Aula 14 Teste de Hipótese –Parte 2

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Aula 14: Teste de Hipótese – Parte 2 
ESTATÍSTICA 
Estatística 
AULA 14: TESTE DE HIPÓTESE – PARTE 2 
• Entender a aplicabilidade de trabalhar 
com amostras com variâncias 
desconhecidas e conhecidas. 
Estrutura de Conteúdo 
Estatística 
AULA 14: TESTE DE HIPÓTESE – PARTE 2 
Recomenda-se que, antes da realização de qualquer teste de hipótese, algumas condições 
referentes aos dados sejam satisfeitas, a saber: 
 
• σ1 e σ2 são desconhecidos e não se faz qualquer suposição sobre igualdade de σ1 e σ2; 
• As duas amostras são independentes; 
• Ambas as amostras são amostras aleatórias simples. 
Uma, ou ambas, das seguintes condições é satisfeita: 
 
• Os dois tamanhos amostrais são grandes (com n1 > 30 e n2 > 30); ou 
• Ambas as amostras provêm de populações com distribuições normais. 
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Estatística 
AULA 14: TESTE DE HIPÓTESE – PARTE 2 
Para a realização do teste de hipótese, alguns procedimentos devem ser observados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No uso deste teste, é necessário verificar se as variâncias das duas amostras são iguais. Um dos 
procedimentos recomendados é usar um teste preliminar de σ1 = σ2. Alguns autores destacam que 
dificilmente sabemos que σ1 = σ2. 
• Identificar H0 e H1; 
• Especificar o nível de significância (α); 
• Determinar a estatística de teste, utilizando a seguinte fórmula: 
 
 t = ((X1 – X2) – (μ1 – μ2)) / (Ѵ(S1
2 /n1) + Ѵ(S2
2 /n2)) 
• Determinar o número de graus de liberdade: menor de n1 – 1 e n2 – 1; 
• Determinar os valores críticos na Tabela t de Student; 
• Conclusão: se t estiver na região de rejeição, rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0. 
Amostras Independentes com Variâncias Desconhecidas e Diferentes 
Estatística 
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Vejamos um exemplo para ilustrar a teoria apresentada anteriormente. 
 
A universidade Alpha desenvolveu uma nova modalidade de ensino para o curso de Administração 
chamado de Flex (80% das disciplinas online e 20% presenciais). Para verificar a eficiência do 
curso, foram selecionados 31 alunos que fizeram o curso na modalidade presencial e 31 da 
modalidade Flex. Os resultados do teste aplicado aos alunos dos dois grupos foram: 
 
 
 
 
 
Usando α = 0,05, existem evidências de que as duas modalidades de curso apresentam 
resultados diferentes em termos de desempenho? 
 
• O Modalidade presencial X1 = 6,61; S1
2 = 3,52 e desvio padrão amostral 1,87; 
• Modalidade Flex: X2 = 6,13; S2
2 = 3,45 e desvio padrão amostral 1,86. 
Amostras Independentes com Variâncias Desconhecidas e Diferentes 
Estatística 
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Para responder o questionamento, vamos considerar as seguintes hipóteses: 
H0 : μ1 = μ2 e H0 : μ1 ≠ μ2 
Considerando o nível de significância α = 0,05, podemos calcular a estatística do teste: 
 t = ((X1 – X2) – (μ1 – μ2)) / (Ѵ(S1
2 /n1) + Ѵ(S2
2 /n2)) 
Como os dois tamanhos da amostra são iguais, o número de graus de liberdade é o menor entre n1 
– 1 e n2 – 1, teremos, então, 31 – 1 = 30. 
O passo seguinte é o uso da Tabela de Valores Críticos da distribuição t de Student. Procurando na 
tabela a linha correspondente ao grau de liberdade 30 e a coluna referente a α = 0,05, teremos o 
valor t = 2,042. 
Como o teste é bilateral, devemos rejeitar H0 se t < - tc ou t > - tc. Como t = 1,01, a estatística de 
teste não se encontra na área de rejeição. Os valores encontrados nos permitem concluir em não 
rejeitar H0, pois os dados amostrais não fornecem evidências suficientes para apoiar a afirmativa 
de que os cursos presencial e Flex apresentam resultados diferentes de desempenho. 
Amostras Independentes com Variâncias Desconhecidas e Diferentes 
Estatística 
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No caso em que as variâncias populacionais não forem conhecidas, é possível supor que tenham o 
mesmo valor, e, nesse caso, ambas são utilizadas para se estimar σ2. 
 
