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Universidade de Brasília Departamento de Matemática – IE Álgebra 1 - Turma C Semana 10 – Lista de exercícios Temas abordados: Definição de dominio de integridade e corpo, exemplos. Subanéis, ideais (à esquerda e à direita, bileterais) 1) Seja p um número primo tal que p ≥ 2 e seja Z[√p] = {a + b√p : a, b ∈ Z}. Vamos definir uma soma e um produto em Z[√p] do seguinte modo: soma: (a + b√p) + (c + d√p) = (a + c) + (b + d)√p, a, b, c, d ∈ Z produto: (a + b√p) · (c + d√p) = (ac + pbd) + (bc + ad)√p, a, b, c, d ∈ Z Prove que (Z[√p],+, ·) é um domínio de integridade. 2) Seja p um número primo e seja Q[√p] = {a + b√p : a, b ∈ Q}. Defina soma e produto como acima e verifique que (Q[√p],+, ·) é um corpo. 3) Mostre que o anel C[0, 1] das funções reais contínuas definidas em [0, 1] possui divisores de zero. 4) Seja A um domínio de integridade e a, b, c ∈ A. Prove que, se a 6= 0 e ab = ac então b = c. 5) Seja D um domínio de integridade e seja a ∈ D, a 6= 0. Então prove que a função ϕα : D → D definida como x 7→ a · x, é injetiva. 6) Seja A = Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} onde i2 = −1 e a + bi = c + di ⇐⇒ a = c e b = d vamos definir + e · em A do seguinte modo para a, b, c, d ∈ Z: soma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i produto: (a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i Prove que (A = Z[i],+, ·) é um domínio de integridade e calcule todos os elementos de Z[i] que são invertíveis relativamente ao produto em Z[i]. 7) Seja A um anel, B um conjunto e f : B → A uma função bijetiva de B sobre A. Se para cada x, y ∈ B definimos x + y = f−1(f(x) + f(y)) e x · y = f−1(f(x) · f(y)) Então prove que: a) (B,+, ·) é um anel b) f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x · y) = f(x) · f(y), ∀x, y ∈ B 8) Seja {Bi}i∈N uma sequência de subanéis de um anel A. Prove que, B = ⋂ i∈NBi é também um subanel de A. 9) Seja {Bi}i∈N uma sequência de subanéis de um anel A. Prove que, se B0 ⊂ B1 ⊂ . . . ⊂ Bn ⊂ . . . então B = ⋃ i∈NBi é também um subanel de A. 10) Mostre que Z/3Z = {0, 1, 2} não é subanel de Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}. 11) Seja A um anel e a ∈ A. Prove que B = {x ∈ A : x · a = a · x} é um subanel de A. 12) Seja A um anel. Prove que Z(A) = {x ∈ A : x · y = y · x,∀y ∈ A} é um subanel (comutativo) de A (Z(A) é chamado o centro de A). 1 2 13) Seja A um anel e a ∈ A. Prove que B = {x ∈ A : x · a = 0} é um subanel de A. 14) Calcule todos os subanéis de Z/6Z e de Z/12Z. Sugestão: Determine todos os subgrupos de (Z/nZ) e verifique quais são fechados para a multiplicação. 15) Mostre que a interseção de ideais de um anel A é também um ideal de A. 16) Seja A um anel e a ∈ A. Prove que I = {x ∈ A : x ·a = 0} é um ideal à esquerda de A. 17) Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que: a) I + J = {x + y : x ∈ I, y ∈ J} é um ideal de A. b) I · J = {∑ni=1 xi · yi : n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J} é um ideal de A. 18) Seja I um ideal à esquerda e J um ideal à direita do anel A. Prove então que I · J é um ideal de A. 19) Prove que são anéis: a) O conjunto Z dotado da adição usual e a multiplicação definida como: ab = 0, ∀a, b ∈ Z. b) O conjunto Q com as operações ⊕ e � definidas como: x⊕ y = x + y − 1 e x� y = x + y − xy. c) O conjunto Z × Z em relação às operações definidas assim: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (ac, ad + bc). 