Lista de exercicios - Grupos alternados An. Teorema de Lagrange e consequências. Definição de anel, anel comutativo. Exemplos.

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 9 – Soluc¸o˜es
Temas abordados: Grupos alternantes An, Teorema de Lagrange e consequeˆncias,
definic¸a˜o de anel e exemplos.
1) Descreva explicitamente todas as permutac¸o˜es de A4. Depois, descreva todos os
subgrupos de A4 e verifique que Z(A4) = {e}.
Vamos descrever todas as permutac¸o˜es de A4. Sabemos que |A4| = 4!2 = 12.
Sendo assim, temos os seguintes elementos (todas as permutac¸o˜es pares em S4):
A4 =
{
e =
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
, a1 =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
, a2 =
(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
,
a3 =
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
, a4 =
(
1 2 3 4
1 3 4 2
)
, a5 =
(
1 2 3 4
1 4 2 3
)
,
a6 =
(
1 2 3 4
3 2 4 1
)
, a7 =
(
1 2 3 4
4 2 1 3
)
, a8 =
(
1 2 3 4
2 4 3 1
)
,
a9 =
(
1 2 3 4
4 1 3 2
)
, a10 =
(
1 2 3 4
2 3 1 4
)
, a11 =
(
1 2 3 4
3 1 2 4
)}
Vamos visualizar a estrutura de subgrupos de A4:
A4
〈a10〉〈a6〉 〈a8〉 V4 = 〈a2, a3〉
〈a4〉
〈a1〉
〈a2〉
〈a3〉
{e}
Temos os seguintes subgrupos:
〈e〉 = {e};
〈a1〉 = {e, a1}, 〈a2〉 = {e, a2}, 〈a3〉 = {e, a3};
1
2
V4 = 〈a2, a3〉 = {e, a1, a2, a3};
〈a4〉 = {e, a4, a5}, 〈a6〉 = {e, a6, a7}, 〈a8〉 = {e, a8, a9}, 〈a10〉 = {e, a10, a11}, e
A4
Note que na˜o existe um subgrupo de ordem 6.
2) Sejam G um grupo e H < G tal que [G : H] = 2. Prove que Hx = xH ∀x ∈ G.
Prova: Notamos que se x ∈ H, enta˜o xH = H = Hx. Se x /∈ H, enta˜o temos
que Hx 6= H e tambe´m que xH 6= H. Como [G : H] = 2, sabemos que H possui
duas classes laterais a` direita e duas classes laterais a` esquerda em G. Lembrando
que G =
⋃
x∈GHx =
⋃
x∈G xH e que as classes laterais sa˜o classes de equivaleˆncia,
temos que, se x /∈ H, enta˜o Hx = G \H e xH = G \H. Portanto Hx = xH, como
queriamos.
3) Temos que |H| = 4.
4) Temos que |H| = 25.
5) Seja (A,+, ·) um anel e seja 0A o elemento neutro com respeito a` soma de A.
(a) Temos que ∀x ∈ A, x · 0A = x · (0A + 0A) = x · 0A + x · 0A e, pela unicidade
do elemento neutro com respeito a +, temos que x · 0A = 0A.
Tambe´m temos que 0A · x = (0A + 0A) · x = 0A · x + 0A · x e, novamente pela
unicidade do elemento neutro com respeito a +, temos que 0A · x = 0A.
(b) Notamos que ∀x, y ∈ A temos que 0A = 0A ·y = (x+(−x)) ·y = x ·y+(−x) ·y,
e pela unicidade do elemento oposto temos que (−x) ·y = −(x ·y). De forma ana´loga
se prova a outra igualdade, considerando que 0A = x · 0A = x · (y + (−y) = ...
Os demais itens sa˜o deixados para o leitor provar, usando os axiomas de anel e
as igualdades obtidas em (a) e (b).
6) E´ poss´ıvel provar todas as igualdades por induc¸a˜o sobre n ≥ 1 [em (b) sobre
m ≥ 1]. Contas deixadas ao leitor. Vamos provar a letra (a).
Tome n = 1. Enta˜o xm+1 = xm · x por definic¸a˜o. Agora, a hipo´tese indutiva diz
que:
xm+n = xm · xn.
Vamos provar que a equac¸a˜o acima vale para n + 1. Temos que
xmx(n+1) = xm · (xn · x) = (xm · xn) · x = xm+n · x = xm+n+1,
como quer´ıamos demonstrar. Os outros exerc´ıcios ficam para o leitor.
7) Item (a) deixado ao leitor (vamos ver em aula).
8) Notamos que o conjunto considerado com as operac¸o˜es definidas na˜o e´ um anel
ja´ que temos, ∀f, g, h ∈ F(R)
((f · (g + h))(x) = f(g(x) + h(x)) e ((f · g) + (f · h))(x) = f(g(x)) + f(h(x))
e obviamente essas duas expresso˜es na˜o coincidem para quaisquer f, g, h ∈ F(R).
