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Lista de exercicios - Definição de dominio de integridade e corpo, exemplos. Subanéis, ideais (à esquerda e à direita, bilaterais)

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática – IE
Álgebra 1 - Turma C
Semana 10 – Lista de exercícios
Temas abordados: Definição de dominio de integridade e corpo, exemplos. Subanéis,
ideais (à esquerda e à direita, bileterais)
1) Seja p um número primo tal que p ≥ 2 e seja Z[√p] = {a + b√p : a, b ∈ Z}.
Vamos definir uma soma e um produto em Z[√p] do seguinte modo:
soma: (a + b√p) + (c + d√p) = (a + c) + (b + d)√p, a, b, c, d ∈ Z
produto: (a + b√p) · (c + d√p) = (ac + pbd) + (bc + ad)√p, a, b, c, d ∈ Z
Prove que (Z[√p],+, ·) é um domínio de integridade.
2) Seja p um número primo e seja Q[√p] = {a + b√p : a, b ∈ Q}. Defina soma e
produto como acima e verifique que (Q[√p],+, ·) é um corpo.
3) Mostre que o anel C[0, 1] das funções reais contínuas definidas em [0, 1] possui
divisores de zero.
4) Seja A um domínio de integridade e a, b, c ∈ A. Prove que, se a 6= 0 e ab = ac
então b = c.
5) Seja D um domínio de integridade e seja a ∈ D, a 6= 0. Então prove que a função
ϕα : D → D definida como x 7→ a · x, é injetiva.
6) Seja A = Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} onde i2 = −1 e
a + bi = c + di ⇐⇒ a = c e b = d
vamos definir + e · em A do seguinte modo para a, b, c, d ∈ Z:
soma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
produto: (a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i
Prove que (A = Z[i],+, ·) é um domínio de integridade e calcule todos os elementos
de Z[i] que são invertíveis relativamente ao produto em Z[i].
7) Seja A um anel, B um conjunto e f : B → A uma função bijetiva de B sobre A.
Se para cada x, y ∈ B definimos
x + y = f−1(f(x) + f(y)) e x · y = f−1(f(x) · f(y))
Então prove que:
a) (B,+, ·) é um anel
b) f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x · y) = f(x) · f(y), ∀x, y ∈ B
8) Seja {Bi}i∈N uma sequência de subanéis de um anel A. Prove que, B =
⋂
i∈NBi
é também um subanel de A.
9) Seja {Bi}i∈N uma sequência de subanéis de um anel A. Prove que, se B0 ⊂ B1 ⊂
. . . ⊂ Bn ⊂ . . . então B =
⋃
i∈NBi é também um subanel de A.
10) Mostre que Z/3Z = {0, 1, 2} não é subanel de Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}.
11) Seja A um anel e a ∈ A. Prove que B = {x ∈ A : x · a = a · x} é um subanel de
A.
12) Seja A um anel. Prove que Z(A) = {x ∈ A : x · y = y · x,∀y ∈ A} é um subanel
(comutativo) de A (Z(A) é chamado o centro de A).
1
2
13) Seja A um anel e a ∈ A. Prove que B = {x ∈ A : x · a = 0} é um subanel de A.
14) Calcule todos os subanéis de Z/6Z e de Z/12Z.
Sugestão: Determine todos os subgrupos de (Z/nZ) e verifique quais são fechados
para a multiplicação.
15) Mostre que a interseção de ideais de um anel A é também um ideal de A.
16) Seja A um anel e a ∈ A. Prove que I = {x ∈ A : x ·a = 0} é um ideal à esquerda
de A.
17) Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que:
a) I + J = {x + y : x ∈ I, y ∈ J} é um ideal de A.
b) I · J = {∑ni=1 xi · yi : n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J} é um ideal de A.
18) Seja I um ideal à esquerda e J um ideal à direita do anel A. Prove então que
I · J é um ideal de A.
19) Prove que são anéis:
a) O conjunto Z dotado da adição usual e a multiplicação definida como: ab =
0, ∀a, b ∈ Z.
b) O conjunto Q com as operações ⊕ e � definidas como: x⊕ y = x + y − 1 e
x� y = x + y − xy.
c) O conjunto Z × Z em relação às operações definidas assim: (a, b) + (c, d) =
(a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (ac, ad + bc).
20) Quais dos anéis do exercício anterior são comutativos? Quais tem unidade?