20) Quais dos anéis do exercício anterior são comutativos? Quais tem unidade? Determine a unidade nos casos em que existem. 21) Consideremos as operações ∗ e ∆ em Z definidas por: x ∗ y = x + ay − 2 e x∆y = xy + bx + cy + d, onde a, b, c, d são números inteiros dados. Determine a, b, c, d de modo que (Z, ∗,∆) seja um anel. Para os valores obtidos de a, b, c, d, (Z, ∗,∆) é um anel comutativo com unidade? 22) Determine quais dos seguintes subconjuntos de Q são subanéis: a) Z b) B = {x ∈ Q : x /∈ Z} c) C = {ab ∈ Q : a, b ∈ Z; 2|b} 23) Verifique se L = {a + b√2 : a, b ∈ Q} é subanel do anel R. 24) Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de M2(R)? L1 = { ( a 0 b 0 ) | a, b ∈ R } L2 = { ( a b 0 c ) | a, b, c ∈ R } L3 = { ( a 0 0 b ) | a, b ∈ R } L4 = { ( 0 a c b ) | a, b, c ∈ R } Universidade de Brasília Departamento de Matemática – IE Álgebra 1 - Turma C Semana 10 – Soluções Temas abordados: Definição de dominio de integridade e corpo, exemplos. Subanéis, ideais (à esquerda e à direita, bileterais). 1) Seja p um primo tal que p ≥ 2. Definimos Z[ √ p] = {a+ b√p | a, b ∈ Z}. A prova que (Z[√p],+, ·) é um anel é deixada ao leitor (verifique que os axiomas de anel são satisfeitos). Vamos provar que (Z[√p],+, ·) é um dominio de integridade. Antes provamos que (Z[√p],+, ·) é um anel comutativo, de fato temos que ∀α, β ∈ Z[√p], onde α = a+ b√p e β = c+ d√p com a, b, c, d ∈ Z temos que: α · β = (a+ b√p) · (c+ d√p) = (ac+ pbd) + (bc+ ad)√p e também que β · α = (c+ d√p) · (a+ b√p) = (ca+ pdb) + (da+ cb)√p. Obviamente as duas expessões coincidem já que (Z,+, ·) é um anel comutativo. Notamos que (Z[√p],+, ·) possui o elemento unidade, de fato, se chamarmos esse elemento e1 + e2 √ p teriamos que ter, para todo a+ b√p ∈ Z[√p], que (e1 + e2 √ p) · (a+ b√p) = (e1a+ pe2b) + (e2a+ e1b)√p = a+ b√p, ou seja ao mesmo tempo que e1a+ pe2b = a e e2a+ e1b = b. Assim concluimos que o elemento unidade é 1 + 0√p. Agora provamos que (Z[√p],+, ·) não possui divisores de zero: Supondo que para α, β ∈ Z[√p] temos que 0 = 0 + 0 √ p = α · β. Notamos que Z[√p] ⊆ R e que as operações definidas em Z[√p] são as usuais ope- rações de soma e produto em R. Além disso (R,+, ·) não possui divisores de zero, portanto dizer 0 = α · β implica necessariamente que ou α = 0 ou que β = 0, já que em caso contrario teriamos achado divisores de zero em (R,+, ·) o que seria um absurdo! Isso conclui a prova que (Z[√p],+, ·) é um dominio de integridade. 2) Seja Q[√p] = {a+b√p | a, b ∈ Q}. Observamos que Q[√p] ⊆ R e que as operações de + e · são de fato as operações usuais definidas em (R,+, ·) (confira!). Como (R,+, ·) é um domínio de integridade, então também (Q[√p],+, ·) o é. Para ver que (Q[√p],+, ·) é um corpo temos só que conferir que todo elemento α ∈ Q[√p] \ {0} é invertível em Q[√p]. Seja α = a + b√p, com a, b ∈ Q. Notamos que o elemento a − b√p ∈ R e que a − b√p 6= 0. Como R é um corpo existe o elemento inverso de 1 2 a− b√p em R que é 1a−b√p . Assim temos que (note que tudo o que vamos escrever agora faz sentido em R): 1 = (a+ b √ p) · (a− b√p) (a− b√p) · (a+ b√p) = (a+ b √ p) · a− b √ p a2 − pb2 e notamos que a− b√p a2 − pb2 = a a2 − pb2 − b a2 − pb2 √ p ∈ Q√p \ {0}. Assim segue que (Q[√p],+, ·) é um corpo. 