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UFF - Universidade Federal Fluminense IME - Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica GGM - Departamento de Geometria Disciplinas: GGM 00127, GGM 00125 , GGM 00160 8a Lista de Exerc´ıcios - Conteu´do de Geometria Anal´ıtica Plana e Espacial. Posic¸o˜es relativas, distaˆncia e aˆngulos no Espac¸o 1. Considere as seguintes retas: m : x = 1− ty = 2 + t z = 3 , t ∈ R n : { x− 2 = y+12 z = 2 r : x+ 7 2 = y 2 = z + 2 −1 s : { x− y = 3 −2x+ 2y − z = 7 E os planos α : 2x− y + z = 1 β : −y + 3z = 4 Determine a posic¸a˜o relativa, o aˆngulo e a distaˆncia entre os seguintes pares de objetos: (a) m e α (b) n e r (c) α e β (d) m e s (e) n e s 2. Um plano Π1 e´ paralelo ao plano Π2 : 2x− 2y+ z = −4 e o ponto (2, 2, 2) e´ equidistante de Π1 e Π2. Determine a equac¸a˜o de Π1. 3. Calcule a reta r paralela aos planos Π1 e Π2, onde Π1 : 3x+ 12y − 3z = 5 e Π2 : 3x− 4y + 9z = −7, e que contem o ponto A = (0, 2, 2). 4. Uma flecha e´ lanc¸ada em trajeto´ria retil´ınea, passando pelo ponto (1, 1, 2) na direc¸a˜o de um alvo colocado em (4, 4, 5). A que distaˆncia a flecha passa de um observador situado nas coordenadas (2, 3, 4)? 5. Um avia˜o passa por pontos de coordenadas (1, 2, 1) e (5, 6,−3), enquanto que um segundo avia˜o tem trajeto´ria que passa pelos pontos (3, 4, 5) e (−1, 4, 9). Supondo trajeto´rias retil´ıneas, qual a menor aproximac¸a˜o poss´ıvel entre os dois avio˜es? 6. Determine a equac¸a˜o duma reta r que passa pelo ponto P = (3,−1, 4) sabendo que r intersecta ao eixo OY e que a distaˆncia do (0, 0, 0) a` r e´ 3. 7. Calcule a reta sime´trica da reta r : {(1 + 2t, 1− t,−3 + t : t ∈ R} com respeito do plano Π : 2x− y + z = −2. 1 8. Seja Π um plano tal que Π ∩ΠXY = r1 : { −x+ 4y = −12 z = 0 Π ∩ΠY Z = r2 : { 2y + 5z = −6 x = 0 Determine a equac¸a˜o de Π. 9. Determine a equac¸a˜o do plano Π que fica a distaˆncia 1 da reta r : {(1 + t, 3− 2t,−6) : t ∈ R} e que passa pelo ponto P = (1, 2,−1). O problema tem soluc¸a˜o u´nica? 10. Determine a equac¸a˜o do plano Π1 que que conte´m a reta r : {(1 + 2t, 7 − 2t, 1 + 2t) : t ∈ R} e que forma um aˆngulo de pi/6 radianos com o plano Π2 : x+ y + z = 5. O problema tem soluc¸a˜o u´nica? 2
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