Determine a unidade nos casos em que existem.
21) Consideremos as operações ∗ e ∆ em Z definidas por: x ∗ y = x + ay − 2
e x∆y = xy + bx + cy + d, onde a, b, c, d são números inteiros dados. Determine
a, b, c, d de modo que (Z, ∗,∆) seja um anel. Para os valores obtidos de a, b, c, d,
(Z, ∗,∆) é um anel comutativo com unidade?
22) Determine quais dos seguintes subconjuntos de Q são subanéis:
a) Z
b) B = {x ∈ Q : x /∈ Z}
c) C = {ab ∈ Q : a, b ∈ Z; 2|b}
23) Verifique se L = {a + b√2 : a, b ∈ Q} é subanel do anel R.
24) Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de M2(R)?
L1 =
{ (
a 0
b 0
)
| a, b ∈ R
}
L2 =
{ (
a b
0 c
)
| a, b, c ∈ R
}
L3 =
{ (
a 0
0 b
)
| a, b ∈ R
}
L4 =
{ (
0 a
c b
)
| a, b, c ∈ R
}
Universidade de Brasília
Departamento de Matemática – IE
Álgebra 1 - Turma C
Semana 10 – Soluções
Temas abordados: Definição de dominio de integridade e corpo, exemplos. Subanéis,
ideais (à esquerda e à direita, bileterais).
1) Seja p um primo tal que p ≥ 2. Definimos
Z[
√
p] = {a+ b√p | a, b ∈ Z}.
A prova que (Z[√p],+, ·) é um anel é deixada ao leitor (verifique que os axiomas
de anel são satisfeitos). Vamos provar que (Z[√p],+, ·) é um dominio de integridade.
Antes provamos que (Z[√p],+, ·) é um anel comutativo, de fato temos que ∀α, β ∈
Z[√p], onde α = a+ b√p e β = c+ d√p com a, b, c, d ∈ Z temos que:
α · β = (a+ b√p) · (c+ d√p) = (ac+ pbd) + (bc+ ad)√p
e também que
β · α = (c+ d√p) · (a+ b√p) = (ca+ pdb) + (da+ cb)√p.
Obviamente as duas expessões coincidem já que (Z,+, ·) é um anel comutativo.
Notamos que (Z[√p],+, ·) possui o elemento unidade, de fato, se chamarmos esse
elemento e1 + e2
√
p teriamos que ter, para todo a+ b√p ∈ Z[√p], que
(e1 + e2
√
p) · (a+ b√p) = (e1a+ pe2b) + (e2a+ e1b)√p = a+ b√p,
ou seja ao mesmo tempo que
e1a+ pe2b = a
e
e2a+ e1b = b.
Assim concluimos que o elemento unidade é 1 + 0√p.
Agora provamos que (Z[√p],+, ·) não possui divisores de zero:
Supondo que para α, β ∈ Z[√p] temos que
0 = 0 + 0
√
p = α · β.
Notamos que Z[√p] ⊆ R e que as operações definidas em Z[√p] são as usuais ope-
rações de soma e produto em R. Além disso (R,+, ·) não possui divisores de zero,
portanto dizer 0 = α · β implica necessariamente que ou α = 0 ou que β = 0, já
que em caso contrario teriamos achado divisores de zero em (R,+, ·) o que seria um
absurdo! Isso conclui a prova que (Z[√p],+, ·) é um dominio de integridade.
2) Seja Q[√p] = {a+b√p | a, b ∈ Q}. Observamos que Q[√p] ⊆ R e que as operações
de + e · são de fato as operações usuais definidas em (R,+, ·) (confira!). Como
(R,+, ·) é um domínio de integridade, então também (Q[√p],+, ·) o é. Para ver que
(Q[√p],+, ·) é um corpo temos só que conferir que todo elemento α ∈ Q[√p] \ {0}
é invertível em Q[√p]. Seja α = a + b√p, com a, b ∈ Q. Notamos que o elemento
a − b√p ∈ R e que a − b√p 6= 0. Como R é um corpo existe o elemento inverso de
1
2
a− b√p em R que é 1a−b√p . Assim temos que (note que tudo o que vamos escrever
agora faz sentido em R):
1 =
(a+ b
√
p) · (a− b√p)
(a− b√p) · (a+ b√p) = (a+ b
√
p) · a− b
√
p
a2 − pb2
e notamos que
a− b√p
a2 − pb2 =
a
a2 − pb2 −
b
a2 − pb2
√
p ∈ Q√p \ {0}.
