Lista 2

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 Lista 2 1.◦/2018
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) As coordenadas polares x = r cos(θ) e y = r sen(θ) de um ponto P = (x, y) podem ser u´teis
no estudo de limites. Isso porque, como ‖P‖ = r, segue-se que P → P0 = (0, 0) se, e somente
se, r → 0. Por exemplo, considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(P0) = 0 e f(x, y) =
2x2y/(x2 + y2) para (x, y) 6= P0. A figura abaixo ilustra o gra´fico de f juntamente com a
curva desse gra´fico ao longo da reta y = −x. Se necessa´rio, use que sen(2θ) = 2 cos(θ) sen(θ).
C E a) Usando coordenadas polares obte´m-se que, dado ǫ > 0, basta escolher δ = ǫ para
se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ.
C E b) Usando a definic¸a˜o, obte´m-se que f na˜o possui as
derivadas parciais no ponto P0.
C E c) As derivadas parciais de f na˜o sa˜o cont´ınuas em P0.
C E d) Usando coordenadas polares, obte´m-se que existe o
limite lim
P→P0
f(P )/‖P‖.
C E e) A func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em P0.
2) Suponha que a temperatura da chapa D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1 e y > 0} seja dada
pela func¸a˜o T (x, y) = 20
pi
arctan
(
2 y
1−x2−y2
)
, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Neste caso, as
curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o as isotermas da chapa.
x
y
a) Verifique que as isotermas sa˜o arcos de c´ırculos com centros no
eixo Oy e passam pelos pontos (−1, 0) e (1, 0).
Resposta:
b) Esboce, na figura ao lado, a isoterma de temperatura igual a 5.
c) Use o item a) para verificar que na˜o existe limP→(1,0) T (P ).
Resposta:
d) Use as propriedades do limite para decidir quando a` existeˆncia do limite limP→P0 T (P )
no caso em que P0 = (x0, y0) e´ tal que x
2
0 + y
2
0 = 1 e y0 > 0.
Resposta:
e) Da mesma forma, estude a existeˆncia do limite limP→P0 T (P ) no caso em que
P0 = (x0, 0) e |x0| < 1.
Resposta:
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3) Considere um sistema de eixosOxyz de origemO no centro da Terra. Nesse sistema, se um
sate´lite esta´ no ponto P , a forc¸a F (P ) com que a Terra atrai o sate´lite tem direc¸a˜o e sentido
dados pelo vetor unita´rio U = −P/‖P‖. Ale´m disso, se as massas da Terra e do sate´lite
sa˜o M e m, a intensidade da forc¸a e´ diretamente proporcional dessas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia ‖P‖, com constante de proporcionalidade G. Segundo
os itens abaixo, a func¸a˜o f(P ) = a/‖P‖ esta´ estreitamente relacionada com a forc¸a F .
a) Obtenha a expressa˜o da forc¸a F (P ).
b) Calcule a derivada fx, e obtenha fy e fz por simetria.
c) Verifique que, escolhendo a apropriadamente, tem-se
F (P ) = (fx(P ), fy(P ), fz(P )). Nesse caso, f e´ dita uma
func¸a˜o potencial para a forc¸a F .
d) Calcule a derivada segunda fxx, e obtenha as outras deri-
vadas fyy e fzz por simetria.
F
m
e) Verifique que f satisfaz a` equac¸a˜o de Laplace fxx + fyy + fzz = 0.
4) Suponha que a chapa infinita D = {(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0} tenha temperatura
f(x, y) = y2−x2. As linhas de fluxo da chapa sa˜o aquelas por onde o calor flui, e sa˜o curvas
ortogonais a`s curvas de n´ıvel de f . O surpreendente e´ que as linhas de fluxo sa˜o as curvas de
n´ıvel de uma outra func¸a˜o g(x, y), dita a func¸a˜o conjugada de f(x, y). A menos de constante
aditiva, essa nova func¸a˜o e´ definida pelas igualdades gx = fy e gy = −fx.
x
y
z
a) Esboce e identifique as curvas de n´ıvel de f nos n´ıveis
k = −1, k = 0 e k = 1.
b) Integre a igualdade gx = fy na varia´vel x, notando que
a constante de integrac¸a˜o d = d(y) pode depender de y.
c) Derive o resultado do item anterior na varia´vel y, com-
pare com a igualdade gy = −fx e determine a func¸a˜o
d(y) a menos de constante.
d) Esboce e identifique a curva de n´ıvel de g no n´ıvel c = 1 supondo a constante nula.
e) Justifique o fato de que as linhas de fluxo da chapa sa˜o as curvas de n´ıvel de g(x, y).
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