3) Deixado ao leitor. 4) Suponha que (A,+, ·) é um dominio de integridade. Sejam a, b, c ∈ A com a 6= 0A e ab = ac. Provamos que b = c, ou seja que a lei de cancelamento vale dentro de um dominio de integridade. Prova: Dado que ab = ac, então temos que 0A = ab − ac = a(b − c). Como A é dominio de integridade então ou a = 0A ou b− c = 0A mas a primeira não é possível já que por hipótese temos que a 6= 0A, assim temos necessariamente que b− c = 0A, ou seja que b = c como desejado. 5) Seja (D,+, ·) um domínio de integridade e fixamos a ∈ D \ {0D}. Definimos: ϕa : D → D x 7→ ax ∀x ∈ D Provamos que ϕa é injetiva. Sejam x, y ∈ D tais que ϕa(x) = ϕa(y), então temos que ax = ay, mas como D é dominio de integridade e a 6= 0D, pelo Ex. 4 temos que x = y. Portanto ϕa é injetiva, como queriamos. 6) Deixado ao leitor conferir que (Z[i],+, ·) é um dominio de integridade. Notamos que se a+ bi 6= 0Z[i] é invertivel então existe outro elemento c+ di 6= 0Z[i] tal que : 1 + 0i = (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i, e portanto teriamos ao mesmo tempo que ad + bc = 0 e que ac − bd = 1. Confira que isso implica que os únicos elementos invertíveis são {1,−1, i,−i}. 7) Vamos provar o item (a). Nota que (A,+, ·) é um anel e usaremos issona prova. Notamos que: • ∀x, y, z ∈ B temos que (x+ y) + z = f−1(f(x+ y) + f(z)) = f−1(f(f−1(f(x) + f(y))) + f(z)) = f−1((f(x) + f(y)) + f(z)) = f−1(f(x) + (f(y) + f(z))) = f−1(f(x) + f(f−1(f(y) + f(z)))) = f−1(f(x) + f(y + z)) = x+ (y + z) • ∀x, y ∈ B temos que x+ y = f−1(f(x) + f(y)) = f−1(f(y) + f(x)) = y + x. • existe um elemento neutro em B com respeito a +. Chamando esse elemento 0B teríamos que ∀x ∈ B: 3 f−1(f(x)) = x = x+ 0B = f−1(f(x) + f(0B)), e como f−1 é bijetiva já que f o é teriamos que f(x) = f(x) + f(0B) e pela unicidade do elemento neutro com respeito a + em A temos que f(0B) = 0A. Assim temos que 0B = f−1(0A). • para todo x ∈ B existe o elemento oposto com respeito a + já que chamando esse elemento de z teríamos f−1(0A) = 0B = x+ z = f−1(f(x) + f(z)), que implica 0A = f(x) + f(z) e pela unicidade do elemento oposto com respeito a + em A temos que f(z) é o elemento oposto de f(x) em A, o indicamos com f(z) = −f(x). Assim agora temos que o elemento oposto de x existe e é z = f−1(f(z)) = f−1(−f(x)). Isso prova que (B,+) é um grupo abeliano. Agora notamos que: • ∀x, y, z ∈ B temos (x · y) · z = f−1(f(x · y) · f(z)) = f−1(f(f−1(f(x) · f(y)) · f(z)) = f−1((f(x) · f(y)) · f(z)) = f−1(f(x) · (f(y) · f(z))) = f−1(f(x) · f(f−1(f(y) · f(z)))) = f−1(f(x) · f(y · z)) = x · (y · z) • ∀x, y, z ∈ B temos x · (y + z) = f−1(f(x) · f(y + z)) = f−1(f(x) · f(f−1(f(y) + f(z)))) = f−1(f(x) · (f(y) + f(z))) = f−1((f(x) · f(y)) + (f(x) · f(z))) = f−1(f(f−1(f(x) · f(y))) + f(f−1(f(x) · f(z)))) = f−1(f(x · y) + f(x · z)) = (x · y) + (x · z) Note que a igualdade (x + y) · z = (x · z) + (y · z) pode ser provada de forma análoga (confira!). Isso prova que (B,+, ·) é um anel. O item (b) é deixado ao leitor. 