Assim segue que (Q[√p],+, ·) é um corpo.
3) Deixado ao leitor.
4) Suponha que (A,+, ·) é um dominio de integridade. Sejam a, b, c ∈ A com a 6= 0A
e ab = ac. Provamos que b = c, ou seja que a lei de cancelamento vale dentro de um
dominio de integridade.
Prova: Dado que ab = ac, então temos que 0A = ab − ac = a(b − c). Como A é
dominio de integridade então ou a = 0A ou b− c = 0A mas a primeira não é possível
já que por hipótese temos que a 6= 0A, assim temos necessariamente que b− c = 0A,
ou seja que b = c como desejado.
5) Seja (D,+, ·) um domínio de integridade e fixamos a ∈ D \ {0D}. Definimos:
ϕa : D → D
x 7→ ax ∀x ∈ D
Provamos que ϕa é injetiva. Sejam x, y ∈ D tais que ϕa(x) = ϕa(y), então temos
que ax = ay, mas como D é dominio de integridade e a 6= 0D, pelo Ex. 4 temos que
x = y. Portanto ϕa é injetiva, como queriamos.
6) Deixado ao leitor conferir que (Z[i],+, ·) é um dominio de integridade. Notamos
que se a+ bi 6= 0Z[i] é invertivel então existe outro elemento c+ di 6= 0Z[i] tal que :
1 + 0i = (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i,
e portanto teriamos ao mesmo tempo que ad + bc = 0 e que ac − bd = 1. Confira
que isso implica que os únicos elementos invertíveis são {1,−1, i,−i}.
7) Vamos provar o item (a). Nota que (A,+, ·) é um anel e usaremos issona prova.
Notamos que:
• ∀x, y, z ∈ B temos que
(x+ y) + z = f−1(f(x+ y) + f(z))
= f−1(f(f−1(f(x) + f(y))) + f(z))
= f−1((f(x) + f(y)) + f(z))
= f−1(f(x) + (f(y) + f(z)))
= f−1(f(x) + f(f−1(f(y) + f(z))))
= f−1(f(x) + f(y + z)) = x+ (y + z)
• ∀x, y ∈ B temos que
x+ y = f−1(f(x) + f(y)) = f−1(f(y) + f(x)) = y + x.
• existe um elemento neutro em B com respeito a +. Chamando esse elemento
0B teríamos que ∀x ∈ B:
3
f−1(f(x)) = x = x+ 0B = f−1(f(x) + f(0B)),
e como f−1 é bijetiva já que f o é teriamos que f(x) = f(x) + f(0B) e pela
unicidade do elemento neutro com respeito a + em A temos que f(0B) = 0A.
Assim temos que 0B = f−1(0A).
• para todo x ∈ B existe o elemento oposto com respeito a + já que chamando
esse elemento de z teríamos
f−1(0A) = 0B = x+ z = f−1(f(x) + f(z)),
que implica
0A = f(x) + f(z)
e pela unicidade do elemento oposto com respeito a + em A temos que
f(z) é o elemento oposto de f(x) em A, o indicamos com f(z) = −f(x).
Assim agora temos que o elemento oposto de x existe e é z = f−1(f(z)) =
f−1(−f(x)).
Isso prova que (B,+) é um grupo abeliano. Agora notamos que:
• ∀x, y, z ∈ B temos
(x · y) · z = f−1(f(x · y) · f(z))
= f−1(f(f−1(f(x) · f(y)) · f(z))
= f−1((f(x) · f(y)) · f(z))
= f−1(f(x) · (f(y) · f(z)))
= f−1(f(x) · f(f−1(f(y) · f(z))))
= f−1(f(x) · f(y · z)) = x · (y · z)
• ∀x, y, z ∈ B temos
x · (y + z) = f−1(f(x) · f(y + z))
= f−1(f(x) · f(f−1(f(y) + f(z))))
= f−1(f(x) · (f(y) + f(z)))
= f−1((f(x) · f(y)) + (f(x) · f(z)))
= f−1(f(f−1(f(x) · f(y))) + f(f−1(f(x) · f(z))))
= f−1(f(x · y) + f(x · z)) = (x · y) + (x · z)
Note que a igualdade (x + y) · z = (x · z) + (y · z) pode ser provada de
forma análoga (confira!).
