Programação Linear Localização Industrial

Prévia do material em texto

Formação de Valor em Sistemas de Produção – FVSP Assunto: Método de Transporte Aplicado à Localização 
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA 
Faculdade de Tecnologia 
Núcleo de Engenharia de Produção 
Prof. João Mello da Silva 
 
 
APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR AO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO INDUSTRIAL: 
O MÉTODO DE TRANSPORTE 
 
O método de transporte, desenvolvido em programação linear, pode ser aplicado ao problema de 
localização de instalações industriais. 
 
Considere uma companhia que atualmente conta com duas fábricas em funcionamento, uma 
localizada em Goiânia e a outra em Belo Horizonte. A distribuição ao mercado é feita por meio de 
cinco distribuidores, situados em Brasília, Vitória, São Paulo, Rio de Janeiro e Porto Alegre. Para 
atender ao um aumento de demanda detectado por pesquisa de mercado, a companhia decidiu 
construir uma nova fábrica com capacidade igual a 25000 unidades semanais, que corresponde ao 
incremento esperado da demanda. Estudos preliminares já pré-qualificaram três locais alternativos 
para a futura fábrica: São Paulo, Rio de Janeiro e Porto Alegre. Os custos de distribuição, incluindo 
manuseio, estocagem e frete, os custos de produção bem como as capacidades de produção de 
cada fábrica (existente ou propostas) e as demandas dos centros distribuidores estão mostrados 
na tabela abaixo. 
 
 
Centros de 
 Distribuição 
 
Das 
Fábricas 
Custo de distribuição por unidade 
 Capac. 
Mensal 
da 
fábrica 
 
Custo de 
produção 
por 
unidade 
 
Brasília 
 
Vitória 
 
São 
Paulo 
 
Rio de 
Janeiro 
 
Porto 
Alegre 
Fá
br
ic
a
s 
e
xi
st
e
n
te
s 
 
Belo 
Horizonte 
 
 
0,42 
 
 
0,38 
 
 
0,41 
 
 
0,36 
 
 
0,50 
 
 
27.000 
 
 
2,70 
 
Goiânia 
 
0,32 
 
 
0,48 
 
 
0,42 
 
 
0,44 
 
 
0,49 
 
 
20.000 
 
 
2,68 
 
Lo
ca
liz
a
çõ
e
s 
pr
o
po
st
a
s 
pa
ra
 
n
o
va
s 
fá
br
ic
a
s 
 
São Paulo 
 
0,46 
 
 
0,42 
 
 
0,30 
 
 
0,37 
 
 
0,43 
 
 
25.000 
 
 
2,64 
 
 
Rio de 
Janeiro 
 
 
0,44 
 
0,38 
 
0,37 
 
0,30 
 
0,45 
 
25.000 
 
2,69 
Porto 
Alegre 
0,48 0,46 0,43 0,45 0,27 25.000 2,62 
Demanda mensal 10.000 19.000 16.000 15.000 12.000 72.000 - 
Formação de Valor em Sistemas de Produção – FVSP Assunto: Método de Transporte Aplicado à Localização 
Como mostrado, os custos de produção são menores em Porto Alegre, mas os custos de 
distribuição são relativamente altos quando comparados com os relativos a São Paulo e ao Rio. A 
questão é a seguinte: qual localização (São Paulo, Rio ou Porto Alegre) resultará em menores 
custos totais de produção e distribuição, quando considerada em conjunto com as fábricas 
existentes (Belo Horizonte e Goiânia) e os centros distribuidores (Brasília, Vitória, São Paulo, Rio e 
Porto Alegre)? 
 
Como a nova fábrica será localizada em apenas uma cidade, a localização em cada uma dessas 
cidades pode ser individualmente formulada como o problema do transporte de programação 
linear. Ou seja, são formulados três problemas de transporte com as seguintes combinações de 
localização de fábricas: 
 
1. Belo Horizonte, Goiânia e São Paulo; 
2. Belo Horizonte, Goiânia e Rio de Janeiro; 
3. Belo Horizonte, Goiânia e Porto Alegre. 
 
A solução de cada um desses problemas é em termos das quantidades a serem enviadas de cada 
uma das três fábricas a cada um dos cinco centros distribuidores que resultem no menor custo de 
distribuição. Essas quantidades, por sua vez, satisfazem ás restrições de capacidade de cada 
fábrica e de atendimento da demanda de cada centro distribuidor. Com a adição do custo de 
produção a esse custo (mínimo) de distribuição, tem-se o custo total de cada uma das 
combinações de fábricas. A combinação que resultar no menor custo total fornece a localização da 
nova fábrica. 
 
