CALCULO III LISTA EXERCICIOS (Integral Dupla) 20181

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UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo III 
Semestre: 2018.1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
Integral Dupla e Aplicações 
 
 
Integrais Duplas em Regiões Retangulares 
 
1. Calcule ∬ ���, ��		
� , sendo: 
 
������, �� = � ∙ ���; � = ���, �� ∈ 	ℛ�/		1 ≤ � ≤ 3	�	0 ≤ � ≤ 1� 
 
(b) ���, �� = � cos���� ;										 � = ���, �� ∈ ℛ�/	0 ≤ � ≤ 2	�	0 ≤ � ≤ 2"� 
 
(c) ���, �� = �	ln	�x�;		 � = ���, �� ∈ 	ℛ�/		1 ≤ � ≤ 3	�	0 ≤ � ≤ 1� 
 
(d) ���, �� = �	&'	���� ; � = ���, �� ∈ ℛ
�/	1 ≤ � ≤ 2	� − 1 ≤ � ≤ 1� 
 
 
Integrais Duplas em Regiões Genéricas 
 
2. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais: 
 
(a) ) ) �2� + 4��	�	����
,
- (b) ) ) ���� + ��	�	�
�
.�
�
- (c) ) ) �		�	�
,
&'	���
/
, 
 
(d) ) ) �		�	�0,.�
1
-
,
- (e) ) ) 	�		�	�
√3.�1
√,.�1
,
., (f) ) ) ��� − 2���		�	�
|�|
.,
,
., 
 
3. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: 
 
(a) ) ) ���, ��	�	�� �⁄-
3
- (b) ) ) ���, ��	�	�
�1
�6
,
- (c) ) ) ���, ��	�	�
7�
��
,
- 
 
4. Identifique a região de integração e inverta a ordem para resolver as seguintes integrais: 
 
(a) ) ) 	,� cos 8
�
�9 	�	�
�
√�
3
- (b) ) ) :0�	;�<��0��=	�	�
>1 3⁄
�1
> �⁄
- (c) ) )
�∙/1?
3.� 		�	�
3.�1
-
�
, 
 
5. Calcule: 
 
���		∬ �8 − � − ��		�	�� , sendo R a região delimitada por � = �� e � = 4. 
 
(b) ∬ �		
� , sendo R a região interior ao círculo de centro na origem e de raio 2 e acima da reta � = 1, no 
1º quadrante. 
 
(c) ∬ �� + ��		�	�� , sendo R a região delimitada por � = �� + 1, � = −�� − 1, � = −1	�	� = 1. 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
2 
 
 
(d) ∬ ��1 		�	�� , sendo R a região delimitada pela reta � = �, o eixo OX e as retas � = 0 e � = 1. 
 
(e) ∬ �� + ��			�	�� , sendo R a região hachurada na figura a seguir: 
 
 
 
Aplicações de Integrais Duplas Cálculo de Área e Volume (em regiões genéricas) 
 
6. Usando integral dupla calcule o volume do sólido Q nos seguintes casos: 
 
(a) Q é limitado lateralmente pelos planos � = 0, � = 0; � = 1	�	� = 2, inferiormente pelo plano A = 0 e 
superiormente pela superfície cilíndrica A = 1 + ��. 
 
(b) Q é o tetraedro limitado no 1º octante pelo plano de equação 
B
7+
�
� +
�
, = 1. 
 
(c) Q está acima do plano XY limitado pelo cilindro parabólico A = 1 − ��; e pelos planos � = 0	e	� = 2. 
 
 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares 
 
7. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais: 
 
���	∬ �8 − � − ��		�	�� , sendo R a região delimitada por � = �� + ��. Interprete geometricamente. 
 
(b) ∬ D<��� + ���		�	�� , sendo R a região o anel delimitado por �� + �� = 16 e �� + �� = 25. 
 
(c) ∬ ����1G�1�		�	�� , sendo R a região limitada pelo círculo �� + �� = 4. 
 
(d) ∬ 0�� + ��		
� , sendo R a região limitada pelas curvas: 
 
 
 H = 2IJ;K (círculo de centro em (1,0) e raio 1); 
 
 H = 4IJ;K (círculo de centro em (2,0) e raio 2). 
 