Isso prova que (B,+, ·) é um anel.
O item (b) é deixado ao leitor.
8) Seja {Bi}i∈N = {B1, B2, B3, . . .} uma sequência de subaneis de um anel (A,+, ·).
Vamos provar que B = ∩i∈NBi é um subanel de A.
Prova: usando o criterio de subaneis observamos as seguintes coisas:
• 0A ∈ B, de fato temos que 0A ∈ Bi ∀i ∈ N já que todos os Bi da sequência
são subaneis e portanto 0A está na interseção deles, ou seja em B.
• ∀x, y ∈ B temos que x, y ∈ Bi ∀i ∈ N e portanto x− y ∈ Bi ∀i ∈ N (sempre
porque todos os Bi da sequência são subaneis). Disso segue que x − y está
na interseção deles, ou seja temos que x− y ∈ B.
4
• ∀x, y ∈ B temos que x, y ∈ Bi ∀i ∈ N e assim que xy ∈ Bi ∀i ∈ N (todos os
Bi da sequência são subaneis). Disso segue que xy está na interseção deles,
ou seja temos que xy ∈ B.
Concluimos que B é subanel de A.
9) Deixado ao leitor.
10) Seja Z/5Z = {0¯, 1¯, 2¯, 3¯, 4¯} e seja B = {0¯, 1¯, 2¯}. Notamos que B não é subanel
de Z/5Z já que o produto de dois elementos de B não sempre pertence a B, por
exemplo, 2¯ · 2¯ = 4¯ /∈ B, e o mesmo problema também existe pela soma, por exemplo
1¯ + 2¯ = 3¯ /∈ B, ou seja B não é nem um subgrupo aditivo de Z/5Z!!.
11) Sejam (A,+, ·) um anel e a ∈ A. Vamos provar que o conjunto B = {x ∈ A |
xa = ax} é um subanel de A. Usamos o criterio de subanel e notamos as seguintes
coisas:
• 0A ∈ B, de fato temos que 0Aa = 0A = a0A.
• ∀x, y ∈ B temos que (x − y)a = xa − ya = ax − ay = a(x − y) (Note
que usamos as propiedades distributivas do anel A e o fato de x, y serem
elementos de B), ou seja temos que x− y ∈ B.
• ∀x, y ∈ B temos que xya = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y = axy e
portanto xy ∈ B. Disso segue que B é subanel de A.
11), 12) e 13) Deixados ao leitor (use o criterio de subanel.)
14) Observe que podemos, primeiro, considerar todos os subgrupos aditivos e logo
olhamos se são fechados com respeito ao produto.
Notamos que os subaneis de Z/6Z são {0¯}, {0¯, 2¯, 4¯}, {0¯, 3¯}, e Z6.
Por outro lado temos que os subaneis de Z/12Z são:
{0¯}, {0¯, 6¯}, {0¯, 3¯, 6¯, 9¯}, {0¯, 4¯, 8¯}, {0¯, 2¯, 4¯, 6¯, 8¯, 1¯0},Z/12Z.
[Obs. Para achar os subgrupos aditivos é importante observar queH ≤ (Z/6Z,+) ⇐⇒
H = 〈d¯〉 com d | 6 e que H ≤ (Z/12Z,+) ⇐⇒ H = 〈d¯〉 com d | 12.]
15) Deixado ao leitor.
16) Sejam (A,+, ·) um anel e a ∈ A. Considere I = {x ∈ A | xa = 0A}. Provamos
que I é um ideal a esquerda de A.
Antes teriamos que conferir que I é um subanel de A. Isso é deixado ao leitor
usando o criterio de subanel. Agora vamos conferir a propriedade de ser ideal a
esquerda. Temos que ∀y ∈ A e ∀x ∈ I vale o seguinte:
(yx)a = y(xa) = y0A = 0A e portanto yx ∈ I, ou seja I é ideal a esquerda de A.
Notamos que usamos, na primeira igualdade, a propriedade associativa do produto,
na segunda igualdade, o fato que x fosse um elemento de I e na última igualdade,
uma propriedade do elemento neutro 0A.
Notamos também que em geral I não é um ideal a direita (por que?).
17) Deixado ao leitor. Precisam mostrar que I + J e I · J são ideais a direita e a
esquerda (ao mesmo tempo) sabendo por hipótese que I e J são ideais (bilaterais)
de A.
