RES MAT I Analise e Projeto de Vigas em Flexão

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ANÁLISE E PROJETO 
DE VIGAS EM FLEXÃO 
 
 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
CURSO: TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES 
PROFESSOR: ANTONIO CARLOS ROLIM 
 
ALUNO: 
TURMA: 
 
EDIÇÃO: 2013 
 
 
 
 
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FUNDAÇÃO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE OSASCO – FITO 
PROF. ANTONIO CARLOS ROLIM 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
I. Definições Básicas ........................................................................... 
II. Carregamento ................................................................................... 
III. Nós, Vínculos e Apoios ................................................................... 
IV. Equilíbrio Estático ........................................................................... 
V. Vigas Simples Isostáticas ................................................................ 
VI. Reações nos Apoios – Método Analítico ........................................ 
VII. Esforços Internos Solicitantes – Conceito e Convenção de Sinais .. 
VIII. Método Analítico para Calcular os Esforços Internos Solicitantes . 
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Capítulo I 
DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 
 
ESTRUTURA 
É o conjunto dos elementos interligados de uma construção, que é estável 
para determinada carga, composto com a finalidade de receber e transmitir 
esforços. 
 
Quanto ao formato, a estrutura pode ser: 
 
 Tridimensional (blocos) 
 Bidimensional (placas) 
 Linear (barras) 
 
 
ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS 
 
É aquela na qual todas as dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
Ex.: blocos de fundação e sapatas. 
 
 
ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS 
 
São aquelas nas quais duas dimensões predominam sobre uma terceira 
dimensão, denominada espessura. São também denominadas “placas”. Ex.: 
laje, chapas. 
 
 
 
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ESTRUTURAS LINEAREAS 
 
São aquelas na qual uma das dimensões predomina sobre as demais. São 
também conhecidas como “barras”. Ex.: viga, pilar. 
 
Seção ou Seção Transversal: 
É a figura plana que dá origem à barra (perfil). 
 
Eixo: 
É o lugar geométrico dos centros de gravidade das seções transversais da 
barra. 
 
Barra prismática: 
É aquela que tem o eixo e seção transversal variável. 
 
Barra reta: 
É aquela que tem o eixo reto e seção transversal invariável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste trimestre, estudaremos as estruturas lineares submetidas à flexão, 
ou seja, o objeto do nosso estudo serão as vigas isostáticas. 
 
 
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Capítulo II 
CARREGAMENTO 
 
CARREGAMENTO: 
As cargas ou ações características (forças) a serem consideradas no cálculo 
de uma estrutura. Podem ser divididas em dois grupos: 
 
Cargas permanentes: são constituídas pelo peso próprio da estrutura e 
pelos pesos de todos os elementos construtivos fixos e instalações 
permanentes. As cargas permanentes sempre geram forças de campo 
gravitacional, subdividindo-se em: 
 
 Peso próprio da estrutura; 
 Revestimento e instalações (contra-piso, piso, paredes divisórias, etc). 
 
Cargas acidentais: são as cargas que podem atuar sobre as estruturas das 
edificações em função do seu uso (pessoas, mobiliários, materiais diversos, 
veículos, etc.) ou cargas de fatores externos, como a ação dos ventos e 
terremotos. As cargas acidentais nem sempre geram forças de campo 
gravitacional sobre as estruturas, como na ação dos ventos, que tem 
componentes de força horizontal. Subdividem-se em: 
 
 Sobrecarga (materiais, pessoas, veículos, mobiliário); 
 Força acidental (ventos, furações, terremotos); 
 Força excepcional (ataque terrorista). 
 
DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS: 
Para efetuarmos o cálculo das peças estruturais e a correta modelagem 
matemática é necessário fazer a distribuição das cargas, conforme abaixo: 
 
Carga concentrada: É aquela que atua em um determinado ponto ou região 
com área desprezível. Ex.: (1) Transmissão de esforços de um pilar num 
elemento de fundação; (2) Viga apoiada em outra viga, descarregando 
sobre esta. 
 
Carga distribuída: É aquela cuja superfície de aplicação sobre a estrutura 
não pode ser considerada como reduzida a um ponto. Pode ser uniforme 
ou variável: 
 
 
 
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 Carga distribuída uniforme: são aquelas que atuam uniformemente 
em uma superfície ou em um elemento estrutural linear. Ex.: Peso 
próprio da laje, peso próprio de vigas ou paredes. 
 