8) Seja {Bi}i∈N = {B1, B2, B3, . . .} uma sequência de subaneis de um anel (A,+, ·). Vamos provar que B = ∩i∈NBi é um subanel de A. Prova: usando o criterio de subaneis observamos as seguintes coisas: • 0A ∈ B, de fato temos que 0A ∈ Bi ∀i ∈ N já que todos os Bi da sequência são subaneis e portanto 0A está na interseção deles, ou seja em B. • ∀x, y ∈ B temos que x, y ∈ Bi ∀i ∈ N e portanto x− y ∈ Bi ∀i ∈ N (sempre porque todos os Bi da sequência são subaneis). Disso segue que x − y está na interseção deles, ou seja temos que x− y ∈ B. 4 • ∀x, y ∈ B temos que x, y ∈ Bi ∀i ∈ N e assim que xy ∈ Bi ∀i ∈ N (todos os Bi da sequência são subaneis). Disso segue que xy está na interseção deles, ou seja temos que xy ∈ B. Concluimos que B é subanel de A. 9) Deixado ao leitor. 10) Seja Z/5Z = {0¯, 1¯, 2¯, 3¯, 4¯} e seja B = {0¯, 1¯, 2¯}. Notamos que B não é subanel de Z/5Z já que o produto de dois elementos de B não sempre pertence a B, por exemplo, 2¯ · 2¯ = 4¯ /∈ B, e o mesmo problema também existe pela soma, por exemplo 1¯ + 2¯ = 3¯ /∈ B, ou seja B não é nem um subgrupo aditivo de Z/5Z!!. 11) Sejam (A,+, ·) um anel e a ∈ A. Vamos provar que o conjunto B = {x ∈ A | xa = ax} é um subanel de A. Usamos o criterio de subanel e notamos as seguintes coisas: • 0A ∈ B, de fato temos que 0Aa = 0A = a0A. • ∀x, y ∈ B temos que (x − y)a = xa − ya = ax − ay = a(x − y) (Note que usamos as propiedades distributivas do anel A e o fato de x, y serem elementos de B), ou seja temos que x− y ∈ B. • ∀x, y ∈ B temos que xya = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y = axy e portanto xy ∈ B. Disso segue que B é subanel de A. 11), 12) e 13) Deixados ao leitor (use o criterio de subanel.) 14) Observe que podemos, primeiro, considerar todos os subgrupos aditivos e logo olhamos se são fechados com respeito ao produto. Notamos que os subaneis de Z/6Z são {0¯}, {0¯, 2¯, 4¯}, {0¯, 3¯}, e Z6. Por outro lado temos que os subaneis de Z/12Z são: {0¯}, {0¯, 6¯}, {0¯, 3¯, 6¯, 9¯}, {0¯, 4¯, 8¯}, {0¯, 2¯, 4¯, 6¯, 8¯, 1¯0},Z/12Z. [Obs. Para achar os subgrupos aditivos é importante observar queH ≤ (Z/6Z,+) ⇐⇒ H = 〈d¯〉 com d | 6 e que H ≤ (Z/12Z,+) ⇐⇒ H = 〈d¯〉 com d | 12.] 15) Deixado ao leitor. 16) Sejam (A,+, ·) um anel e a ∈ A. Considere I = {x ∈ A | xa = 0A}. Provamos que I é um ideal a esquerda de A. Antes teriamos que conferir que I é um subanel de A. Isso é deixado ao leitor usando o criterio de subanel. Agora vamos conferir a propriedade de ser ideal a esquerda. Temos que ∀y ∈ A e ∀x ∈ I vale o seguinte: (yx)a = y(xa) = y0A = 0A e portanto yx ∈ I, ou seja I é ideal a esquerda de A. Notamos que usamos, na primeira igualdade, a propriedade associativa do produto, na segunda igualdade, o fato que x fosse um elemento de I e na última igualdade, uma propriedade do elemento neutro 0A. Notamos também que em geral I não é um ideal a direita (por que?). 