18) Sejam (A,+, ·) um anel, I um ideal a esquerda de A e J um ideal a direita de A.
Vamos provar que I · J = {∑ni=1 xiyi | n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J} é um ideal (bilateral)
de A.
Precisamos antes provar que I ·J é um subanel de A. Usando o criterio de subanel
temos que:
5
• 0A ∈ I ·J , de fato temos que 0A0A = 0A e claramente 0A ∈ I e 0A ∈ J sendo
ambos subaneis por hipotese.
• ∀x, y ∈ I · J temos que x = ∑ni=1 xiyi e y = ∑ms=1wszs, assim temos que
x− y = ∑ni=1 xiyi − (∑ms=1wszs) ∈ I · J .
• ∀x, y ∈ I · J onde x = ∑ni=1 xiyi e y = ∑ms=1wszs temos que
xy = (x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn)(w1z1 + w2z2 + · · ·+ wmzm).
Usando as propiedades distributivas em A e observando que xiyiwszs =
xi(yiws)zs, temos que (usando que I é um ideal a esquerda) yiws ∈ I e
logo em particular que xiyiws ∈ I já que I é subanel, portanto cada termo
da forma xiyiwszs ∈ I · J , assim concluimos que xy ∈ I · J , como desejado.
Disso segue que I · J é subanel de A.
Agora vamos ver que I · J é um ideal a esquerda. Observamos que ∀a ∈ A e
∀x ∈ I · J onde x = ∑ni=1 xiyi temos que:
ax = a(
n∑
i=1
xiyi) =
n∑
i=1
axiyi ∈ I · J,
já que sendo I um ideal a esquerda os termos da forma axi estão todos em I.
Por outro lado vamos conferir que I · J é um ideal a direita. Observamos que
∀a ∈ A e ∀x ∈ I · J onde x = ∑ni=1 xiyi temos que:
xa = (
n∑
i=1
xiyi)a =
n∑
i=1
xiyia ∈ I · J,
já que sendo J um ideal a direita os termos da forma yia estão todos em J .
19) Deixado ao leitor.
20) Os aneis definidos em A) , B) e C) são comutativos.
O anel em A) não possui unidade. O anel em B) possui unidade que é 0. O anel
em C) possui unidade que é o elemento (1, 0). As contas são deixadas ao leitor.
21) Notamos que para os valores a = 1, b = c = −2, d = 6 temos que (Z, ∗,∆) é um
anel. De fato ,deixamos as contas ao leitor, mas observamos o seguinte:
• impondo ∀x, y ∈ Z x ∗ y = y ∗ x segue que a = 1;
• impondo que ∀x, y, z ∈ Z (x∆y)∆z = x∆(y∆z) segue que b = c e que
d = b2 − b;
• impondo que ∀x, y, z ∈ Z x∆(y ∗ z) = (x∆y) ∗ (x∆z) segue que
−2x = −2 + c2 + c
e como vale para todo x ∈ Z, em particular vale para x = 0, ou seja temos
que c = −2. Portanto concluimos que c = b = −2 e que d = b2 − b = 6.
É facil conferir que com os valores achados o anel (Z, ∗,∆) é comutativo e possui
unidade que é 3.
22) (a) Z é subanel de Q (confira!, contas deixadas ao leitor);
(b) Notamos que B = {x ∈ Q | x /∈ Z} não é um subanel por várias razões, por
exemplo 12 +
1
2 = 1 e assim a soma de elementos de B não sempre é um elemento de
B e também temos problemas com o produto já que por exemplo 23 · 32 = 1 e assim
o produto de elementos em B não sempre será um novo elemento em B.
(c) C = {ab ∈ Q | a, b ∈ Z e 2 | b} é subanel de Q (contas deixadas ao leitor).
6
23) Sim, L é subanel de R com as operações usuais de R (deixado ao leitor, use
criterio de subanel).
24) Notamos que L1, L2 e L3 são todos subaneis deM2(R) (contas deixadas ao leitor
usando o criterio de subanel). Mas L4 não é um subanel deM2(R) já que não sempre
o produto de dois elementosem L4 é também um elemento de L4, por exemplo veja
que (
0 1
2 3
)(
0 2
−1 1
)
=
( −1 1
−3 7
)
/∈ L4.

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