 Carga distribuída variável: atuam de forma variável. Ex.: Carga da 
água sobre as paredes de reservatórios ou de piscina; carga de terra 
sobre um muro de arrimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo III 
NÓS, VÍNCULOS E APOIOS 
DEFINIÇÕES 
 
Nó: 
É o ponto de encontro dos eixos de duas ou mais barras de uma estrutura. 
Pode ser rígido ou articulado. O nó é rígido quando não existe mobilidade 
nas barras que nele concorrem, permanecendo inalterado o ângulo 
formado pelos eixos dessas barras. O nó é articulado quando houver 
mobilidade relativa das barras que nele concorrem, podendo variar o 
ângulo formado pelos eixos dessas barras. 
 
Vínculo: 
É o elemento de construção que impede movimentos de uma estrutura. 
É toda restrição imposta pelo apoio à movimentação da estrutura. Quando 
a restrição não for completa, existirá certa grau de liberdade que, por 
definição, é toda permissão oferecida pelo apoio à movimentação da 
estrutura. 
 
Apoio: 
É a ligação da peça estrutural com a estrutura de suporte. É o elemento que 
tem por finalidade receber e transmitir a outras partes da estrutura os 
esforços provenientes das cargas atuantes. 
 
Apoio Vínculos Graus de liberdade 
Articulado móvel 1 2 
Articulado fixo 2 1 
Engastado 3 0 
 
 
 Apoio articulado móvel: É o tipo de apoio cujo vínculo impede o 
movimento de translação apenas na direção perpendicular ao apoio 
da estrutura, permitindo o movimento de deslocamento paralelo ao 
plano de apoio. 
 
 
 
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 Apoio articulado fixo: É o tipo de apoio cujo vínculo impede o 
movimento de translação em duas direções, perpendicular e paralelaao plano de apoio, tendo portanto duas reações, uma para cada 
direção. 
 
 
 
 Apoio engastado: É o tipo de apoio ao qual a estrutura se liga 
rigidamente, cujo vínculo impede a translação e a rotação em 
qualquer direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo IV 
EQUILÍBRIO ESTÁTICO 
 
EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
Para haver equilíbrio estático em estruturas não deve existir: 
 
 Deslocamentos lineares (translação): 
 
 ∑H = 0 
O somatório (∑) das forças horizontais (H), ativos e reativos, na estrutura 
deve ser igual a zero. 
 
 ∑V = 0 
O somatório (∑) das forças verticais (V), ativos e reativos, na estrutura 
deve ser igual a zero. 
 
 Deslocamentos angulares (rotação): 
 
 ∑M = 0 
O somatório (∑) dos momentos (M), ativos e reativos, na estrutura deve ser 
igual a zero. 
 
 
Esforços externos ativos: 
São os esforços atuantes sobre a estrutura, ou seja, seu carregamento. 
 
Esforços externos reativos: 
São os esforços que precisam ser vencidos pelos apoios, ou seja, as 
reações de apoio. 
 
 
TIPOS DE ESTRUTURA: 
Os tipos de estrutura, levando em consideração sua estaticidade são as 
seguintes: 
 
 Hipoestáticas: 
 Quantidade de vínculos insuficientes para garantir seu 
equilíbrio estático; 
 Quantidade de incógnitas inferior a de equações de equilíbrio 
da estática, portanto são estaticamente indeterminadas. 
 
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 Isostáticas: 
 Quantidade de vínculos necessários e suficientes para garantir 
seu equilíbrio estático; 
 Quantidade de incógnitas igual a das equações de equilíbrio da 
estática, portanto são estaticamente determinadas. 
 
 Hiperestáticas: 
 Quantidade de vínculos maior do que a mínima necessária para 
garantir seu equilíbrio estático; 
 Quantidade de incógnitas superior a das equações de equilíbrio 
da estática, portanto é necessário combinar as equações da 
estática com equações de deslocamento ou de outros métodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo V 
VIGAS SIMPLES ISOSTÁTICAS 
 
VIGAS SIMPLES ISOSTÁTICAS: 
Tipo de estrutura linear (“barras”), submetida predominantemente à flexão, 
que pode ser ‘resolvida’ pela aplicação das três equações da estática. 
Portanto, é uma estrutura isostática formada por uma barra, em geral de 
eixo reto. Estudaremos os seguintes tipos: 
 
Viga em balanço: 
Possui uma extremidade livre e outra engastada. 
 
