6ª Lista de Cálculo I Derivadas

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6ª Lista de Cálculo Diferencial e Integral I - Derivadas
01. Calcule 
h
xfhxf
h
)()(lim
0


 sendo f dada por:
a) f(x) = 3x + 1 b) f(x) = 2x2 – x - 1 c) f(x) = 
2
1
x
 d) f(x) = 
3
1


x
x
 e) f(x) =
3x 
02. Determinar a derivada das seguintes funções dadas:
a) f(x) = 2 x 3 + 3 x 2 – 4 x + 1 b) f ( x ) = 32
3
2
 xx c) f(x) = 14 – 6x-3 
d) f(x) = 54
53
xx
 e) f(x) = 6
4 2
2
1
x
x  f) f(x) = 8 x.( 3 x + 2 )
g) f ( x ) = ( 2 x + 4 ).( 3 x – 4 ) h) f(x) = (3x5 – 1).(2 – x4) i) f(x) = 
45
73
2 

xx
x
j) f(x) = 
1
153 2


x
xx k) f(x) = 
bx
ax

 2)(
 l) f(x) =
)63.(
2
1 2 xx
x
x



 
03. Sendo f ( x ) = 2 x 3 – 15 x 2 + 36 x – 7 e g ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 11 x – 6 , determine f ( 0 ) -′
2 g ( 1 ).′
04. Se f(3) = 4, g(3) = 2, f’(3) = -6 e g’(3) = 5, encontre os seguintes números:
a) (f - g)’(3) b) (f.g)’(3) c) (f/g)’(3) d) (3)' 





 gf
f
05. Dada f(x) = 
3
1
x3 + 2x2 + 5x + 5, mostre que f’(x) ≥ 0 para todos os valores de x.
06. Seja p(x) = (x – a).(x – b), sendo a e b constantes. Mostrar que se a ≠ b, então p(a) = p(b) =
0, mas p’(a) ≠ 0 e p’(b) ≠ 0.
07. Dadas as funções f(x) = x2 + Ax e g(x) = Bx, determinar a e b de tal forma que





2)()(
21)(')('
xxgxf
xxgxf
.
08. Se f, g e h são funções e k(x) = f(x).g(x).h(x), prove que se f’(x), g’(x) e h’(x) existirem,
k’(x) = f(x).g(x).h’(x) + f(x).g’(x).h(x) + f’(x).g(x).h(x).
09. Use o resultado do exercício anterior para derivar a função k(x) = (3x + 2)2.(x2 – 1).
10. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela
equação s = 2t3 - 4t2 + 2t - 1, onde t é medido em segundos.
a) Encontre a velocidade instantânea da partícula quando t = 4.
b) Determine o instante em que a partícula está em repouso.
11. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por f(t)
= t2 + 16t, 0 < t < 8, onde o tempo t é dado em segundos e a distância em metros.
a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h], 0 < b < 8.
b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3; 3,1], [3; 3,01] e [3; 3,001].
c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
e) Determinar a aceleração no instante t.
12. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de
seu movimento retilíneo é y = ct
t
b
 , onde y é o deslocamento e t, o tempo.
a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2?
b) Qual é a equação da aceleração?
13. Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola
de sua posição inicial após t s, então s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingirá a
tabela da posição inicial que está a 39 cm?
14. Um foguete é lançado verticalmente para cima e após t s ele está a s m do solo, onde s
= 560t – 16t2 e o sentido positivo é para cima. Ache:
a) a velocidade do foguete 2 s após o lançamento.
b) quanto tempo levará para o foguete atingir sua altura máxima.
Gabarito
01. a) 3 b) 4x – 1 c) 2)2(
1


x d) 2)3(
4


x e) 32
1
x
02. a) 6x2 + 6x – 4 b) x
3
2
- 2 c) 18x-4 d) 65
2512
xx


 e) 2x3 - 7
12
x
 f) 48x
+16
g) 12x + 4 h) -27x8 + 30x4 + 4x3 i) 22
2
)45(
23143


xx
xx
 j) 2
2
)1(
463


x
xx
k) 2
22
)(
22
bx
ababxx


 l) 2
23
)2(
1236276


x
xxx
 03. 32 
04. a) 11 b) 8 c) -8 d) 8 07. A = B = 1/2 09. 2.(3x + 2).(6x2 + 2x – 3)
10. a) 66 m/s b) t = 1/3 e t = 1 11. a) 16 + 2b + h m/s b) 22,1 m/s; 22,01m/s;
22,001m/s c) 16 + 2t m/s d) 22 m/s e) 2m/s 2 12. a) c
b


4
 b)
3
2
t
b
13. 160 cm/s 14. a) 496 m/s b) 17,5 s