Para combinar essas duas estimativas, recomenda-se formar uma média ponderada. O estimador 
resultante de σ2 é obtido a partir do seguinte cálculo: 
 
Sp
2 = ((n1 -1) S1
2 + (n2 -1) S2
2) / (n1 + n2 – 2) 
 
Os autores recomendam que sejam seguidos os seguintes requisitos para a realização do teste: 
• Se os dois desvios padrões populacionais não são conhecidos, mas considera-se que sejam 
iguais, ou seja; σ1 = σ2; 
• As duas amostras são independentes; 
• Se as amostras são amostras aleatórias simples; 
• Se pelo menos uma das duas condições seguintes são satisfeitas: 
 - Os dois tamanhos amostrais são grandes (com n1 > 30 e n2 > 30); ou 
 - Ambas as amostras provêm de populações com distribuições normais. 
Amostras Independentes com Variâncias Desconhecidas e Iguais 
Estatística 
AULA 14: TESTE DE HIPÓTESE – PARTE 2 
Para a realização do teste de hipótese, as seguintes etapas devem ser seguidas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No uso desse teste, é necessário verificar se as variâncias das duas amostras 
são iguais. Um dos procedimentos recomendados é usar um teste preliminar de σ1 = σ2. Alguns 
autores destacam que dificilmente sabemos que σ1 = σ2. 
• Identificar H0 e H1; 
• Especificar o nível de significância (α); 
• Calcular estatisticamente o teste: 
 
 t = ((X1 – X2) – (μ1 – μ2)) / (Sp Ѵ (1 / n1 + 1 / n2)) 
• Determinar o número de graus de liberdade: n1 + n2 – 2; 
• Conclusão: se t estiver na região de rejeição, rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0. 
Amostras Independentes com Variâncias Desconhecidas e Iguais 
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AULA 14: TESTE DE HIPÓTESE – PARTE 2 
As variâncias populacionais σ1 e σ2 dificilmente são conhecidas, mas caso sejam, a 
estatística de teste irá se basear na distribuição normal. 
 
Antes da realização do teste é necessário verificar as seguintes condições: 
• Se os dois desvios padrões populacionais são conhecidos; 
• As duas amostras são independentes; 
• Se as amostras são amostras aleatórias simples; 
• Se pelo menos uma das duas condições seguintes são satisfeitas: 
 - Os dois tamanhos amostrais são grandes (com n1 > 30 e n2 > 30); ou 
 - Ambas as amostras provêm de populações com distribuições normais. 
Amostras Independentes com Variâncias Conhecidas 
Estatística 
AULA 14: TESTE DE HIPÓTESE – PARTE 2 
Para a realização do teste de hipótese, as seguintes etapas devem ser seguidas: 
• Identificar H0 e H1; 
• Especificar o nível de significância (α); 
• Calcular a estatística de teste: 
 
 Z = ((X1 – X2) – (μ1 – μ2)) / Ѵ((σ1
2 / n1) + (σ2
2 / n2)) 
• Usar a tabela de Valores críticos da distribuição de t de Student; 
• Conclusão: se Z estiver na região de rejeição, rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0. 
Amostras Independentes com Variâncias Conhecidas 
Estatística 
AULA 14: TESTE DE HIPÓTESE – PARTE 2 
G.L 0,50 0,20 0,10 0,05 0,04 0,02 0,01 0,005 
 1 1,000 3,078 6,314 12,706 15,894 31,821 63,656 127,321 
 2 0,816 1,886 2,920 4,303 4,849 6,965 9,925 14,089 
 3 0,765 1,638 2,353 3,182 3,482 4,541 5,841 7,453 
 4 0,741 1,533 2,132 2,776 2,999 3,747 4,604 5,598 
 5 0,727 1,476 2,015 2,571 2,757 3,365 4,032 4,773 
 
26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,162 2,479 2,779 3,067 
27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,168 2,473 2,771 3,057 
28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,154 2,467 2,763 3,047 
29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,150 2,462 2,756 3,038 
30 0,683 1,310 1,697 2,042 2,147 2,457 2,750 3,030 
 
110 0,667 1,289 1,659 1,982 2,078 2,361 2,621 3,381 
120 0,667 1,289 1,658 1,980 2,076 2,358 2,617 2,860 
Tabelade Valores Críticos da Distribuição T de Student 
CONTEÚDO DA PRÓXIMA AULA 
Diagrama de dispersão; 
 
Coeficiente de correlação linear.