 
Viga bi-apoiada: 
Possui um apoio articulado fixo e um apoio articulado móvel nas suas 
extremidades. 
 
 
 
 
 
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Viga bi-apoiada com balanço: 
Possui um apoio articulado fixo e um apoio articulado móvel, situados em 
duas seções transversais quaisquer. Como tem as extremidades livres 
denominamos “viga em balanço”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo VI 
REAÇÕES NOS APOIOS 
MÉTODO ANALÍTICO 
 
 
O cálculo das reações nos apoios consiste em aplicar as três condições de 
equilíbrio da estática 
 
∑H = 0 Somatória das forças horizontais igual a ZERO. 
∑V = 0 Somatória das forças verticais igual a ZERO. 
∑Mo = 0 Somatória das forças dos momentos igual a ZERO. 
 
 
Adota-se a convenção de sinais: 
 
Força Positivo (+) Negativo (-) 
Força Horizontal – H sentido p/ direita sentido p/ esquerda 
Força Vertical – V sentido p/ cima sentido p/ baixo 
Momento fletor – M sentido horário sentido anti-horário 
 
 
 
ROTEIRO DE CÁLCULO: 
 
 
Para viga engastada: 
 
1. Preparar o esquema estrutural: 
 calcular as cargas concentradas equivalentes às cargas distribuídas 
e suas respectivas distâncias até o ponto do engastamento; 
 decompor as forças inclinadas em H e V e suas respectivas 
distâncias até o ponto do engastamento; 
2. Representar no esquema os vínculos (reações Rh, Rv e Mo) com vetores; 
3. Aplicar as três condições de equilíbrio ( ∑H = 0 / ∑V = 0 / ∑M = 0 ) 
 
 
 
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Para viga bi-apoiada (com ou sem balanço): 
 
1. Preparar o esquema estrutural: 
 Calcular as cargas concentradas equivalentes às cargas distribuídas e 
suas respectivas distâncias até o ponto de referência escolhido; 
 Decompor as forças inclinadas em H e V e suas respectivas distâncias 
até o ponto de referência escolhido; 
2. Representar no esquema os vínculos (reações Rh, Rv e Mo) com vetores; 
3. Aplicar as três condições de equilíbrio ( ∑H = 0 / ∑V = 0 / ∑M = 0 ), 
calculando uma das reações, a outra, substituindo-se na equação 
anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo VII 
ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES 
CONCEITO E CONVENÇÃO DE SINAIS 
 
Calcular os esforços internos solicitantes (E.I.S.) significa determinar os 
esforços internos sofridos pela peça em cada seção transversal pré-
determinada, após o carregamento formado pelas cargas permanentes 
(peso próprio de vigas, lajes e paredes) e pelas cargas eventuais ou 
acidentais, distribuídas e concentradas e momentos. São eles: 
 
FORÇA NORMAL (N): 
Força que atua no sentido longitudinal da peça (ou perpendicular a sua 
seção transversal). Pode ser força de tração ou de compressão. 
As forças de tração tendem a aumentar o comprimento da peça, portanto 
adotaremos o sinal positivo; as forças de compressão tendem a encurtar o 
comprimento da peça, portanto adotamos o sinal negativo, para efeito de 
cálculo. 
 
 
 
FORÇA CORTANTE (V): 
Força que atua no sentido transversal da peça (paralela a sua seção 
transversal ou perpendicular a sua seção longitudinal). 
Adotaremos o sinal positivo para aquelas que tendem a girar no sentido 
horário e sinal negativo para aquelas que tendem a girar no sentido anti-
horário. 
 
 
 
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MOMENTO FLETOR (M): 
O momentofletor tende a deformar a peça pela ação dos esforços externos 
(carregamento). 
Quando tracionar as fibras inferiores e comprimir as fibras superiores, 
adotaremos o sinal positivo; quando tracionar as fibras superiores e 
comprimir as fibras inferiores, adotaremos o sinal negativo. 
 
 
 
Para calcular os esforços internos solicitantes, podemos utilizar dois 
métodos distintos: o Método Analítico e o Método Prático. 
 