17) Deixado ao leitor. Precisam mostrar que I + J e I · J são ideais a direita e a esquerda (ao mesmo tempo) sabendo por hipótese que I e J são ideais (bilaterais) de A. 18) Sejam (A,+, ·) um anel, I um ideal a esquerda de A e J um ideal a direita de A. Vamos provar que I · J = {∑ni=1 xiyi | n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J} é um ideal (bilateral) de A. Precisamos antes provar que I ·J é um subanel de A. Usando o criterio de subanel temos que: 5 • 0A ∈ I ·J , de fato temos que 0A0A = 0A e claramente 0A ∈ I e 0A ∈ J sendo ambos subaneis por hipotese. • ∀x, y ∈ I · J temos que x = ∑ni=1 xiyi e y = ∑ms=1wszs, assim temos que x− y = ∑ni=1 xiyi − (∑ms=1wszs) ∈ I · J . • ∀x, y ∈ I · J onde x = ∑ni=1 xiyi e y = ∑ms=1wszs temos que xy = (x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn)(w1z1 + w2z2 + · · ·+ wmzm). Usando as propiedades distributivas em A e observando que xiyiwszs = xi(yiws)zs, temos que (usando que I é um ideal a esquerda) yiws ∈ I e logo em particular que xiyiws ∈ I já que I é subanel, portanto cada termo da forma xiyiwszs ∈ I · J , assim concluimos que xy ∈ I · J , como desejado. Disso segue que I · J é subanel de A. Agora vamos ver que I · J é um ideal a esquerda. Observamos que ∀a ∈ A e ∀x ∈ I · J onde x = ∑ni=1 xiyi temos que: ax = a( n∑ i=1 xiyi) = n∑ i=1 axiyi ∈ I · J, já que sendo I um ideal a esquerda os termos da forma axi estão todos em I. Por outro lado vamos conferir que I · J é um ideal a direita. Observamos que ∀a ∈ A e ∀x ∈ I · J onde x = ∑ni=1 xiyi temos que: xa = ( n∑ i=1 xiyi)a = n∑ i=1 xiyia ∈ I · J, já que sendo J um ideal a direita os termos da forma yia estão todos em J . 19) Deixado ao leitor. 20) Os aneis definidos em A) , B) e C) são comutativos. O anel em A) não possui unidade. O anel em B) possui unidade que é 0. O anel em C) possui unidade que é o elemento (1, 0). As contas são deixadas ao leitor. 21) Notamos que para os valores a = 1, b = c = −2, d = 6 temos que (Z, ∗,∆) é um anel. De fato ,deixamos as contas ao leitor, mas observamos o seguinte: • impondo ∀x, y ∈ Z x ∗ y = y ∗ x segue que a = 1; • impondo que ∀x, y, z ∈ Z (x∆y)∆z = x∆(y∆z) segue que b = c e que d = b2 − b; • impondo que ∀x, y, z ∈ Z x∆(y ∗ z) = (x∆y) ∗ (x∆z) segue que −2x = −2 + c2 + c e como vale para todo x ∈ Z, em particular vale para x = 0, ou seja temos que c = −2. Portanto concluimos que c = b = −2 e que d = b2 − b = 6. É facil conferir que com os valores achados o anel (Z, ∗,∆) é comutativo e possui unidade que é 3. 22) (a) Z é subanel de Q (confira!, contas deixadas ao leitor); (b) Notamos que B = {x ∈ Q | x /∈ Z} não é um subanel por várias razões, por exemplo 12 + 1 2 = 1 e assim a soma de elementos de B não sempre é um elemento de B e também temos problemas com o produto já que por exemplo 23 · 32 = 1 e assim o produto de elementos em B não sempre será um novo elemento em B. (c) C = {ab ∈ Q | a, b ∈ Z e 2 | b} é subanel de Q (contas deixadas ao leitor). 6 23) Sim, L é subanel de R com as operações usuais de R (deixado ao leitor, use criterio de subanel). 24) Notamos que L1, L2 e L3 são todos subaneis deM2(R) (contas deixadas ao leitor usando o criterio de subanel). Mas L4 não é um subanel deM2(R) já que não sempre o produto de dois elementosem L4 é também um elemento de L4, por exemplo veja que ( 0 1 2 3 )( 0 2 −1 1 ) = ( −1 1 −3 7 ) /∈ L4.
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