89227758-Exercicios-do-Livro-de-Arnaldo-Garcia-e-Yves-Lequain

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Estruturas Algébricas
Moisés Toledo∗
13 de abril de 2012
1 Solução de exercícios - Lista№1
Exercício 1. Faça os itens seguintes:
a) Seja G = {e, g1, g2, . . . , gn} um grupo abeliano de ordem n + 1. Suponha que G
possui um único elemento de ordem 2, digamos g1. Mostre que eg1 . . . gn = g1.
b) Seja p um número primo impar. Mostre que o grupo (Z∗p,
⊙
p) possui um único
elemento de ordem 2, a saber p− 1, e mostre que (p− 1)! ≡ −1 mod p (Teorema
de Wilson).
Demonstração.
a) Suponhamos que eg1g2 . . . gn 6= g1 então eg1g2 . . . gn = gi, para algum inteiro
2 ≤ i, assim g1g2 . . . gi−1gi+1 . . . gn = e o qual nos indica que gk possui inversa gm
com exceção de g1 (pois g−11 = g1) isto é:
g−11 = g1, . . . , g
−1
j = gij , . . . , g
−1
n = gin onde ij ∈ {1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} e
gij ∈ {g2, g3, . . . , gn} logo fazendo a contagem de elementos temos: (n+1−2)2 +2 =
n+1 então n = 1 o qual contradiz ao fato da cardinalidade deG pois este tem pelo
menos dois elementos (e, g1 e eg1g2 . . . gn = gi, pelo assumido no início). Por tanto
eg1g2 . . . gn 6= g1.
b) Seja p um primo impar. É claro que se n = p−1 então (p−1)(p−1) = p2−2p+1,
então (p− 1) · (p− 1) = (p− 1)2 = 1.
Agora seja 1 6= n ∈ Z∗p tal que n2 − 1 ≡ 0 mod p, assim (n + 1)(n− 1) = λ · p,
λ ∈ N, mas 2 ≤ n ≤ p− 1, logo p - (n− 1) e p | (n+1), assim n = (p− 1), assim
n = p− 1.
Por ultimo, utilizando o resultado do item anterior temos 1 · 2 . . . (p− 1) = (p− 1)
então (p − 1)! = (p − 1) tomando congruência módulo p temos (p − 1)! ≡ −1
mod p.
∗Universidade Federal da Paraíba
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Exercício 2. Procure os elementos do grupo (Z∗24,
⊙
24) e calcule suas ordens.
Solução:
Faremos uso do seguinte resultado sobre a caraterização de elementos invertíveis em
Zn:
Um elemento a ∈ Zn é invertível se, e somente se,(a, n) = 1.
Assim temos que: Z∗24 = {a; a = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}. As ordens de seus ele-
mentos são facilmente calculados:
O(1) = 1 O(5) = 2 O(7) = 2 O(11) = 2
O(13) = 2 O(17) = 2 O(19) = 2 O(23) = 2
Podemos observar que qualquer elemento (destinto de a = 1) é um gerador do grupo
Z∗24 de ordem dois, por tanto ele é um grupo cíclico.
Exercício 3. Seja p um número primo eG um grupo de ordem p2. Mostre queG possui
no máximo p+1 subgrupos de ordem p. Dê um exemplo onde a cota (p+1) é atingida
e um exemplo onde a cota não é atingida.
Solução:
O número de elementos a ∈ G tais que H =< ap > é um subgrupo de G com
ordem p é igual a p2 − 1. Como cada elemento a está contido em o (único) grupo
H =< ap > de p elementos o qual contem p− 1 elementos de ordem p (a saber (ap)i,
i = 1, 2, . . . , p− 1) então o número de tais gruposH é congruente módulo 1módulo p.
Se denotamos por P = {H < G;O(H) = p} então |P | ≡ 1 mod p, assim |P | =
pλ+ 1. Mas como |G∗| = p2 − 1 então |P | = p− 1 ou |P | = p+ 1.
Exercício 4. Seja G um grupo e H,K dois subgrupos de G. Suponha que (G : H) e
(G : K) são finitos, Mostre que (G : H ∩K) é finito.
Demonstração.
Primeiro provaremos que a interseção xH ∩ yK de classes de H e K o é vazio o é
uma classe do subgrupo H ∩K:
Se xH ∩ yK = ∅ o resultado segue. Caso contrario existe um z ∈ xH, yK assim
zH = xH e zK = yK logo existe w ∈ xH ∩ yK = zH ∩ zK se, e só se, existe
h ∈ H, k ∈ K tal que w = zh = zk se, e só se, z−1w = h = k ∈ H ∩K se, e só se,
w ∈ z(H ∩K) onde z(H ∩K) é uma classe de H ∩K.
Agora como qualquer classe de H ∩ K é uma interseção de classes de H e K então
(G : H ∩K) ≤ (G : H)(G : K) <∞.
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Exercício 5. Seja G um grupo tal que {e}, G são seus únicos subgrupos. Mostre que
a ordem de G é um número primo.
Demonstração.
Se |G| = m, então dado a ∈ G podemos considerar o grupo gerado < a >, assim
| < a > | divide a ordem de G (pelo teorema de Lagrange), mais como os únicos
subgrupos de G são {e}, G então < a >= {e} ou < a >= G assim | < a > | = 1 ou
| < a > | = |G| por tanto |G| = p, onde p um número primo.