Variavel Aleatoria Discreta

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ESTATÍSTICA 
AULA 12: VARIÁVEL ALEATÓRIAS DISCRETAS 
Estatística 
 Analisar o conceito da distribuição de 
probabilidade de uma variável aleatória 
discreta; 
 
 Calcular a esperança matemática; 
 
 Identificar o modelo binomial e encontrar 
probabilidades associadas a tal modelo; 
 
 Identificar o modelo Poisson e encontrar 
probabilidades associadas a tal modelo. 
 
AULA 12: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
Estatística 
Estrutura de Conteúdo 
Estatística 
Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado 
(valor) depende de fatores aleatórios. A palavra “aleatória” 
aparece para indicar que, a cada possível valor da variável, 
atribuímos uma probabilidade de ocorrência. 
 
Uma variável aleatória X representa um valor numérico associado 
a cada um dos resultados de um experimento aleatório. 
Matematicamente, variável aleatória é uma função que associa 
elementos de um espaço amostral a valores numéricos. 
 
Existem dois tipos de variáveis aleatórias: as discretas e as 
continuas. 
 
As variáveis aleatórias discretas assumem valores em um 
conjunto enumerável e as variáveis aleatórias contínuas 
assumem valores em qualquer intervalo dos números reais. 
Variável Aleatória 
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Estatística 
Variáveis discretas podem assumir apenas determinados valores, e resultam de uma contagem, 
como, por exemplo: 
• Quantidade de valores de uma moeda: 1;5;10;50;100 
• Quantidade de sabores de refresco: tangerina, laranja, maracujá... 
 
As variáveis contínuas são aquelas cujo conjunto de valores possíveis é um intervalo de números 
reais, resultante de uma medição em qualquer grau de precisão, como ,por exemplo: 
• Duração de uma bateria de telefone celular: 60h, 46h 37min 12s ou 39h 13min 
(dependendo do tipo de bateria ou da sua utilização). 
 
Variável Aleatória 
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Estatística 
Se uma variável aleatória X pode assumir um conjunto discreto de valores x1, x2, ..., xn, com 
probabilidades p1, p2, ..., pn, respectivamente sendo p1 + p2 + .... + pn = 1, diz-se que está definida uma 
distribuição de probabilidade discreta de x. 
 
Suponhamos a experiência aleatória de lançar duas moedas simultaneamente. O espaço amostral é: S 
= {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} 
 
Se definirmos a variável aleatória discreta “Total de Faces Caras”, a distribuição de probabilidades 
desta variável consiste no conjunto de valores possíveis que ela pode assumir e suas probabilidades 
associadas, ou seja: 
 X 0 1 2 
 __________________, onde Σ f(xi) = 1 
F(x) 1/4 2/4 1/4 
 
A função f(x), que assume os valores p1, p2, ..., pn, é chamada de função de densidade de 
probabilidade, ou simplesmente função de probabilidade da variável x. 
Distribuição de Probabilidade Discreta 
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Estatística 
O conceito de esperança matemática surgiu de jogos de azar. 
 
Se X representa uma variável aleatória discreta, assumindo 
valores x1, x2, ..., xn, com probabilidades p1, p2, ..., pn, 
respectivamente sendo p1 + p2 + .... + pn = 1, a esperança 
matemática é definida por: 
E(x) = p1x1+ p2x2 + ... + pnxn = Σ pixi 
 
Para ilustrar a aplicação do conceito acima, vejamos o 
seguinte exemplo: a probabilidade da empresa alfa ganhar 
uma concorrência é 3/5. Na hipótese de perder a 
concorrência, ela terá um prejuízo de R$100.000,00. No caso 
de vencer, ela terá um lucro de R$1.000,000,00. A esperança 
matemática da empresa será: 
E(x) = (1.000.000,00) (3/5) + (-100.00,00) 92/5) = 560.000,00 
 
 
Esperança Matemática de uma Variável Aleatória Discreta 
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Estatística 
Seja p a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa 
única (sucesso) e q = 1 – p é a de que o evento não ocorra em 
qualquer tentativa única (insucesso). Então, a probabilidade do 
evento ocorrer exatamente X vezes, em N tentativas é dado por: 
 
 ( N ) ( N ) 
 P (X = K) = ( ) pK . qn – K , sendo ( ) , 
 ( K ) ( K ) 
 
Denominado número binomial e é obtido pela fórmula: 
n! / {(K! (n – K!)} 
 
Esse número indica o número de maneiras de obter k sucessos 
em n tentativas, independentemente da ordem. 
Modelo Binomial 
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Estatística 
Para a identificação de uma distribuição binomial, tornam-se necessárias as seguintes características: 
 
• Uma experiência que consiste em um número finito de tentativas repetidas, cada uma das quais 
tendo apenas dois resultados (sucesso e insucesso); 
• As tentativas repetidas são independentes, isto é, o resultado de uma não afeta os resultados das 
sucessivas; 
• As probabilidades do sucesso e do insucesso são conhecidas e não se modificam durante a 
experiência. 
 
Para ilustrar o exemplo acima, vejamos a seguinte situação: a empresa Beta produziu um lote de 
peças do produto X. Considerando que a probabilidade da peça ser perfeita e com defeito é a mesma. 
Ao se retirar seis peças para inspeção, qual a probabilidade de obter exatamente duas dessas peças 
com defeito? 
Nesse caso, K = 2 e N = 6, então: P(X = K) = {6! / (2!) (6 – 2)!} {(1/2)6 (1/26 – 4) = 0,0146 
Modelo Binomial 
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Estatística 
A distribuição de Poisson é aplicada a fenômenos raros e é frequentemente usada para modelar o 
número de ocorrências de um evento por um certo período de tempo. 
 
Podemos considerar, por exemplo, número de chamadas recebidas por uma central telefônica durante 
um período de uma hora. 
 
Na situação descrita, a variável aleatória consiste na contagem de resultados discretos que ocorrem 
em um meio contínuo (tempo, superfície ou volume). Essas variáveis podem assumir os valores 0, 1, 2, 
..., e seu comportamento é descrito pela distribuição de Poisson, cuja função distribuição de 
probabilidade é: 
 P (X = K) = Eλ λK / K! 
 
O símbolo λ é a letra grega lambda, que é usada como parâmetro para a chamada distribuição de 
Poisson e a letra e é um número matemático especial aproximadamente igual a 2,71828. 
Modelo de Poisson 
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CONTEÚDO DA PRÓXIMA AULA 
Conceitos básicos de Testes de Hipóteses; 
Comparação entre duas médias.