lateral, a área total e o 
volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas 
nas figuras a seguir. 
 
H
=
35
c m
H=
4c
m
 
9. Determine o raio de uma cunha esférica de 
45ο, sabendo que é equivalente a um hemisfério 
de 10 cm de diâmetro. 
10. Considere as pirâmides quadrangulares 
regulares semelhantes, cujas medidas estão 
indicadas a seguir. 
 
 
a) Calcule a razão de semelhança. 
b) Calcule a medida do lado da base da pirâ-
mide menor. 
c) Calcule as áreas das bases das pirâmides. 
Qual a razão entre as áreas obtidas? 
d) Calcule os volumes das pirâmides. Qual a 
razão entre os volumes obtidos? 
e) Considere as razões obtidas nos itens c e d. 
Existe alguma relação entre cada uma dessas 
razões e a razão de semelhança? 
 
11. Calcule a área total e o volume dos troncos 
de pirâmides cujas medidas estão indicadas 
nas figuras. 
1cm
1,5cm
2cm
1cm
3cm
2cm
 
12. Represente, por meio de uma expressão 
algébrica, a área total do tronco de cone reto 
obtido a partir da planificação a seguir. Repre-
sente também seu volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1. 19 e 10 
2. a)24cm2 e 8cm3 
 b) 30,5cm2e10,5cm3 
3. a) 54cm2,21cm3 
 b) ( ) 33
2
37,210
2
3 cmcm+ 
 
4. a) ( ) 32
6
2125,3125 cmcm+ 
 b) ( ) 32 748,221324 cmcm+ 
5. 362,22 cmcm 
6. 32
3
28,38 cmcm 
7. 
 
8. 
 
9. cm3 45 . 
 
10. a) 1/2 b) 2,5 cm 
 c) 1/4 d) 1/8 
e) A razão entre as áreas é o quadrado da razão de 
semelhança. A razão entre os volumes é o cubo 
da razão de semelhança. 
11. a) 32
6
37;14 cmcm 
 b) ( ) 32
12
378;3583 cmcm+ 
12. 119
120
7; 
10
39 32 ππ xx