Lista de Exercícios 9

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 2 – 2o/2017 – Turma F
Lista de Exerc´ıcios no 9
1. Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de equac¸o˜es diferenciais
dado:
(a)

dx
dt
= −x + y
dy
dt
= 2x
x(0) = 0, y(0) = 1
(b)

dx
dt
= x− 2y
dy
dt
= 5x− y
x(0) = −1, y(0) = 2
(c)

2
dx
dt
+
dy
dt
− 2x = 1
dx
dt
+
dy
dt
− 3x− 3y = 2
x(0) = 0, y(0) = 0
(d)

d2x
dt2
+ x− y = 0
d2y
dt2
+ y − x = 0
x(0) = 0, x′(0) = −2, y(0) = 0, y′(0) = 1
(e)

d2x
dt2
+ 3
dy
dt
+ 3y = 0
d2x
dt2
+ 3y = te−t
x(0) = 0, x′(0) = 2, y(0) = 0
RESPOSTAS
(1)
(a) x(t) = −1
3
e−2t +
1
3
et, y(t) =
1
3
e−2t +
2
3
et
(b) x(t) = −cos3t− 5
3
sen3t, y(t) = 2cos3t− 7
3
sen3t
(c) x(t) = −2e3t + 5
2
e2t − 1
2
, y(t) =
8
3
e3t − 5
2
e2t − 1
6
(d) x(t) = −1
2
t− 3
4
√
2sen
√
2t, y(t) = −1
2
t +
3
4
√
2sen
√
2t
(e) x(t) =
1
2
t2 + t + 1− e−t, y(t) = −1
3
+
1
3
e−t +
1
3
te−t