edp lista 1.1

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GEX158 EDP – 2017/2 Turmas 3A 19A e 22A Listas 1.x 
1 
 
Lista 1.1 Pg. 12 Exercícios 1a, 1c, 2b, 3a, 7, 8 e 9. 
Exercício 1a 5dy y
dt
= − + ( ) 00y y= 
Resolução: dy
dt
 5y= − + ⇒ 
5
dy
y −
 dt= − ⇒ 
5
dy
y −∫ dt= −∫ 
⇒ ( )ln 5y − **t C= − + ⇒ 5y − ** ** *C Ct t te e e C e− + − −= = = 
 ⇒ 5y − * t tC e Ce− −= ± = 
 ⇒ y 5tCe−= + 
 ( ) 00y y= ⇒ 0y 0 5 5Ce C= + = + ⇒ 0 5C y= − 
 A solução geral: ( )y t ( )0 5 5ty e−= − + 
 A solução de equilíbrio: 0dy
dt
= ⇔ y 5= 
 O comportamento de longo prazo: ( ) ( )0lim lim 5 5 5tt ty t y e→ →
−
∞ ∞
 = − + =  
 As soluções se aproximam da solução de equilíbrio. 
 
Exercício 1c 2 10dy y
dt
= − + ( ) 00y y= 
Resolução: dy
dt
 2 10y= − + ⇒ 
5
dy
y −
 2dt= − ⇒ 
5
dy
y −∫ 2 dt= − ∫ 
⇒ ( )ln 5y − 2 **t C= − + ⇒ 5y − ** **2 2 2*C Ct t te e e C e− + − −= = = 
 ⇒ 5y − 2* t tC e Ce− −= ± = 
 ⇒ y 2 5tCe−= + 
 ( ) 00y y= ⇒ 0y 0 5 5Ce C= + = + ⇒ 0 5C y= − 
 A solução geral: ( )y t ( )0 25 5ty e−= − + 
 A solução de equilíbrio: 0dy
dt
= ⇔ y 5= 
 O comportamento de longo prazo: ( ) ( )0 2lim lim 5 5 5tt ty t y e→ →
−
∞ ∞
 = − + =  
 As soluções se aproximam da solução de equilíbrio. 
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Exercício 2b 2 5dy y
dt
= − ( ) 00y y= 
Resolução: 
 dy
dt
 ( )2 5 2 5 2y y= − = − ⇒ 
5 2
dy
y −
 2dt= ⇒ 
5 2
dy
y −∫ 2 dt= ∫ 
⇒ 5ln
2
y − 
 
 2 **t C= + ⇒ 5
2
y − ** **2 2*C Ct t te e e C e− += = = 
 ⇒ 5
2
y − 2 2* t tC e Ce= ± = 
 ⇒ y 2 5
2
tCe= + 
 ( ) 00y y= ⇒ 0y 0
5 5
2 2
Ce C= + = + ⇒ 0
5
2
C y= − 
 A solução geral: ( )y t 0 2
5 5
2 2
ty e = − + 
 
 
 A solução de equilíbrio: 0dy
dt
= ⇔ y 5
2
= 
 O comportamento de longo prazo: 
( )
0
0
0
2
5
5 5 2lim lim
52 2
2
t
t t
caso y
y t y e
caso y
→ →∞ ∞
+∞ >   = − + =      −∞ <

 
 As soluções se afastam da solução de equilíbrio. 
 