De fato, pegue por exemplo f(x) = sinx, g(x) = x = h(x). Temos que sin(x + x) 6=
sinx + sinx.
9) No item (a), as contas sa˜o deixadas ao leitor, mas sa˜o parecidas com as feitas
nos exerc´ıcios 11 e 12. Para o item (b), notamos que o elemento zero (neutro com
respeito a ⊕) e´ o elemento oposto de 1 em (A,+, ·), que iremos chamar de −1.
Ja´ para o item (c), o anel (A,⊕,�) possui elemento neutro com respeito a � (o
elemento unidade) que e´ o elemento 0A, o elemento neutro com respeito a + em
(A,+, ·).
3
10) Exerc´ıcio similar ao ex 11. Contas deixadas ao leitor.
11) Considere Q com as duas operac¸o˜es:
x ∗ y = x + y − 3, e x∆y = x + y − xy
3
, ∀x, y ∈ Q.
Provaremos que (Q, ∗,∆) e´ um anel.
Prova: note que (Q,+, ·) e´ um anel comutativo com unidade, porque usaremos
essa informac¸a˜o na prova. Temos que:
• ∀x, y, z ∈ Q,
(x ∗ y) ∗ z = (x + y − 3) ∗ z = x + y − 3 + z − 3 = x + (y + z − 3)− 3 = x ∗ (y ∗ z);
• ∀x, y ∈ Q,
x ∗ y = x + y − 3 = y + x− 3 = y ∗ x;
• ∀x ∈ Q existe um elemento neutro com respeito a ∗. De fato, chamando de e
esse elemento, ter´ıamos (x ∗ e) = x+ e− 3 = x. Como 0 e´ o elemento neutro
com respeito a + em (Q,+, ·), temos que e − 3 = 0 e, assim, o elemento
neutro com respeito a ∗ e´ 3.
• ∀x ∈ Q existe um elemento oposto com respeito a ∗. De fato, chamando de
b o elemento oposto de x, ter´ıamos (x∗ b) = x+ b−3 = 3, ou seja, b = 6−x,
ja´ que em (Q,+, ·) existe o elemento oposto de x com respeito a +. Segue
que o oposto de x com respeito a ∗ e´ 6− x.
Isso prova que (Q, ∗) e´ um grupo abeliano. Agora note que:
• ∀x, y, z ∈ Q,
(x∆y)∆z = (x+y−xy
3
)+z−(x + y −
xy
3 )z
3
= x+(y+z−yz
3
)−x(y + z −
yz
3 )
3
= x∆(y∆z);
• ∀x, y, z ∈ Q,
x∆(y∗z) = x+(y+z−3)−x(y + z − 3)
3
= (x+y−xy
3
)+(x+z−xz
3
)−3 = (x∆y)∗(x∆z).
E´ poss´ıvel provar de forma ana´loga que
(x ∗ y)∆z = (x∆z) ∗ (y∆z).
Isso conclui a prova que (Q, ∗,∆) e´ um anel. Ale´m disso temos que:
• ∀x, y ∈ Q
x∆y = x + y − xy
3
= y + x− yx
3
= y∆x,
ou seja que (Q, ∗,∆) e´ um anel comutativo, e
• existe a unidade com respeito a ∆. De fato, chamando de e esse elemento,
para todo x ∈ Q teriamos (x∆e) = x + e − xe3 = x, ou seja e − xe3 = 0 ⇒
e(3− x) = 0. Segue que o elemento unidade com respeito a ∆ e´ 0.
Portanto (Q, ∗,∆) e´ um anel comutativo com unidade.
12) Seja A = {a, b, c, d}. Sabendo que (A,+, ·) e´ um anel e que 0A = a e 1A = b e
b + b = a, c + c = a, c · d = a,
temos que
4
+ a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
· a b c d
a a a a a
b a b c d
c a c c a
d a d a d
13) Seja (A,+, ·) um anel tal que x2 = x ∀x ∈ A. Mostramos que x = −x ∀x ∈ A
Prova: Note que, ∀x ∈ A temos:
x + x = (x + x)2 = (x + x) · (x + x)
= x2 + x2 + x2 + x2 = (x + x) + (x + x).
Assim, pela unicidade do elemento neutro 0A com respeito a` soma, temos que
x + x = 0A e, portanto, pela unicidade do elemento oposto com respeito a` soma,
segue que x = −x.
14) Seja (A,+, ·) um anel tal que x2 = x ∀x ∈ A. Prove que A e´ comutativo.
Prova: ∀x, y ∈ A temos que:
x + y = (x + y)2 = (x + y) · (x + y) = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y,
assim segue que xy + yx = 0A ou seja que xy = −yx. Agora, pelo ex. 14 temos
que yx = −yx e, portanto, conclu´ımos que xy = yx∀x, y ∈ A, ou seja, que A e´
comutativo.