Antes de passar à discussão dos resultados obtidos, é apresentado um pequeno resumo sobre o 
problema de transporte em programação linear. 
 
Na interpretação do modelo, existem m pontos de suprimentos, com itens sendo remetidos a n 
pontos de demanda. Especificamente, o ponto de suprimento i pode remeter no máximo Si itens 
enquanto que o ponto de demanda j requer pelo menos Dj itens. Esses valores, Si i = 1,2,...,m e Dj, 
j = 1,2...n, são referências fixas durante todo o horizonte de planejamento. O custo de se remeter 
cada unidade do ponto de suprimento i no ponto de demanda j é cij. O objetivo é selecionar, para a 
duração do horizonte de planejamento, um plano de distribuição que minimize os custos totais do 
transporte. 
 
Denotando a quantidade remetida de i para j por xij, a descrição matemática do problema de 
transporte é: 
 m n 
Minimizar Σ Σ cij xij (função objetivo) 
 I = 1 j = 1 
 
Sujeito a 
 
 n 
 Σ xij ≤ Si i= 1,2,...m (restrições de suprimento) 
j = 1 
 
 
Formação de Valor em Sistemas de Produção – FVSP Assunto: Método de Transporte Aplicado à Localização 
 m 
 Σ xij ≥ Dj j= 1,2,...n (restrições de demanda) 
i = 1 
 
 xij ≥ 0 para todos os i,j (restrições de não negatividade) 
 
Observar que a soma das remessas do ponto de suprimento i a todos os pontos de demanda j não 
pode exceder o suprimento disponível Si (restrições de suprimento). 
 
Similarmente, a soma das remessas ao ponto de demanda j de todos os pontos de suprimento i 
deve ser pelo menos igual ao requisito de demanda Dj. Notar ainda que a função objetivo soma 
todos os custos associados a todos as remessas. 
 
Um resultado importante obtido em teoria de fluxos em redes é que dentre as soluções ótimas para 
o modelo acima, existe pelo menos uma com todos os Xij inteiros, desde que todos os Si e Dj 
sejam também inteiros. Então,supondo todos os Si e Dj como valores inteiros, pode-se considerar 
as restrições (não negatividade) como sendo igual a: 
 
xij = 0,1,2,... 
 
Tal procedimento não afeta o valor de e facilita a obtenção de valores (inteiros) ótimos como xij. 
 
Se o custo unitário para se produzir em item difere de um ponto de suprimento para outro, então 
esse custo é incluído na determinação de cij. Se, por razões físicas ou econômicas, um certo ponto 
de demanda j é inacessível por um ponto de suprimento i, então o xij associado é eliminado, ou se 
for mais conveniente, o cij correspondente é definido como arbitrariamente alto. Para simplificar, 
supor cij ≥ 0. 
 
Para o modelo possuir uma solução viável, é necessário que o suprimento total seja pelo menos 
igual a demanda total, ou seja, 
 
 m n 
 Σ Si ≥ Σ Dj 
 I = 1 j = 1 
 
Através de um artifício formal pode-se forçar a igualdade sem qualquer perda de generalidade: 
criar uma destinação (ponto de demanda) fictícia, com um requisito de demanda igual a: 
 
 m n 
 Σ Si - Σ Dj 
 I = 1 j = 1 
 
Considerar essa destinação fictícia como n’ésimo ponto de demanda, com o custo associado cin = 
0, i = 1,2,...m, de modo que a interpretação de xin seja a folga na capacidade (capacidade ociosa) 
do ponto de suprimento i. Desse modo, a soma das capacidades é igual à dos requisitos. Com o 
auxílio desse artifício, as relações (2) e (3) podem ser escritas como igualdades. Assim, para 
valores inteiros de Si e Dj, i = 1,2,...,m e j = 1,2,...n e com a variável xin, i = i,...m, representando a 
capacidade ociosa do ponto de suprimento i, o modelo de transporte pode ser escrito como: 
Formação de Valor em Sistemas de Produção – FVSP Assunto: Método de Transporte Aplicado à Localizaçãom n 
Minimizar Σ Σ cij xij (função objetivo) 
 I = 1 j = 1 
 
Sujeito a 
 
 n 
 Σ xij ≤ Si i= 1,2,...m (restrições de suprimento) 
 j = 1 
 
 m 
 Σ xij ≥ Dj j= 1,2,...n (restrições de demanda) 
 i = 1 
 
 xij = 0, 1, 2, ... para todos os i,j (restrições de não negatividade e valores inteiros) 
 
