Ángulos, distancias y bisectrices entre rectas Beamer

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Geometría Analítica y Cálculo
Estudio de las rectas
Prof. Eduardo A. Fernández.
FP-UNA
Correo: udeant83@gmail.com
November 21, 2017
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: udeant83@gmail.com Geometría Analítica y Cálculo
Ángulo entre dos rectas
La figura siguiente muestra dos rectas, l1 y l2, no perpendiculares entre sí y de
coeficientes angulares m1 y m2, respectivamente:
La tangente del ángulo agudo θ formado entre las rectas esta dada por
tg θ =
∣∣∣∣ m2 −m11 +m2 ·m1
∣∣∣∣ .
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Ángulo entre dos rectas
La figura siguiente muestra dos rectas, l1 y l2, no perpendiculares entre sí y de
coeficientes angulares m1 y m2, respectivamente:
La tangente del ángulo agudo θ formado entre las rectas esta dada por
tg θ =
∣∣∣∣ m2 −m11 +m2 ·m1
∣∣∣∣ .
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Ángulo entre dos rectas
La figura siguiente muestra dos rectas, l1 y l2, no perpendiculares entre sí y de
coeficientes angulares m1 y m2, respectivamente:
La tangente del ángulo agudo θ formado entre las rectas esta dada por
tg θ =
∣∣∣∣ m2 −m11 +m2 ·m1
∣∣∣∣ .
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Si una de las rectas es vertical, supongamos que sea l2:
Entonces la tangente de θ está dada por
tg θ =
∣∣∣∣ 1m1
∣∣∣∣ .
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Si una de las rectas es vertical, supongamos que sea l2:
Entonces la tangente de θ está dada por
tg θ =
∣∣∣∣ 1m1
∣∣∣∣ .
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Si una de las rectas es vertical, supongamos que sea l2:
Entonces la tangente de θ está dada por
tg θ =
∣∣∣∣ 1m1
∣∣∣∣ .
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Ejemplo 1
Determine el ángulo agudo formado entre las rectas:
a) l1 : 2x− y + 1 = 0 y l2 : 3x+ y − 2 = 0.
b) l3 :
√
3x− y + 2 = 0 y l4 : x− 5 = 0.
c) l5 : 2x− y + 5 = 0 y l6 : x+ 2y − 9 = 0
Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P (2, 3) y que forma un
ángulo de 45◦ con la recta s : 3x− 2y + 1 = 0.
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Ejemplo 1
Determine el ángulo agudo formado entre las rectas:
a) l1 : 2x− y + 1 = 0 y l2 : 3x+ y − 2 = 0.
b) l3 :
√
3x− y + 2 = 0 y l4 : x− 5 = 0.
c) l5 : 2x− y + 5 = 0 y l6 : x+ 2y − 9 = 0
Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P (2, 3) y que forma un
ángulo de 45◦ con la recta s : 3x− 2y + 1 = 0.
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Ejemplo 1
Determine el ángulo agudo formado entre las rectas:
a) l1 : 2x− y + 1 = 0 y l2 : 3x+ y − 2 = 0.
b) l3 :
√
3x− y + 2 = 0 y l4 : x− 5 = 0.
c) l5 : 2x− y + 5 = 0 y l6 : x+ 2y − 9 = 0
Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P (2, 3) y que forma un
ángulo de 45◦ con la recta s : 3x− 2y + 1 = 0.
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Ejemplo 1
Determine el ángulo agudo formado entre las rectas:
a) l1 : 2x− y + 1 = 0 y l2 : 3x+ y − 2 = 0.
b) l3 :
√
3x− y + 2 = 0 y l4 : x− 5 = 0.
c) l5 : 2x− y + 5 = 0 y l6 : x+ 2y − 9 = 0
Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P (2, 3) y que forma un
ángulo de 45◦ con la recta s : 3x− 2y + 1 = 0.