Exercício 3a dy ay b
dt
= − + 0a > 0b > 
Resolução: 
dy a dt
y b a
= −
−
 ⇒ dy a dt
y b a
= −
−∫ ∫ ⇒ ln **
by at C
a
 
− = − + 
 
 
⇒ ** *Cat atby e C e
a
− + −− = = ⇒ ( ) at by t C e
a
−= + 
 Considerando a condição inicial ( ) 00y y= 
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 0
0 b by C e C
a a
= + = + ⇒ 0
bC y
a
= − 
 ⇒ ( ) 0 at
b by t y e
a a
− = − + 
 
 
 
Exercício 7 A população de ratos do campo (exemplo 1 – aulas 4 a 8) satisfaz a equação 
1 450
2
dp p
dt
= − . A solução ( ) 2900 tp t C e= + 
( )a Determinar o instante em que a população é extinta se ( )0 850p = . 
Resolução: ( )0 850p = ⇒ 0850 900 900C e C= + = + ⇒ 50C = − 
 ⇒ ( ) 2900 50 tp t e= − 
 ( ) 0p t = ⇒ 20 900 50 te= − ⇒ 250 900te = 
 ⇒ 2 18te = ⇒ ( )ln 18
2
t
= ⇒ ( )2ln 18 5,78t = ≈ meses 
 
( )b Determinar o instante em que a população é extinta se ( ) 00p p= com 00 900p< < 
 Resolução: ( ) 00p p= ⇒ 00 900 900p C e C= + = + ⇒ 0 900C p= − 
 ⇒ ( ) ( ) 20900 900 tp t p e= + − 
 ( ) 0p t = ⇒ ( ) 200 900 900 tp e= + − ⇒ ( ) 20900 900tp e− = 
 ⇒ 2
0
900
900
te
p
=
−
 ⇒ 
0
9002ln
900
t
p
 
=  − 
 meses 
( )c Determinar a população inicial 0p se a extinção se dá em 1 ano. 
Resolução: ( )12 0p = ⇒ ( ) 12 200 900 900p e= + − ⇒ ( ) 60900 900 p e= − 
⇒ ( ) 60900 900 p e= − ⇒ 0900 2,23p− ≈ ⇒ 0 898p ≈ 
 
 
 
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Exercício 8 Considere que a população de ratos satisfaz dp r p
dt
= . 
A solução: dp r p
dt
= ⇒ dp r dt
p
= ⇒ ( )ln *p rt C= + 
⇒ ( ) rtp t C e= ⇒ ( ) 00p C e C= = 
( )a Se ( )1 2p C= ⇒ 2 rC C e= ⇒ 2 re= ⇒ ( )ln 2 0,693r = = 
( )b Se 2
30
Np C  = 
 
 ⇒ 302
Nr
C C e= ⇒ 302
Nr
e= 
⇒ ( )ln 2
30
Nr = ⇒ ( )30ln 2r
N
= 
 
Exercício 9: O objeto em queda livre no exemplo 2 (Boyce e DiPrima pg 10) satisfaz o 
problema de valor inicial (PVI) 9,8
5
dv v
dt
= − ( )0 0v = 
Resolução: A solução geral: ( ) ( )
1
5
049 49
t
v t v e
−
= + − 
 A solução do PVI: ( )
1 1
5 549 49 49 1
t t
v t e e
− − 
= − = − 
 
 
 Velocidade limite: ( )0 49dv v t
dt
= ⇒ = m/s 
( )a Determinar o instante em que o objeto atinge 98% da velocidade limite 
 ( ) 98 49
100
v t = ⇒ 
1
598 49 49 1
100
t
e
− 
= − 
 
 
 ⇒ 
1
50,98 1
t
e
−
= − ⇒ 
1
5 0,02
t
e
−
= 
 ⇒ 
1
5 1 50
0,02
t
e = = ⇒ ( )5ln 50 19,56t = = s 
 
 
 
 
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5 
 
( )b Determinar a distância percorrida D até o instante encontrado em (a). 
 D 
( ) ( ) ( )5ln 50 5ln 50 5ln 501 1
5 5
0 0 0
49 1 49
t t
e dt dt e dt
− −  
 = − = − 
    
∫ ∫ ∫ 
 
( )
( )
( )
( )
5ln 50
5ln 501 1
5 5
0
49 5 49 5ln 50 5 5
t
t e e
− −   
= + = + −   
   
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
1ln 50 149 5ln 50 5 5 49 5ln 50 5 5 718,35
50
e
−   = + − = + − =     
m