Para o problema da escolha da localização da nova fábrica em São Paulo, no Rio de Janeiro, ou 
em Porto Alegre, a formulação é a seguinte: 
 
xij = quantidade da fábrica i para depósito j 
 
i = 1: Belo Horizonte - 2 FÁBRICAS EXISTENTES 
 = 2: Goiânia 
 
i = 3: São Paulo - 3 LOCALIZAÇÕES POTENCIAIS DA NOVA FÁBRICA 
 = 4: Rio de Janeiro 
 = 5: Porto Alegre 
 
j = 1: Brasília - 5 DEPÓSITOS 
 = 2: Vitória 
 = 3: São Paulo 
 = 4: Rio 
 = 5: Porto Alegre 
 
A solução para os problemas de transporte mostram que a fábrica localizada em Porto Alegre é a 
melhor opção em termos de custos variáveis de distribuição e produção. A solução encontrada é 
muito simples, mas outras restrições poderiam ser adicionadas como níveis de estoque nas várias 
localizações, futuras localizações de outros centros distribuidores, custos de imóveis, e de 
construção futura expansão do mercado, etc. 
 
DINÂMICA LOCACIONAL PARA MÚLTIPLAS FÁBRICAS 
 
A decisão de construir a fábrica de Porto Alegre foi baseada nos custos correntes, na estrutura da 
demanda e numa avaliação do futuro. Suponha que o balanço desses fatores mude. 
 
Suponha por exemplo que após a fábrica de Porto Alegre ter sido construída, a companhia sofra 
um declínio na demanda por causa de competição. Suponha que ao invés de uma demanda total 
Formação de Valor em Sistemas de Produção – FVSP Assunto: Método de Transporte Aplicado à Localização 
de 72.000 unidades/semana, como prevista e usada no planejamento, existe apenas a demanda 
de 56.000 unidades por semana, divididas nas áreas dos centros distribuidores como: 
 
Brasília.................... .9.000 
Vitória..................... 15.000 
São Paulo ............. 11.000 
Rio...........................13.000 
Porto Alegre..............8.000 
 
Devido às suas características, as fábricas de Porto Alegre e Belo Horizonte podem atender a essa 
demanda sem a fábrica de Goiânia desde que funcionem em regime de trabalho extra. De fato, 
quaisquer 2 das 3 fábricas podem atender à demanda (56.000/semana) se trabalho extra for 
realizado. Tem-se então tanto essas alternativas (2 funcionando em regime de trabalho extra e a 
outra desativada) como a de continuar com as 3 fábricas em funcionamento com capacidade 
parcial. Qual alternativa é a melhor e qual a diferença obtida? 
 
Para se chegar a uma resposta, é necessário conhecer, além dos custos do trabalho extra em 
cada fábrica, a capacidade adicional (quando em regime de trabalho extra) e as reduções de custo 
que se obtém pela desativação de uma fábrica. Cumpre ressaltar que mesmo parada, uma fábrica 
incorre em uma série de custos fixos. 
 
 Belo 
 Horizonte 
Goiânia Porto Alegre 
Custo de produção 
em trabalho extra 
(por unidade) 
 
 
3,37 
 
 
3,33 
 
 
3,27 
Aumento de 
capacidade com 
trabalho extra 
(unidade/semana) 
 
 
7.000 
 
 
5.000 
 
 
6.000 
Custos fixos(por 
semana) em 
operação 
 
12.000 
 
9.000 
 
13.000 
Custos fixos(por 
semana) parada 
 
5.000 
 
4.000 
 
6.000 
 
As quatro opções são as seguintes: 
 
1. Belo Horizonte, Goiânia e Porto Alegre funcionando; 
2. Belo Horizonte desativada, Goiânia e Porto Alegre funcionando; 
3. Goiânia desativada, Belo Horizonte e Porto Alegre funcionando; 
4. Porto Alegre desativada, Belo Horizonte e Goiânia funcionando. 
 
As soluções obtidas para os problemas relativos a essas quatro alternativas são apresentadas a 
seguir. Notar que para manter o formato de um problema do transporte, as capacidades com 
trabalho extra foram consideradas como nova fonte de produção. 
Formação de Valor em Sistemas de Produção – FVSP Assunto: Método de Transporte Aplicado à Localização 
 
Dos resultados obtidos conclui-se que a alternativa mais vantajosa é: 
 
. desativação da fábrica de Goiânia 
. produção semanal em Belo Horizonte em horário normal = 27.000 unidades 
. produção semanal em Porto Alegre: 25.000 unidades em horário normal e 4.000 unidades em 
horário extra 
 
Se a situação fosse mais séria, talvez se pudesse considerar a venda de uma fábrica, ao invés de 
a manter desativada. Nesse caso, uma análise similar poderia ser feita. Em tal caso, todos os 
custos fixos atribuídos à fábrica vendida seriam eliminadas, sendo também necessário avaliar o 
capital conseguido com a venda.