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
Ejemplo 1
Determine el ángulo agudo formado entre las rectas:
a) l1 : 2x− y + 1 = 0 y l2 : 3x+ y − 2 = 0.
b) l3 :
√
3x− y + 2 = 0 y l4 : x− 5 = 0.
c) l5 : 2x− y + 5 = 0 y l6 : x+ 2y − 9 = 0
Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P (2, 3) y que forma un
ángulo de 45◦ con la recta s : 3x− 2y + 1 = 0.
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Ángulo entre dos rectas: Caso particular
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Distancia entre punto y recta
La distancia entre un punto A y una recta r es la medida del segmento AB,
perpendicular a r, y que tiene una extremidad en A y la otra en B ∈ r.
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Distancia entre punto y recta
La distancia entre un punto A y una recta r es la medida del segmento AB,
perpendicular a r, y que tiene una extremidad en A y la otra en B ∈ r.
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Distancia entre punto y recta
Dados un punto P (xp, yp) y una recta r : ax+ by + c = 0, la distancia entre P y r
está dada por:
d(P, r) =
|axp + byp + c|√
a2 + b2
.
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Distancia entre punto y recta
Dados un punto P (xp, yp) y una recta r : ax+ by + c = 0, la distancia entre P y r
está dada por:
d(P, r) =
|axp + byp + c|√
a2 + b2
.
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Distancia entre punto y recta
Para la deducción de la fórmula anterior, utilizaremos la siguiente figura:
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Distancia entre punto y recta
Para la deducción de la fórmula anterior, utilizaremos la siguiente figura:
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Distancia entre punto y recta
Ejemplo 3
Determine la medida de la altura de un trapecio cuyos vértices son los puntos A(1, 1),
B(11, 3), C(7, 5) y D(2, 4).
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Distancia entre punto y recta
Ejemplo 3
Determine la medida de la altura de un trapecio cuyos vértices son los puntos A(1, 1),
B(11, 3), C(7, 5) y D(2, 4).
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Distancia entre punto y recta
Ejemplo 4
Determine el valor de a para que la distancia del punto P (−1, a) a la recta
r : 3x+ 4y − 5 = 0 sea igual a 2 unidades.
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Distancia entre punto y recta
Ejemplo 4
Determine el valor de a para que la distancia del punto P (−1, a) a la recta
r : 3x+ 4y − 5 = 0 sea igual a 2 unidades.
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Distancia entre punto y recta
Ejemplo 5
Determine la distancia entre las rectas paralelas r : 2x+ 3y − 6 = 0 y
s : 2x+ 3y − 10 = 0.
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Distancia entre punto y recta
Ejemplo 5
Determine la distancia entre las rectas paralelas r : 2x+ 3y − 6 = 0 y
s : 2x+ 3y − 10 = 0.
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Bisectrices de dos rectas
Consideremos dos rectas concurrentes l1 : a1x+ b1y+ c1 = 0 y l2 : a2x+ b2y+ c2 = 0,
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Bisectrices de dos rectas
Consideremos dos rectas concurrentes l1 : a1x+ b1y+ c1 = 0 y l2 : a2x+ b2y+ c2 = 0,
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Bisectrices de dos rectas
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas es el formado por las
bisectrices b1 y b2.
Luego:
d1 = d2 ⇒ |a1x+ b1y + c1|√
a21 + b
2
1
=
|a2x+ b2y + c2|√
a22 + b
2
2
.
Eliminando los valores absolutos, obtenemos las ecuaciones de las rectas b1 y b2:
b1 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= +
a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
y
b2 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= −a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
.
Note que las recta b1 y b2 son perpendiculares.
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Bisectrices de dos rectas
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas es el formado por las
bisectrices b1 y b2. Luego:
d1 = d2 ⇒ |a1x+ b1y + c1|√
a21 + b
2
1
=
|a2x+ b2y + c2|√
a22 + b
2
2
.
Eliminando los valores absolutos, obtenemos las ecuaciones de las rectas b1 y b2:
b1 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= +
a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
y
b2 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= −a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
.
Note que las recta b1 y b2 son perpendiculares.