O Método Analítico permite entender a distribuição dos esforços internos 
solicitantes ao longo de toda a peça estrutural, e deverá ser bem estudado 
para possibilitar a correta interpretação de resultados durante a utilização 
de métodos simplificados mais fáceis. 
 
O Método Prático permite rápida resolução do problema, sem maiores 
recursos tecnológicos, necessitando – quando muito – apenas de uma 
simples calculadora eletrônica de quatro operações. Este método reduz 
sensivelmente o tempo despendido durante a resolução de problemas 
desde que haja muito treino para que os cálculos sejam feitos 
automaticamente sem interrupções. 
 
 
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Capítulo VIII 
MÉTODO ANALÍTICO 
PARA CALCULAR OS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES 
 
 
Para se chegar aos esforços internos solicitantes (E.I.S.) é necessário 
estabelecer previamente seções transversais definidas por intervalos e 
calcular os respectivos esforços por intermédio de equações de primeiro e 
segundo graus. 
 
 
Roteiro de cálculo: 
 
 
1. Calcular as reações nos apoios (reações verticais, reações horizontais); 
2. Transportar os valores encontrados para o esquema original; 
3. Estabelecer os pontos onde serão consideradas as seções transversais, 
marcando-os a partir da origem (ponto zero) e adicionando-se as 
distâncias; nomear as seções com A, B, C, D . . . nesta ordem, e numerar 
os apoios 1 e 2; 
4. Estabelecer as seções de corte entre os intervalos, determinando os 
trechos e os valores limites de “x”; 
5. Preparar o esquema, desenhando todo o carregamento existente à 
esquerda do corte; decompor as forças inclinadas em componentes 
vertical (V) e horizontal (H) e indicar as respectivas distâncias das forças 
até o ponto de referência do corte para cada seção; 
6. Preparar o esquema, calculando as forças concentradas equivalentes às 
cargas distribuídas em função de “x” e indicar as respectivas distâncias 
das forças até o ponto de referência da seção considerada; 
7. A cada seção, acumulam-se as cargas das seções anteriores; 
 
 
 
 
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8. Para cada seção: 
 Compor a equação de Força Normal em função de “x” (N= 
somatória das forças normais); 
 Substituir “x” pelos valores do intervalo para calcular os valores de 
“N” em cada ponto; 
 Transferir os valores calculados para o gráfico dos Diagramas de 
Linhas de Estado. Se for equação de uma constante, o gráfico será 
uma reta paralela ao eixo da viga. 
 Compor a equação de Força Cortante em função de “x” (V= 
somatória das forças cortantes); 
 Substituir “x” pelos valores do intervalo para calcular os valores de 
“V” em cada ponto; 
 Transferir os valores calculados para o gráfico dos Diagramas de 
Linhas de Estado. Se for equação de primeiro grau, o gráfico será 
composto de retas ascendentes ou descendentes, inclinadas em 
relação ao eixo da viga. 
 Compor a equação de Momento fletor em função de “x” (M= 
somatória dos momentos fletores); 
 Substituir “x” pelos valores do intervalo para calcular os valores de 
“M” em cada ponto; 
 Transferir os valores calculados para o gráfico dos Diagramas de 
Linhas de Estado. Se for equação de segundo grau, o gráfico será 
uma parábola. Se no gráfico da força cortante, em algum trecho a 
reta ultrapassar o eixo da viga, ou seja, o valor da Força Cortante 
for igual a zero, então neste ponto o Momento Fletor será máximo, 
representado pelo vértice da parábola, e deverá ser calculado 
separadamente. 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO DO MOMENTO MÁXIMO: 
 
Sempre que a força cortante for igual a zero, consequentemente o 
momento é máximo naquele ponto. 
Há várias maneiras de se calcular o momento máximo. A seguir a maneira 
mais simples, que utiliza semelhança de triângulos. 
 
 Calcular a distância x
1
 (base do primeiro triângulo), no gráfico da 
força cortante; 
 Calcular a distância x
2 
(base do segundo triângulo), no gráfico da força 
cortante; 
 Calcular as áreas dos triangulas A
1
 e A
2
; 
 Obtém-se o Momento Máximo somando-se ao Momento da seção 
anterior a área A
1
.