Considere K = >L 	�	K =
>
3. 
 
 
 
 
 
3 
 
8. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais mudando para a forma polar: 
 
(a) ) ) ��,G�1G�1�1 		�	�
√,.�1
-
,
., (b) ) ) �	��		�	�
03.�1
-
�
- 
 
 
Aplicações de Integrais Duplas Cálculo de Área e Volume (em coordenadas polares) 
 
9. Usando integral dupla calcule o volume dos seguintes sólidos, resolvendo a integral correspondente na 
forma polar: 
 
(a) Sólido acima do plano xy delimitado pelo paraboloide A = 4 − 2�� − 2��. Esboce o sólido. 
 
(b) Sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro �� + �� = 1 e superiormente pelo 
paraboloide A = 	�� + ��	. Esboce o sólido. 
 
(c) Sólido limitado inferiormente pelo plano xy, lateralmente por �� + �� = 4 e superiormente por 
	� + A = 8. 
 
10. Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pela região exterior ao círculo H = 2 e 
interior ao círculo 	H = 4	IJ;K (centro (2,0) e raio 2. 
 
 
Aplicações de Integrais Duplas (em algumas áreas de conhecimento) 
 
11. Usando integral dupla, podemos calcular a massa (M) de uma lâmina plana não homogênea, com a 
forma de uma região (R) e com densidade de massa em ponto ( x,y) de R, dada pela função contínua M =
M��, ��, através da integral dupla N = ∬ M��, ��	
� . 
 
(a) Calcule a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa 
num ponto O��, �� é dada por M��, �� = P��� + ���, k constante real. 
 
(b) Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas � = �� + 1	e		� = � + 3. Sua densidade 
de massa no ponto O��, �� é proporcional a distância desse ponto ao eixo x. Calcule a massa dessa lâmina. 
 
12. Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região plana R e a densidade de carga (unidades de 
carga por unidade de área) é dada pela função Q��, �� em um ponto (x,y) de R, então a carga total é igual a 
R = ∬ Q��, ��	
� . Considere a região triangular R de vértices nos pontos (1,0); (1,1) e (0,1) tal que uma 
carga está distribuída sobre R com densidade de carga Q��, �� = ��	IJSDJTU;/T� . Determine a carga 
total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Gabaritos 
 
1. (a) �7 − � − 2 (b) 4 "V (c) �3 2⁄ �D<3 − 1 (d) 0 
2. (a) 8 3⁄ (b) 	0 (c) ���/4� − �3 4�	⁄ (d) 1 3⁄ (e) 0 (f) −1 2⁄ 
3. (a) ) ) ���, ��	�	�3��
�
- (b) ) ) ���, ��	�	�
√�6
√�
,
- (c) ) ) ���, ��	�	� + ) ) ���, ��	�	�	
,
�
7V
7
� 	
�
�V�
7V
�
- 
4. (a) ) ) 	,� cos 8
�
�9 	�	� = 1 − cos 2
�1
-
�
- (b) ) ) :0�	;�<��0��=	�	�
√�
- =
>1
3 − ;�<�
>1 3⁄
-
>1
3 ) 
 (c) ) ) �∙/
1?
3.� 		�	� =
/W.,
3
03.�
-
3
- 
5. (a) 896 15⁄ (b) 5 6⁄ (c) 0 (d) �� − 1� 2⁄ (e) 2 
6. 8 3	S. Z.⁄ (b) 1	S. Z. (c) 8 3	S. Z.⁄ 
7. (a) 8"	(Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pe3lo plano de equação 
A = 8 − � − �� (b) 2"[25 ln�5� − 32 ln�2� − �9/2� (c) �" 2⁄ ���\ − 1� (d) ]^ 	�10√2 − 11� 
8. (a) ) ) �_`_`a�,G_1�1 		�	� =
>
�
,
-
>
- (b) ) ) H3IJ;K;�<�K		H	K =
7�
,b
�
-
> �⁄
- 
9. (a) 4π u.v. (b) " 2	S. Z.⁄ (c) 32π u.v. 
10. (a) 3 4⁄ u.a (b) 3>7 + 2√3 u.a. 
11. (a) 
\,c>
� (b) 11,7 k 
12. 5 24⁄ 		IJSDJTU;