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Bisectrices de dos rectas
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas es el formado por las
bisectrices b1 y b2. Luego:
d1 = d2 ⇒ |a1x+ b1y + c1|√
a21 + b
2
1
=
|a2x+ b2y + c2|√
a22 + b
2
2
.
Eliminando los valores absolutos, obtenemos las ecuaciones de las rectas b1 y b2:
b1 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= +
a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
y
b2 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= −a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
.
Note que las recta b1 y b2 son perpendiculares.
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Bisectrices de dos rectas
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas es el formado por las
bisectrices b1 y b2. Luego:
d1 = d2 ⇒ |a1x+ b1y + c1|√
a21 + b
2
1
=
|a2x+ b2y + c2|√
a22 + b
2
2
.
Eliminando los valores absolutos, obtenemos las ecuaciones de las rectas b1 y b2:
b1 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= +
a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
y
b2 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= −a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
.
Note que las recta b1 y b2 son perpendiculares.
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Bisectrices de dos rectas
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas es el formado por las
bisectrices b1 y b2. Luego:
d1 = d2 ⇒ |a1x+ b1y + c1|√
a21 + b
2
1
=
|a2x+ b2y + c2|√
a22 + b
2
2
.
Eliminando los valores absolutos, obtenemos las ecuaciones de las rectas b1 y b2:
b1 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= +
a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
y
b2 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= −a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
.
Note que las recta b1 y b2 son perpendiculares.
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Bisectrices de dos rectas
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas es el formado por las
bisectrices b1 y b2. Luego:
d1 = d2 ⇒ |a1x+ b1y + c1|√
a21 + b
2
1
=
|a2x+ b2y + c2|√
a22 + b
2
2
.
Eliminando los valores absolutos, obtenemos las ecuaciones de las rectas b1 y b2:
b1 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= +
a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
y
b2 :
a1x+ b1y + c1√
a21 + b
2
1
= −a2x+ b2y + c2√
a22 + b
2
2
.
Note que las recta b1 y b2 son perpendiculares.
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Bisectrices de dos rectas
Ejemplo 6
Dadas las rectas l1 : 12x− 5y − 10 = 0 y l2 : 4x− 3y = 0, determine:
a) Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por estas rectas.
b) Identifique la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo.
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Bisectrices de dos rectas
Ejemplo 6
Dadas las rectas l1 : 12x− 5y − 10 = 0 y l2 : 4x− 3y = 0, determine:
a) Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por estas rectas.
b) Identifique la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo.
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Bisectrices de dos rectas
Ejemplo 6
Dadas las rectas l1 : 12x− 5y − 10 = 0 y l2 : 4x− 3y = 0, determine:
a) Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por estas rectas.
b) Identifique la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo.
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Bisectrices de dos rectas
Ejemplo 6
Dadas las rectas l1 : 12x− 5y − 10 = 0 y l2 : 4x− 3y = 0, determine:
a) Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por estas rectas.
b) Identifique la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo.
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Área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices
Dados tres puntos no colineales A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), el área del triángulo
4ABC formado por estos puntos está dado por S = 12 |D|, siendo
D =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣ .
Para la demostración de la fórmula anterior consideremos la siguiente figura:
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Área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices
Dados tres puntos no colineales A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), el área del triángulo
4ABC formado por estos puntos está dado por S = 12 |D|, siendo
D =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣ .
Para la demostración de la fórmula anterior consideremos la siguiente figura:
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Área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices
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Área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices
Ejemplo 7
Sean A(2, 4), B(−6, 2) y C(0,−2) vértices de un triangulo. Calcule el área de 4ABC.
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Área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices
Ejemplo 7
Sean A(2, 4), B(−6, 2) y C(0,−2) vértices de un triangulo. Calcule el área de 4ABC.
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Área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices
Ejemplo 8
Determine el área del 4ABC de la figura:
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Área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices
Ejemplo 9
Son dados los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(0, y), vértices de un triangulo. ¿Cuáles son
los valores de y para que área del triangulo 4ABC sea igual a 112 unidades de área?.
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