P1 2017.2 Prof. Pablo Guarino

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
1a¯ prova de Ca´lculo II B (2017-2) - 05/10/2017
Questa˜o Pontos Notas
1 2
2 3
3 2,5
4 2,5
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova. Responda cada
questa˜o de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o
considerados. Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau
zero na prova. O mesmo ocorrera´ com o aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da
sala durante a prova. Na˜o e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (2 pontos)
Considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = √x2 + y2 para todo (x, y) ∈ R2.
(a) Esboce as curvas de n´ıvel e o gra´fico de f .
(b) Determine os pontos do plano nos quais f e´ diferencia´vel.
Questa˜o 2 (3 pontos)
Considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por:
f(x, y) =
 (x2 + y2) sen
1√
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) f e´ cont´ınua na origem?
(b) f e´ diferencia´vel na origem?
(c) f e´ de classe C1 na origem?
Questa˜o 3 (2,5 pontos)
(a) Determine a equac¸a˜o do plano em R3 que e´ tangente ao gra´fico de f(x, y) = xey + y log x−
3x2y no ponto (1, 0, 1).
(b) Determine a equac¸a˜o de um plano em R3 que seja paralelo ao plano x+y+z = 0 e tangente
ao gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = x(1− xy), determinando o ponto de tangeˆncia.
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
Seja f : R2 → R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que:
f(0, 1) = 0 ,
∂f
∂x
(0, 1) = −2 e ∂f
∂y
(0, 1) = 6 ,
e seja Sf o gra´fico de f no R3. Considere tambe´m a superf´ıcie S no R3 dada por:
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2ey + y3z − x cos z = 0}.
Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta tangente a` curva S ∩ Sf no ponto (0, 1, 0).